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1、2.6对数与对数函数典例精析题型一对数的运算【例1】计算下列各题：(1)2(lg)2lglg 5；(2).【解析】来源:(1)原式2×(lg 2)2lg 2lg 5lg 2(lg 2lg 5)1lg 21.(2)原式1.【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形.【变式训练1】已知log89a，log25b，用a，b表示lg 3为.【解析】由lg 3.题型二对数函数性质的应用【例2】设函数f(x)loga(x2) (a0，且a1).(1)求函数f(x)经过的定点坐标；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)解不等式log3(x2)1.【解析】(1)当x3时，loga10恒成立，所以函
2、数f(x)所经过的定点坐标为(3,0).来源:(2)当a1时，函数f(x)在区间(2，)上为单调递增函数；当0a1时，函数f(x)在区间(2，)上为单调递减函数.(3)不等式log3(x2)1等价于不等式组解得2x5，所以原不等式的解集为(2,5).【变式训练2】已知函数f(x)若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为.【解析】要保证函数f(x)在(，)上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若f(x)(a2)x1在区间(，1上单调递增，则a20，即a2.若f(x)logax在区间(1，)上单调递增，则a1.另外要保证函数f(x)在(，)上单调递增还必须满足(a2)&#
3、215;11loga10，即a3.故实数a的取值范围为2a3.来源:题型三对数函数综合应用【例3】已知函数f(x)loga(3ax).(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)由题设知3ax0对一切x0,2恒成立，a0，且a1.因为a0，所以g(x)3ax在0,2上为减函数，从而g(2)32a0，所以a，所以a的取值范围为(0,1)(1，).(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)1，即loga(3a)1，所以a，此时f(x)
4、(3x).当x2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在. 【点拨】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立.来源:【变式训练3】给出下列四个命题：函数f(x)ln x2x在区间(1，e)上存在零点；若f(x0)0，则函数yf(x)在xx0处取得极值；来源:若m1，则函数y(x22xm)的值域为R；“a1”是“函数f(x)在定义域上是奇函数”的充分不必要条件.则其中正确的序号是(把全部正确命题的序号都填上).【解析】因为f(1)ln 12110，f(e)ln e2ee10，故
5、函数f(x)在区间(1，e)上存在零点，命题正确；对于函数f(x)x3来说，f(x)3x2，显然有f(0)0，但f(x)在定义域上为增函数，故x0不是函数的极值点，命题错误；令tx22xm，若m1，则(2)24×1×(m)44m0，所以tx22xm可以取遍所有的正数，所以函数来源:y(x22xm)的值域为R，命题正确；由f(x)f(x)，可得，解得a±1，即函数f(x)为奇函数的充要条件为a±1，故 “a1”是“函数f(x)为奇函数”的充分不必要条件，所以命题正确.综上所述，正确的命题为.总结提高1.熟练运用对数的运算公式是解决对数运算的基础和前提，运用对数的运算法则，要注意各字母的取值范围，同时，不要将积、商、幂、方根的对数与对数的积、商、幂、方根混淆起来.来源:2.研究对数问题时，要尽量化成同底，另外，研究对数问题时要注意对数的底数与真数的限制条件.3.对数函数的重要性质是单调性，比较大小是单调性的重要运用，在比较时，通常利用函数的单调性或借助于中间量1,0,1来比较，但要注意分类讨论.4.利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些函数的应用问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法的灵活运用.