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1、第 1 页 共 8 页 课时跟踪检测（三十九）课时跟踪检测（三十九） 立体几何的综合性问题立体几何的综合性问题 1如图如图，在等腰梯形，在等腰梯形 ABCD 中，中，AB2，CD6，AD2 2，E，F 分别是线段分别是线段 CD的两个三等分点若把等腰梯形沿虚线的两个三等分点若把等腰梯形沿虚线 AF，BE 折起，使得点折起，使得点 C 和点和点 D 重合，记为点重合，记为点 P，如图如图. (1)求证：平面求证：平面 PEF平面平面 ABEF； (2)求平面求平面 PAE 与平面与平面 PAB 所成锐二面角的余弦值所成锐二面角的余弦值 解：解：(1)证明：由已知条件易知四边形证明：由已知条件易知
2、四边形 ABEF 是正方形，是正方形， BEEF 且且 BEPE.又又 PEEFE， 所所以以 BE平面平面 PEF. 因为因为 BE平面平面 ABEF， 所以平面所以平面 PEF平面平面 ABEF. (2)如图，过点如图，过点 P 作作 POEF 于点于点 O， 过点过点 O 作作 BE 的平行线交的平行线交 AB 于点于点 G， 则则 PO平面平面 ABEF. 又又 PO，EF，OG 所在直线两两垂直，所在直线两两垂直， 所以分别以所以分别以 OG，OE，OP 所在直线为所在直线为 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴建立空间直轴建立空间直角坐标系，角坐标系， 则则 A(2，1,0)，B(2,1
3、,0)，E(0,1,0)， P(0,0， 3) 所以所以 AE (2,2,0)， EP (0，1， 3)， AB (0,2,0)， PA (2，1， 3) 设平面设平面 PAE 的法向量为的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 则则 n1 AE 0，n1 EP 0，所以所以 2x12y10，y1 3z10. 令令 z11，得，得 n1( 3， 3，1) 设平面设平面 PAB 的法向量为的法向量为 n2(x2，y2，z2)， 第 2 页 共 8 页 则则 n2 AB 0，n2PA 0，所以所以 2y20，2x2y2 3z20. 令令 z22，得，得 n2( 3，0,2) 设平面设平面 PAE 与
4、平面与平面 PAB 所成锐二面角为所成锐二面角为 ， 则则 cos |n1 n2|n1|n2|57 757. 所以平面所以平面 PAE 与平面与平面 PAB 所成锐二面角的余弦值为所成锐二面角的余弦值为57. 2.如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P- ABCD 中，中，ABCD 为矩形，为矩形，PD平面平面 ABCD，PB2，DPC45 ，PBD30 . (1)在在 PB 上是否存在一点上是否存在一点 E，使，使 PC平面平面 ADE？若存在，确定点？若存在，确定点 E的位置；若不存在，请说明理由；的位置；若不存在，请说明理由； (2)当当 E 为为 PB 的中点时的中点时，求二面角，求二面角
5、P- AE- D 的余弦值的余弦值 解：解：(1)存在点存在点 E，使，使 PC平面平面 ADE. 以以 D 为坐标原点，为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为所在直线分别为 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系 D- xyz. 由题意知由题意知 PDCD1，AD 2， 所以所以 D(0,0,0)，P(0,0,1)，A( 2，0,0)，B( 2，1,0)，C(0,1,0) 所以所以 PB ( 2，1，1)， PC (0,1，1) 设设 PE PB (01)，则，则 PE PB ( 2，1，1)， 所以所以 E( 2，1) 由由 PC
6、 DE (0,1，1) ( 2，1)10，得，得 12， 即当即当点点 E 为为 PB 的中点时，的中点时，PCDE. 由矩形由矩形 ABCD 知知 ADCD，由，由 PD平面平面 ABCD 知知 PDAD， 又又 PDCDD，所以，所以 AD平面平面 PDC，所以，所以 ADPC. 又又 ADDED，所以，所以 PC平面平面 ADE. 所以，当点所以，当点 E 为为 PB 的中点时，的中点时，PC平面平面 ADE. (2)由由(1)知知DA ( 2， 0,0)， DE 22，12，12，PA ( 2， 0， ， 1)，PE 22，12，12. 第 3 页 共 8 页 由由(1)知平面知平面
7、ADE 的一个法向量为的一个法向量为 n1 PC (0,1，1) 设平面设平面 PAE 的法向量为的法向量为 n2(x，y，z)， 则则 n2PA 0，n2 PE 0，即即 2xz0，22x12y12z0， 取取 x1，得，得 n2(1,0， 2) 设设 n1，n2的夹角为的夹角为 ，则，则 cos n1 n2|n1| |n2|33. 由图知二面角由图知二面角 P- AE- D 为锐角，为锐角， 故所求二面角故所求二面角 P- AE- D 的余弦值为的余弦值为33. 3如图如图 1，已知等边，已知等边ABC 的边长为的边长为 3，点，点 M，N 分别是边分别是边 AB，AC 上的点，且上的点，
8、且 BM2MA，AN2NC.如图如图 2，将，将AMN 沿沿 MN 折起到折起到AMN 的位置的位置 (1)求证：平面求证：平面 ABM平面平面 BCNM； (2)给出三个条件：给出三个条件：AMBC；平面平面 AMN 与平面与平面 CMN 的夹角为的夹角为 60 ；AB 7.在这三个条件中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答在这三个条件中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答 当当_时， 在线段时， 在线段 BC 上是否存在一点上是否存在一点 P， 使直线， 使直线 PA与平面与平面 ABM 所成角的正所成角的正弦值为弦值为3 1010？若存在，求出？若存在，求出 PB 的长；若不存在
9、，请说明理由的长；若不存在，请说明理由 解：解：(1)证明：由已知得证明：由已知得 AM1，AN2，A60 ， MN2AM2AN22AM ANcos 60 ，解得，解得 MN 3， 故故 AN2AM2MN2， MNAB，MNAM，MNMB， 又又MBAMM，MN平面平面 ABM. 又又 MN平面平面 BCNM，平面平面 ABM平面平面 BCNM. (2)若选条件若选条件AMBC，由，由(1)得得 AMMN，BC 和和 MN 是两条相交是两条相交直线，直线， AM平面平面 BCNM. 以以 M 为原点，为原点，MB，MN，MA分别为分别为 x，y，z 轴建立如图所示的轴建立如图所示的空间直角坐标
10、系空间直角坐标系 第 4 页 共 8 页 则则 A(0,0,1)，设，设 P(2a， 3a,0)，其中，其中 032，故不存在，故不存在 P 满足条件满足条件 若选条件若选条件平面平面 AMN 与平面与平面 CMN 的夹角为的夹角为 60 ，由，由(1)得得 AMB 即为平面即为平面 AMN 与平面与平面 CMN 的夹角，的夹角，AMB60 .过过 A作作 AOBM， 垂足为， 垂足为 O， 则， 则 AO平面平面 BCNM.在平面在平面 BCNM中，中，连接连接 OC，经计算可知，经计算可知 OCOB. 以以 O 为原点，为原点，OB，OC，OA分别为分别为 x，y，z 轴建立如图所示的轴建
11、立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系 则则 A 0，0，32， 设设 P 32a， 3a，0 ，其中，其中 0a32， 则则AP 32a， 3a，32. 易知平面易知平面 ABM 的法向量为的法向量为 n(0,1,0) 设直线设直线 PA与平面与平面 ABM 所成角所成角为为 ， 则则 sin |cosAP ，n| 3a 32a23a2343 1010， 解得解得 a32或或 a3(舍去舍去)，故存在，故存在 P 满足条件，满足条件， 这时这时 PB3. 若选条件若选条件AB 7，在，在ABM 中，由余弦定理得：中，由余弦定理得： AB2MB2MA22MB MAcosAMB， 即即 741
12、221cosAMB， 解得解得 cosAMB12，故故AMB120 . 过过 A作作 AOBM，垂足为，垂足为 O，则，则 AO平面平面 BCNM. 在平面在平面 BCNM 中，作中，作 ODOB，点，点 D 在在 BM 的右侧的右侧 第 5 页 共 8 页 以以 O 为原点，为原点，OB，OD，OA分别为分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间轴建立如图所示的空间直角坐标系直角坐标系 则则 A 0，0，32， 设设 P 52a， 3a，0 ，其中，其中 032，故不存在，故不存在 P 满足条件满足条件 4.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥 P- ABCD 中，中，ABCD 为矩形平面为矩
13、形平面 PAD平平面面 ABCD. (1)求证：求证：ABPD； (2)若若BPC90 ， PB 2， PC2， 问：， 问： AB 为何值时， 四棱锥为何值时， 四棱锥 P- ABCD 的体积最大？的体积最大？并求此时平面并求此时平面 BPC 与平面与平面 DPC 夹角的余弦值夹角的余弦值 解：解：(1)证明：因为四边形证明：因为四边形 ABCD 为矩形，故为矩形，故 ABAD. 又平面又平面 PAD平面平面 ABCD， 平面平面 PAD平面平面 ABCDAD，AB平面平面 ABCD， 所以所以 AB平面平面 PAD，又，又 PD平面平面 PAD，故，故 ABPD. (2)过过 P 作作 A
14、D 的垂线，垂足为的垂线，垂足为 O，过，过 O 作作 BC 的垂线，垂足为的垂线，垂足为 G，连接，连接 PG. 则则 PO平面平面 ABCD，BC平面平面 POG，BCPG. 在在 RtBPC 中，中，PG2 33，GC2 63，BG63. 设设 ABm，则，则 OP PG2OG2 43m2， 故四棱锥故四棱锥 P- ABCD 的体积为的体积为 V13 6 m43m2m3 86m2. 因为因为 m 86m2 8m26m4 6 m223283， 第 6 页 共 8 页 故当故当 m63，即，即 AB63时，四棱锥时，四棱锥 P- ABCD 的体积最大的体积最大 此时建立如图所示的空间直角坐标
15、系此时建立如图所示的空间直角坐标系 O- xyz， 则则 O(0,0,0)，B 63，63，0 ， C 63，2 63，0 ，D 0，2 63，0 ， P 0，0，63， 故故 PC 63，2 63，63， BC (0， 6，0)， CD 63，0，0 . 设平面设平面 BPC 的一个法向量的一个法向量 n1(x，y,1)， 则由则由 n1 PC 0，n1 BC 0，得得 63x2 63y630，6y0， 解得解得 x1，y0，n1(1,0,1) 同理可求出平面同理可求出平面 DPC 的一个法向量的一个法向量 n2 0，12，1 . 从而平面从而平面 BPC 与平面与平面 DPC 夹角夹角 的
16、余弦值为的余弦值为 cos |n1 n2|n1|n2|12141105. 5(2021 华南师大附中质检华南师大附中质检)如图，在五面体如图，在五面体 ABCDEF 中，中，ABCDEF，ADCD，DCF60 ，CDEFCF2AB2AD2，平面，平面CDEF平面平面 ABCD. (1)求证：求证：CE平面平面 ADF； (2)已知已知 P 为棱为棱 BC 上的点，试确定点上的点，试确定点 P 的位置，使二面角的位置，使二面角 P- DF- A 的大小为的大小为 60 . 解：解：(1)证明：证明：CDEF，CDEFCF， 四边形四边形 CDEF 是菱形，是菱形，CEDF. 平面平面 CDEF平
17、面平面 ABCD，平面，平面 CDEF平面平面 ABCDCD，ADCD，AD平面平面ABCD， AD平面平面 CDEF， CE平面平面 CDEF，ADCE. 又又AD平面平面 ADF，DF平面平面 ADF，ADDFD， 直线直线 CE平面平面 ADF. 第 7 页 共 8 页 (2)由由(1)知四边形知四边形 CDEF 为菱形，为菱形， 又又DCF60 ， DEF 为正三角形为正三角形 取取 EF 的中点的中点 G，连接，连接 GD，则，则 GDEF. EFCD，GDCD. 平面平面 CDEF平面平面 ABCD， GD平面平面 CDEF， 平面， 平面 CDEF平面平面 ABCDCD， GD平
18、面平面 ABCD. 又又ADCD， 直线直线 DA，DC，DG 两两垂直两两垂直 以以 D 为原点，分别以为原点，分别以 DA，DC，DG 所在的直线为所在的直线为 x 轴、轴、y 轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D- xyz. CDEFCF2，ABAD1， D(0,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，E(0，1， 3)，F(0,1， 3)， CE (0，3， 3)，DF (0,1， 3)， CB (1，1,0)，DC (0,2,0) 由由(1)知知 CE 是平面是平面 ADF 的一个法向量的一个法向量 设设 CP aCB (a，a,0)(0a1)， 则则 DP DC CP (a,2a,0) 设平面设平面 PDF 的法向量为的法向量为 n(x，y，z)， 则则 n DF 0，n DP 0，即即 y 3z0，ax 2a y0. 令令 y 3a，则，则 x 3(a2)，za， n( 3(a2)， 3a，a) 二面角二面角 P- DF- A 的大小为的大小为 60 ， |cosn，CE |n CE |n| CE | 4 3a12 3 a2 23a2a212， 解得解得 a23或或 a2(不合题意，舍去不合题意，舍去) 第 8 页 共 8 页 P 在靠近点在靠近点 B 的的 CB 的三等分点处的三等分点处