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1、考点06 基本不等式及应用【命题解读】基本不等式及其应用等，一般有两种命题方式：一是运用基本不等式研究函数的最值问题；二是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.【基础知识回顾】 1、基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当ab. 2、算术平均数与几何平均数设a0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3、利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(2)
2、如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是4、基本不等式的两种常用变形形式(1)ab2(a，bR，当且仅当ab时取等号)(2)ab2(a>0，b>0，当且仅当ab时取等号)5、几个重要的结论(1)2.(2)2(ab>0)(3) (a>0，b>0)1、（2021·潍坊市潍城区教育局月考）下列不等式一定成立的是（ ）Alg(x2)>lgx(x>0)Bsinx2(xk，kZ)C D>1(xR)2、若正数满足，则的最小值为（）A.B.C.D.33、（2020·湖南雅礼中学期中）（多选题）给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.
3、A若，则；B若则；C若，则；D若，则.4、已知a>0, b>0，且，则ab的最小值是_5、一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大6、(一题两空)若a>0，b>0，且a2b40，则ab的最大值为_，的最小值为_考向一运用基本不等式求函数的最值 例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）若，则的最小值为（ ）A6BC3D变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）A10B12C16D9变式2、(1)已知0<x<1，则x(43x)取得最大值时x的
4、值为_(2)已知x<，则f(x)4x2的最大值为_(3)函数y(x>1)的最小值为_方法总结： (1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式考向二 基本不等式中1的运用例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是( )A1BC9D18变式1、若正实数满
5、足，则的最小值是 变式2、 已知a，b为正数，且直线 axby60与直线 2x(b3)y50互相平行，则2a3b的最小值为_变式3、已知正实数a，b满足ab1，则的最小值为 方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法(3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型考向三 运用消参法解决不等式问题例3、(2017苏北四市期末）. 若实数
6、x，y满足xy3x3，则的最小值为_变式1：（徐州、宿迁三检）若，且，则的最小值为 变式2、设实数x，y满足x22xy10，则x2y2的最小值是_变式3、已知正数x，y满足，求的最小值方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值考向四 运用基本不等式解决含参问题例1、(2019扬州期末）已知正实数x，y满足x4yxy0，若xym恒成立，则实数m的取值范围为_变式1、已知，若不等式恒成立，则的最大值为_变式2、（1）已知函数，若对于任意，恒成立，则的取值范围是_(2)已知正数满足恒成立，则实数的最小值
7、为_方法总结：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，考点五、运用基本不等式解决实际问题考向五 运用基本不等式解决实际问题例5、某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？变式1、小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费
8、用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为万元(国家规定大货车的报废年限为10年)(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出)变式2、(2016无锡期末）某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P(其中0xa，a为正常数)已知生产该批产品还需投入成本6万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件(1) 将
9、该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？方法总结：(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解1、（2019年高考浙江卷）若，则“”是 “”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件2、（2020·山东月考）已知，则的最小值是（ ）ABCD123、（2020年高考江苏）已知，则的最小值是 4、（2019年高考天津卷理数）设，则的最小值为_5、（2018年高考天津卷理数）已知，且，则的最小值为 . 6、（2020年高考天津）已知，且，则的最小值为_7、（2020·泰安市泰山国际学校高三月考）求下列最值：（1）当时，求函数的最大值；（2）设求函数的最大值.8、运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶千米，按交通法规限制(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2)升，司机的工资是每小时元(1)求这次行车总费用关于的表达式；(2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值