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1、淘宝店铺：漫兮教育第六节对数与对数函数对数与对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用(2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点(3)知道对数函数是一类重要的函数模型(4)了解指数函数yax与对数函数yloga x互为反函数(a0，且a1)知识点一对数及对数运算1对数的定义一般地，如果axN(a>0，且a1)，那么数x叫作以a为底N的对数，记作xloga_N，其中a叫作对数的底数，N叫作真数2对数的性质(1)loga10，loga a1.(2)alogaNN，logaaNN.(3)
2、负数和零没有对数3对数的运算性质如果a>0，且a1，M >0，N>0，那么(1)loga (MN)logaMlogaN.(2)loga logaMlogaN.(3)loga MnnlogaM(nR)(4)换底公式logab(a>0且a1，b>0，m>0，且m1). 必记结论1指数式与对数式互化：axNxlogaN.2对数运算的一些结论：logambnlogab.logab·logba1.logab·logbc·logcdlogad.易误提醒在运算性质logaMnnlogaM中，易忽视M0.自测练习1(2015·临川一中
3、模拟)计算2÷4_.解析：本题考查指数和对数的运算性质由题意知原式(lg 53lg 23)2÷21(3lg 53lg 2)2×29×218.答案：182lg lg 8lg 7_.解析：原式lg 4lg 2lg 7lg 8lg 7lg 52lg 2(lg 2lg 5)2lg 2.答案：知识点二对数函数定义、图象与性质定义函数ylogax(a>0，且a1)叫作对数函数图象a>10<a<1性质定义域：(0，)值域：R当x1时，y0，即过定点(1,0)当0<x<1时，y(，0)；当x>1时，y(0，)当0<x<
4、;1时，y(0，)；当x>1时，y(，0)在(0，)上为增函数在(0，)上为减函数易误提醒解决与对数函数有关的问题时易漏两点：(1)函数的定义域(2)对数底数的取值范围必记结论1底数的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a1还是0a1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大2对数函数yloga x(a0，且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限自测练习3已知a0，a1，函数yax与yloga(x)的图象可能是()解析：函数yloga(x)的图象与ylogax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.答案：B4函数ylogax(a0，且a1)
5、在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a的值为_解析：(1)当a1时，函数ylogax在2,4上是增函数，所以loga 4loga 21，即loga 1，所以a2.(2)当0a1时，函数yloga x在2,4上是减函数，所以loga 2loga 41，即loga 1，所以a.由(1)(2)知a2或a.答案：2或考点一对数式的化简与求值|1(2015·内江三模)lg 8()A. BCD4解析：lg 8lg 10(23)4.答案：B2.log2 ()A2 B22log2 3C2 D2log2 32解析：2log23，又log2log23，两者相加即为B.答案：B3(2015·高
6、考浙江卷)若alog43，则2a2a_.解析：原式2log4 32log4 3.答案：对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算考点二对数函数图象及应用|(1)(2016·福州模拟)函数ylg |x1|的图象是()解析因为ylg |x1|当x1时，函数无意义，故排除B、D.又当x2或0时，y0，所以A项符合题意答案A(2)当0x时，4xloga x，则a的取值范围是()A.B.C(1，) D(
7、，2)解析法一：构造函数f(x)4x和g(x)loga x，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知，fg，即2loga ，则a，所以a的取值范围为.法二：0x，14x2，loga x4x1，0a1，排除选项C，D；取a，x，则有42，log 1，显然4xlogax不成立，排除选项A.答案B应用对数型函数的图象可求解的两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解1已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)
8、f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A(1,10) B(5,6)C(10,12) D(20,24)解析：作出f(x)的大致图象，不妨设abc，因为a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，由函数的图象可知10c12，且|lg a|lg b|，因为ab，所以lg alg b，可得ab1，所以abcc(10,12)答案：C考点三对数函数性质及应用|已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的解集解(1)要使函数f(x)有意义，则解得1x1.故所求函数f(x)的定义域为(
9、1,1)(2)由(1)知f(x)的定义域为(1,1)，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)为奇函数(3)因为当a1时，f(x)在定义域(1,1)内是增函数，所以f(x)01，解得0x1.所以使f(x)0的x的解集是(0,1)利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的2已知函数f(x)loga(8ax)(a0，a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，求实数a的取值范围解：当a1时，f(x)l
10、oga(8ax)在1,2上是减函数，由f(x)1恒成立，则f(x)minloga(82a)1，解之得1a.若0a1时，f(x)在x1,2上是增函数，由f(x)1恒成立，则f(x)minloga(8a)1，且82a0，a4，且a4，故不存在综上可知，实数a的取值范围是.5.插值法比较幂、对数大小【典例】(1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.3 0.2，则a，b，c的大小关系是()AcbaBabcCbac Dacb(2)已知a5log23.4，b5log43.6，clog30.3，则()Aabc BbacCacb Dcab(3)已知函数yf(x)的图象关于y轴对称，且当x(，0)时，
11、f(x)xf(x)0成立，a(20.2)·f(20.2)，b(log3)·f(log3)，c(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是()Abac BcabCcba Dacb思路点拨(1)利用幂函数yx0.5和对数函数ylog0.3x的单调性，结合中间值比较a，b，c的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log23.4、log43.6、log3 0.3log3 的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数(x)xf(x)的单调性，再根据20.2，log3，log39的大小关系求解解析(1)根据幂函数yx0.5的单调性，可得0.3
12、0.50.50.510.51，即ba1；根据对数函数ylog0.3x的单调性，可得log0.30.2log0.30.31，即c1.所以bac.(2)clog3 0.35log3 0.35log3 .法一：在同一坐标系中分别作出函数ylog2 x，ylog3x，ylog4x的图象，如图所示由图象知：log2 3.4log3 log43.6.法二：log3 log331，且3.4，log3 log3 3.4log2 3.4.log4 3.6log4 41，log3 1，log4 3.6log3 .log2 3.4log3 log4 3.6.由于y5x为增函数，5log2 3.45log3 5log
13、4 3.6.即5log2 3.4log3 0.35log4 3.6，故acb.(3)因为函数yf(x)关于y轴对称，所以函数yxf(x)为奇函数因为xf(x)f(x)xf(x)，且当x(，0)时，xf(x)f(x)xf(x)0，则函数yxf(x)在(，0)上单调递减；因为yxf(x)为奇函数，所以当x(0，)时，函数yxf(x)单调递减因为120.22,0log31，log392，所以0log 320.2log3 9，所以bac，选A.答案(1)C(2)C(3)A方法点评(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函
14、数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.跟踪练习设ab0，ab1且xb，ylog ab，zlog a，则x，y，z的大小关系是()AyxzBzyxCyzx Dxyz解析：用中间量比较大小由ab0，ab1，可得0ba1，所以21，所以xb1，ylog ablog ab1,0zlog alog b1，则yzx，故选C.答案：CA组考点能力演练1函数f(x)loga |x|1(0a1)的图象大致为()解析：由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称设g(x)loga|x|，先画出x0时，g(x)的图象，
15、然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.答案：A2设a30.5，b0.53，clog0.5 3，则a，b，c的大小关系为()AbcaBbacCcba Dcab解析：因为a30.5301,0b0.530.501，clog0.5 3log0.5 10，所以c0b1a，故选C.答案：C3(2015·郑州二检)若正数a，b满足2log2a3log3blog6 (ab)，则的值为()A36 B72C108 D.解析：设2log2a3log3blog6(ab)k，可得a2k2，b3k3，ab6k，
16、所以108.所以选C.答案：C4(2015·长春质检)已知函数f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)f(2)解析：因为f(x)loga |x|在(0，)上单调递增，所以a1，f(1)f(2)f(3)又函数f(x)loga |x|为偶函数，所以f(2)f(2)，所以f(1)f(2)f(3)答案：B5已知函数f(x)log2 是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是()A(1,0) B(0,1)C(，0) D(，0)(1，)解析：由f(x)f(x)得log2 log2 ，所以t，整
17、理得1x2(2t)2t2x2，可得t21且(t2)21，所以t1，则f(x)log20，即，解得1x0.答案：A6(2015·深圳一模)lglg202×_.解析：lglg202×lg15×55.答案：7若loga(a21)loga2a0，则实数a的取值范围是_解析：a211，loga0，0a1.又loga 2a0，2a1，a.实数a的取值范围是.答案：8(2015·成都摸底)关于函数f(x)lg ，有下列结论：函数f(x)的定义域是(0，)；函数f(x)是奇函数；函数f(x)的最小值为lg 2；当x0时，函数f(x)是增函数其中正确结论的序号是
18、_(写出所有你认为正确的结论的序号)解析：函数f(x)lg的定义域为(0，)，其为非奇非偶函数，即得正确，不正确；由f(x)lglglglg 2，得正确；函数ux在x(0,1)时为减函数，在x(1，)时为增函数，函数ylg u为增函数，所以函数f(x)在x(0,1)时为减函数，在x(1，)时为增函数，即得命题不正确故应填.答案：9设f(x)loga(1x)loga(3x)(a>0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值解：(1)f(1)2，loga42(a>0，a1)，a2.由得x(1,3)，函数f(x)的定义域为(1,3)(2)f
19、(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当x(1,1时，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数，函数f(x)在上的最大值是f(1)log242.10已知f(x)loga x(a0且a1)，如果对于任意的x都有|f(x)|1成立，求a的取值范围解：由已知f(x)loga x，当0a1时，|f(2)|loga loga2loga 0，当a1时，|f(2)|loga loga2loga 0，故|f(2)|总成立则y|f(x)|的图象如图要使x时恒有|f(x)|1，只需1，即1loga 1，即logaa1loga logaa，当a1时，得a1a
20、，即a3；当0a1时，得a1a，得0a.综上所述，a的取值范围是3，)B组高考题型专练1(2014·高考福建卷)若函数ylogax(a>0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()解析：由ylogax的图象可知loga31，所以a3.对于选项A：y3xx为减函数，A错误；对于选项B：yx3，显然满足条件；对于选项C：y(x)3x3在R上为减函数，C错误；对于选项D：ylog3(x)，当x3时，y1，D错误故选B.答案：B2(2014·高考山东卷)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1 Ba1,
21、0c1C0a1，c1 D0a1,0c1解析：由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a1.又当x0时，y0，即loga c0，所以0c1.答案：D3.(2015·高考北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2 (x1)的解集是()Ax|1x0 Bx|1x1Cx|1x1 Dx|1x2解析：在平面直角坐标系中作出函数ylog2(x1)的图象如图所示所以f(x)log2 (x1)的解集是x|1x1，所以选C.答案：C4(2015·高考浙江卷)log2 _，2log2 3log4 3_.解析：log2log22，2log2 3log4 32log2 32log2 33.答案：35(2015·高考北京卷)23,3，log25三个数中最大的数是_解析：因为23，31.732，而log24log25，即log252，所以三个数中最大的数是log25.答案：log25