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1、专题23 立体几何的位置关系 命题规律内 容典 型考查空间线面、面面平行与垂直的判定与性质2019年高考全国卷理数判定空间几何体中点线面的位置关系2019年高考全国卷文数以解答题形式考查线面平行的判定与性质2020年高考江苏卷以解答题形式考查线线垂直2019年高考江苏卷以解答题形式考查线面垂直2019年高考全国卷文数6以解答题形式考查面面垂直的判定与性质2018年高考全国卷文数命题规律一 考查空间线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质【解决之道】解决此类问题的关键在于熟记平面的基本性质、线线、线面、面面垂直的判定与性质，可以通过实验进行判断.【三年高考】1.【2020年高考浙江卷6】已知空间中
2、不过同一点的三条直线，则“在同一平面”是“两两相交”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解法一：由条件可知当在同一平面，则三条直线不一定两两相交，由可能两条直线平行，或三条直线平行，反过来，当空间中不过同一点的三条直线两两相交，如图，三个不同的交点确定一个平面，则在同一平面，“”在同一平面是“两两相交”的必要不充分条件，故选B解法二：依题意是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，在同一平面综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不
3、充分条件故选B2.【2019年高考全国卷文数】设，为两个平面，则的充要条件是A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B3.【2019年高考全国卷文数】如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ）ABM=EN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBM=EN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN
4、，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作于，连接，BD，易得直线BM，EN 是三角形EBD的中线，是相交直线.过作于，连接，平面平面，平面，平面，平面，与均为直角三角形设正方形边长为2，易知，故选B4.【2018年高考浙江卷】已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.5.【2019年高考北京卷文数】已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条
5、件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_【答案】如果l，m，则lm.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l，m，则lm，正确；（2）如果l，lm，则m，不正确，有可能m在平面内；（3）如果lm，m，则l，不正确，有可能l与斜交、l.故答案为：如果l，m，则lm.命题规律二 判定空间几何体中点线面的位置关系【解决之道】解决此类问题的关键，熟悉平面的基本性质，对共面问题，先利用条件构造一个平面，然后证明其它点线都在这个面内;对共点问题，先由两条直线确定一个交点，然后证明这个点为某两个平面的公共点，咋该点在它们的交线上;对空间位置的判断问题，可以直观判断.【
6、三年高考】1.【2020年高考上海卷15】在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，到的距离为2，则过点且与平行的直线相交的面是（ ）A B C D 【答案】A【解析】如图由条件可知直线交线段于点，连接，过点作的平行线，必与相交，那么也与平面相交 故选A2.【2019年高考全国卷文数】图1是由矩形ADEB，ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，FBC=60°将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.【解析】（1）由
7、已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE（2）取CG的中点M，连结EM，DM.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四边形BCGE是菱形，且EBC=60°得EMCG，故CG平面DEM因此DMCG在DEM中，DE=1，EM=，故DM=2所以四边形ACGD的面积为43.【2020年高考全国卷文数19】如图，在长方体中，点分别在棱上，且证明：（1）当时，；（2）证明：点在平面内【解析】（1）因为长方体，所以平面
8、，因为长方体，所以四边形为正方形，因为平面，因此平面，因为平面，所以（2）在上取点使得，连，因为，所以所以四边形为平行四边形，因为所以四边形为平行四边形，因此在平面内命题规律三 以解答题形式考查线面平行的判定与性质【解决之道】解决此类问题的关键要熟记线面平行、面面平行的判定与性质，会利用定理实现线线、线面、线面的相互转化.【三年高考】1.【2020年高考江苏卷15】在三棱柱中，平面，分别是，的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面【解析】（1）分别是，的中点，平面，平面，平面（2）平面，面，又，面，面，面，面，平面平面命题规律四 以解答题形式考查线线垂直【解决之道】直线与直线的垂直证明思路
9、：（1）转化为相交垂直，依据：一条直线与两平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直；（2）转化为线面垂直，依据线面垂直的定义：一直线与与一平面垂直这条直线与平面内任意直线都垂直；（3）向量法：证明两直线的方向向量垂直.【三年高考】1.【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.（2）因为AB=BC
10、，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因为BE平面ABC，所以CC1BE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.命题规律五 以解答题形式考查线面垂直【解决之道】线面垂直的判定方法：定义法；判定定理法；性质定理2；性质定理4；面面垂直性质定理法；向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行.【三年高考】1.【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点（1）求证：BD平面PAC；（2）若ABC=6
11、0°，求证：平面PAB平面PAE；（3）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由【解析】（1）因为平面ABCD，所以又因为底面ABCD为菱形，所以所以平面PAC（2）因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以PAAE因为底面ABCD为菱形，ABC=60°，且E为CD的中点，所以AECD所以ABAE所以AE平面PAB所以平面PAB平面PAE（3）棱PB上存在点F，使得CF平面PAE取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG则FGAB，且FG=AB因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CE=AB所以FGCE，且FG=CE所以四边形CEG
12、F为平行四边形所以CFEG因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE2.【2019年高考全国卷文数】如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积【解析】（1）由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故又，所以BE平面（2）由（1）知BEB1=90°.由题设知RtABERtA1B1E，所以，故AE=AB=3，.作，垂足为F，则EF平面，且所以，四棱锥的体积3.【2018年高考全国卷文数】如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若
13、点在棱上，且，求点到平面的距离【解析】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP=连结OB因为AB=BC=，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB=2由知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足为H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OC=2，CM=，ACB=45°所以OM=，CH=所以点C到平面POM的距离为命题规律五 以解答题形式考查面面垂直的判定与性质【解决之道】面面垂直的判定思路：定义法；判定定理法；向量法：证明两个平面的法向量垂直.【三年高考】1.【2018年高考全
14、国卷文数】如图，在平行四边形中，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积【解析】（1）由已知可得，=90°，又BAAD，所以AB平面ACD又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=又，所以作QEAC，垂足为E，则由已知及（1）可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE=1因此，三棱锥的体积为2.【2018年高考全国卷文数】如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由【答案】（1）见解析；（2）
15、存在，理由见解析.【解析】（1）由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM又BCCM=C，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC（2）当P为AM的中点时，MC平面PBD证明如下：连结AC交BD于O因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连结OP，因为P为AM 中点，所以MCOPMC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD3.【2018年高考北京卷文数】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，E，F分别为A
16、D，PB的中点.（1）求证：PEBC；（2）求证：平面PAB平面PCD；（3）求证：EF平面PCD.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1），且为的中点，.底面为矩形，.（2）底面为矩形，.平面平面，平面.又，平面，平面平面.（3）如图，取中点，连接.分别为和的中点，且.四边形为矩形，且为的中点，且，四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.4.【2018年高考江苏卷】在平行六面体中，求证：（1）平面；（2）平面平面【解析】（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，ABA1B1因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C（2）在平行六面体
17、ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC又因为A1BBC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC 5.【2020年高考全国卷文数19】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面平面；（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积【解析】（1）为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，是圆内接正三角形，即，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，解得，在等腰直角三角形中，在中，三棱锥的体积为