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1、第 1 页 共 6 页 课时跟踪检测（五十八）课时跟踪检测（五十八） 概率与统计的综合问题概率与统计的综合问题 1调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性现将这三项的满意度指标分别记为满意度有极强的相关性现将这三项的满意度指标分别记为 x，y，z，并对它们进行量化：，并对它们进行量化：0 表示不满意，表示不满意，1 表示基本满意，表示基本满意，2 表示满意再用综合指标表示满意再用综合指标 xyz 的值评定居民对城的值评定居民对城市的居住满意度等级：若市的居住满意度等级：若
2、 4，则居住满意度为一级；若，则居住满意度为一级；若 23，则居住满意度为二级；，则居住满意度为二级；若若 01，则居住满意度为三级为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员，则居住满意度为三级为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取从此城市居民中随机抽取 10 人进行调查，得到如下结果：人进行调查，得到如下结果： 人员人员编号编号 1 2 3 4 5 (x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (0,1,1) (1,2,1) 人员编号人员编号 6 7 8 9 10 (x，y，z) (1,2,2) (1,1,1) (1,2,2) (1,0,0
3、) (1,1,1) (1)在这在这 10 名被调查者中任取名被调查者中任取 2 人，求这人，求这 2 人的居住满意度指标人的居住满意度指标 z 相同的概率；相同的概率； (2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为 m，从居住满意度不是，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为 n，记随机变量，记随机变量 Xmn，求随机变量，求随机变量 X 的分的分布列及布列及其数学期望其数学期望 解：解： (1)记事件记事件 A 为为“从从 10 名被调查者中任取名被调查者中任取 2 人，
4、这人， 这 2 人的居住满意度指标人的居住满意度指标 z 相同相同”，则居住满意度指标则居住满意度指标 z 为为 0 的只有编号为的只有编号为 9 的的 1 名； 居住满意度指标名； 居住满意度指标 z 为为 1 的编号有的编号有 2,4,5,7,10共共 5 名；居住满意度指标名；居住满意度指标 z 为为 2 的编号有的编号有 1,3,6,8 共共 4 名名 从从 10 名被调查者中任取名被调查者中任取 2 人，所有可能的结果为人，所有可能的结果为 C21045(种种)，这，这 2 人的居住满意度指人的居住满意度指标标 z 相同的结果为相同的结果为 C25C2410616(种种)， 所以在这
5、， 所以在这 10 名被调查者中任取名被调查者中任取 2 人， 这人， 这 2 人的人的居住居住满意度指标满意度指标 z 相同的概率为相同的概率为 P(A)1645. (2)计算计算 10 名被调查者的综合指标，可列下表：名被调查者的综合指标，可列下表： 人员编号人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合指标综合指标 4 4 6 2 4 5 3 5 1 3 其中居住满意度为一级的编号有其中居住满意度为一级的编号有 1,2,3,5,6,8 共共 6 名，则名，则 m 的值可能为的值可能为 4,5,6；居住满意；居住满意度不是一级的编号有度不是一级的编号有 4,7,9,10 共共 4
6、 名，则名，则 n 的值可能为的值可能为 1,2,3，所以随机变量，所以随机变量 X 所有可能的所有可能的取值为取值为 1,2,3,4,5. P(X1)C13 C12C16 C1414， P(X2)C13 C11C12 C12C16 C14724， 第 2 页 共 6 页 P(X3)C13 C11C12 C11C11 C12C16 C14724， P(X4)C11 C11C12 C11C16 C1418， P(X5)C11 C11C16 C14124， 所以随机变量所以随机变量 X 的分布列为的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 14 724 724 18 124 E(X)114272437
7、2441851242912. 2已知具有相关关系的两个变量已知具有相关关系的两个变量 x，y 之间的几组数据如下表所示：之间的几组数据如下表所示： x 2 4 6 8 10 y 3 6 7 10 12 (1)请根据上表数据在图中绘制散点图；请根据上表数据在图中绘制散点图； (2)请根据上表提供的数据，求出请根据上表提供的数据，求出 y 关于关于 x 的线性回归方程的线性回归方程ybxa，并估计当，并估计当 x20时时y的值；的值； (3)将表格中的数据看作将表格中的数据看作 5 个点的坐标，则从这个点的坐标，则从这 5 个点中随机抽取个点中随机抽取 3 个点，记落在直线个点，记落在直线2xy4
8、0 右下方的点的个数为右下方的点的个数为 ，求，求 的分布列及数学期望的分布列及数学期望 参考公式：参考公式：bi1nxiyin x yi1nx2in x2，a y bx . 解解：(1)散点图如图所示散点图如图所示 第 3 页 共 6 页 (2)依题意得，依题意得， x 15(246810)6， y 15(3671012)7.6， i15x2i4163664100220， i15xiyi6244280120272， bi15xiyi5 x yi15x2i5 x2272567.62205621.1， 所以所以a7.61.161， 所以线性回归方程为所以线性回归方程为 y1.1x1， 故当故当
9、x20 时，时，y23. (3)可以判断，落在直线可以判断，落在直线 2xy40 右下方的点的坐标满足右下方的点的坐标满足 2xy40， 所以符合条件的点的坐标为所以符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)， 故故 的所有可能取值为的所有可能取值为 1,2,3. P(1)C22C13C35310，P(2)C12C23C3561035，P(3)C33C35110， 故故 的分布列为的分布列为 1 2 3 P 310 35 110 E()1310235311095. 32020 年年 10 月月 16 日，是第日，是第 40 个世界粮食日中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎个世界粮
10、食日中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割， 其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地来了海水稻的测产收割， 其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地 YC801 测产， 亩产超过测产， 亩产超过 648.5第 4 页 共 6 页 千克，通过推广种植海水稻，实现了荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入某企业引进千克，通过推广种植海水稻，实现了荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为指标值为 m(m70,100)，其质量指标等级划分如下
11、表：，其质量指标等级划分如下表： 质量指标值质量指标值 m 70,75) 75,80) 80,85) 85,90) 90,100 质量指标等级质量指标等级 良好良好 优秀优秀 良好良好 合格合格 废品废品 为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产现从试生产的产为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产现从试生产的产品中随机抽取了品中随机抽取了 1 000 件，将其质量指标值件，将其质量指标值 m 的数据作为样本，绘制频率分布直方图的数据作为样本，绘制频率分布直方图如图如图： (1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取若将频率作为概率，从该产品中随机抽取 3 件
12、产品，记件产品，记“抽出的产品中至少有抽出的产品中至少有 1 件件不是废品不是废品”为事件为事件 A，求事件，求事件 A 发生的概率发生的概率 (2)若从质量指标值若从质量指标值 m85 的样本中利用分层抽样的方法抽取的样本中利用分层抽样的方法抽取 7 件产品，然后从这件产品，然后从这 7 件件产品中任取产品中任取 3 件产品，求质量指标值件产品，求质量指标值 m90,95)的件数的件数 X 的分布列及数学的分布列及数学期望期望 (3)若每件产品的质量指标值若每件产品的质量指标值 m 与利润与利润 y(单位：元单位：元)的关系如下表的关系如下表(1t4)： 质量指标值质量指标值 m 70,75
13、) 75,80) 80,85) 85,90) 90,100 利润利润 y/元元 6t 8t 4t 2t 53et 试分析生产该产品能否盈利，若不能，请说明理由；若能，试确定试分析生产该产品能否盈利，若不能，请说明理由；若能，试确定 t 为何值时，每件产为何值时，每件产品的平均利润达到最大品的平均利润达到最大(参考数值：参考数值：ln 20.7，ln 51.6) 解：解：(1)设事件设事件 A 发生的概率为发生的概率为 P(A)，将频率作为概率，则由频率分布直方图可得，随，将频率作为概率，则由频率分布直方图可得，随机抽取机抽取 1 件产品，为废品的件产品，为废品的概率概率 P(0.040.02)
14、50.3， 则则 P(A)1C33(0.3)310.0270.973. (2)由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于 85 的产品中，的产品中， m85,90)的频率为的频率为 0.0850.4， m90,95)的频率为的频率为 0.0450.2， m95,100的频率为的频率为 0.0250.1. 故利用分层抽样抽取的故利用分层抽样抽取的 7 件产品中，件产品中，m85,90)的有的有 4 件，件，m90,95)的有的有 2 件，件，m95,100的有的有 1 件件 从这从这7件产品中任取件产品中任取3件产品， 质量指标值件产品， 质量指标值m9
15、0,95)的件数的件数X的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2， 第 5 页 共 6 页 P(X0)C35C3727，P(X1)C12C25C3747，P(X2)C22C15C3717， 所以所以 X 的分布列为的分布列为 X 0 1 2 P 27 47 17 所以所以 E(X)02714721767. (3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值由频率分布直方图可得该产品的质量指标值 m 与利润与利润 y(元元)的关系如下表所示的关系如下表所示(1t4)： 质量指质量指 标值标值 m 70,75) 75,80) 80,85) 85,90) 90,100 利润利润 y/元元 6t 8t 4
16、t 2t 53et P 0.05 0.1 0.15 0.4 0.3 故每件产品的平均利润故每件产品的平均利润 y0.3t0.8t0.6t0.8t0.5et2.5t0.5et(1t0，函数，函数 y2.5t0.5et单调递增；单调递增； 当当 t(ln 5,4)时，时，y0，函数，函数 y2.5t0.5et单调递减单调递减 所以当所以当 tln 5 时，时，y 取得最大值，最大值为取得最大值，最大值为 2.5ln 50.5eln 51.5. 所以生产该产品能够盈利，当所以生产该产品能够盈利，当 tln 51.6 时，每件产品的平均利润取得最大值，约为时，每件产品的平均利润取得最大值，约为1.5
17、元元 4某景点上山共有某景点上山共有 999 级台阶，寓意长长久久甲上台阶时，可以一步走一个台阶，级台阶，寓意长长久久甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为13，每步上两个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为23.为了为了简便描述问题，我们约定，甲从简便描述问题，我们约定，甲从 0 级台阶开始向上走，一步走一个台阶记级台阶开始向上走，一步走一个台阶记 1 分，一步走两分，一步走两个台阶记个台阶记 2 分，记甲登上第分，记甲登上第 n 个台阶的概率为个台阶的概率为 Pn，其中，其中 nN*，且，且 n998
18、. (1)若甲走若甲走 3 步时所得分数为步时所得分数为 X，求，求 X 的分布列和数学期望；的分布列和数学期望； (2)证明：数列证明：数列Pn1Pn是等比数列；是等比数列； (3)求甲在登山过程中，恰好登上第求甲在登山过程中，恰好登上第 99 级台阶的概率级台阶的概率 解：解：(1)由由题意可得题意可得 X 的所有可能取值为的所有可能取值为 3,4,5,6， 则则 P(X3) 133127， P(X4)C1323 13229， P(X5)C23 2321349， 第 6 页 共 6 页 P(X6) 233827， 所以所以 X 的分布列为的分布列为 X 3 4 5 6 P 127 29 49 827 所以所以 X 的数学期望的数学期望 E(X)312742954968275. (2)证明：由题意可得证明：由题意可得 Pn213Pn123Pn， 所以所以 Pn2Pn123(Pn1Pn) 又又 P113，P223 13279，所以，所以 P2P1490， 所以所以Pn1Pn是以是以49为首项，为首项，23为公比的等比数列为公比的等比数列 (3)由由(2)可得，可得， P99(P99P98)(P98P97)(P2P1)P1 49 1 23981231335415 2398.