《2022届高三数学一轮复习（原卷版）专题25 立体几何中综合问题（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）专题25 立体几何中综合问题（解析版）.docx（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题25 立体几何中综合问题 命题规律内 容典 型棱锥与球的切接问题2020年高考全国卷理数10棱柱（圆柱）与球的切接问题2020年高考天津卷5研究球的截面问题2020高考山东卷以传统文化为载体考查几何体的性质2019年高考全国卷理数以几何体中空间角为条件研究几何体的截面问题2018年高考全国卷理数命题规律一 棱锥与球的切接问题【解决之道】（1）三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心；如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心
2、.（2）一条侧棱垂直于底面的棱锥的外接球问题，可以将其补成以棱锥的底面为底面、垂直与底面的侧棱为高的直棱柱，则补成直棱柱的外接球即为该三棱锥的外接球.（3）正棱锥（圆锥）的外接球问题，已知正棱锥的底面的外接圆半径为、高为，外接球的半径为，则.（4）已知三棱锥中某两个面所成二面角为的外接球问题，关键是作出球心，即分别过两个半平面的截面圆的圆心作截面圆的垂线，垂线的交点即为球心，再利用球的截面性质，即可求出求的半径.(5)对两个直角三角形共斜边的三棱锥的外接球问题，则直角三角形的斜边为球的直径.(6)对对棱相等的三棱锥的外接球问题，将其看成在长方体中面的对角线，则长方体的外接球即该三棱锥的外接球.
3、（7）求一个棱锥内切球的半径，可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积列式得出也可以先找准切点，通过作截面来解决，作截面时主要抓住棱锥过球心的对角面来作【三年高考】1.【2020年高考全国卷理数10】已知为球的球面上的三个点，为的外接圆若的面积为，则球的表面积为（ ）A B C D 【答案】A【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，由正弦定理可得，根据圆截面性质平面，球的表面积，故选A2.【2020年高考全国卷文数11理数10】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球到平面的距离为 （ ）ABCD【答案】C【解析】设球的半径为，则，解得：设外接圆半径为，边
4、长为，是面积为的等边三角形，解得：，球心到平面的距离，故选C3.【2019年高考全国卷理数】已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90°，则球O的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，又，分别为，的中点，又，平面，平面，为正方体的一部分，即，故选D解法二：设，分别为的中点，且，为边长为2的等边三角形，又，中，由余弦定理可得，作于，为的中点，又，两两垂直，故选D.4.【2018年高考全国卷理数】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，
5、则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD 【答案】B【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，,点M为三角形ABC的重心，中，有，故选B.命题规律二 棱柱（圆柱）与球的切接问题【解决之道】（1）长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即2R.（2）直棱柱(圆柱）的外接球：已知直棱柱的底面半径为，高为，则其外接球半径为【三年高考】1.【2020年高考天津卷5】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以
6、这个球的表面积为，故选C命题规律三 研究球的截面问题【解决之道】解决此类问题的关键为作出截面，作截面的关键在作截线，方法如下：若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的的一个面的截线;若面上只有一个已知点，应设法在同一平面内找出第2个确定的点；若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点；两个平行平面的一个平面与截面有绞线，另一个平面上只有一个已知点，则按面面平行得截面与平面的交线；若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面化为棱上的点的问题；若已知点在体内，可通过作辅助平面化为面上的点的，再化为棱上的点的问题来解决.【三年高考】1.【2020年高考
7、山东卷16】已知直四棱柱的棱长均为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 【答案】【解析】解法一：如图，取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以为等边三角形，所以，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得，故答案为：解法二：在直四棱柱中，取中点为，中点为，中点为，由题意易知，又，则面，在面内取一点，使，且，又，以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以为圆心，以为半径的圆弧，由题意易得
8、，故该交线长为解法三：命题规律四 以传统文化为载体考查几何体的性质【解决之道】解决此类问题，首项要认真读题，挖掘出所蕴含的几何体及其有关量，转化为数学问题，然后利用几何体的有关知识求解.【三年高考】1.【2019年高考全国卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空2分，第
9、二空3分）【答案】26，【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与的延长线交于点，延长交正方体的棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，即该半正多面体的棱长为.命题规律五 以几何体中空间角为条件研究几何体的截面问题【解决之道】解决此类问题的关键为作出截面，作截面的关键在作截线，方法如下：若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的的一个面的截线;若面上只有一个已知点，应设法在同一平面内找出第2个确定的点；若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个
10、平面的交线与截面的交点；两个平行平面的一个平面与截面有绞线，另一个平面上只有一个已知点，则按面面平行得截面与平面的交线；若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面化为棱上的点的问题；若已知点在体内，可通过作辅助平面化为面上的点的，再化为棱上的点的问题来解决.【三年高考】1.【2018年高考全国卷理数】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A BC D【答案】A【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理，平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.