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1、第 1 页 共 7 页 课时跟踪检测（七）课时跟踪检测（七） 函数性质的综合应用函数性质的综合应用 一、综合练一、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1(2021 济南模拟济南模拟)下列函数既是奇函数，又在下列函数既是奇函数，又在1，1上单调递增的是上单调递增的是( ) Af(x)|sin x| Bf(x)ln exex Cf(x)12(exex) Df(x)ln( x21x) 解析：解析：选选 C 对于对于 A，f(x)|sin x|为偶函数，不符合题意；为偶函数，不符合题意； 对于对于 B，f(x)ln exex的定义域为的定义域为(e，e)，关于，关于原点对称，有原点对称，有 f(x)ln
2、exex ln exexf(x)，为奇函数，为奇函数， 设设 texex12exe，x(e，e)，在，在(e，e)上为减函数，而上为减函数，而 yln t 为增函数，则为增函数，则f(x)ln exex在在(e，e)上为减函数，不符合题意；上为减函数，不符合题意； 对于对于 C，f(x)12(exex)，有，有 f(x)12(exex)12(exex)f(x)，为奇函数，且，为奇函数，且f(x)12(exex)0，则，则 f(x)在在 R 上为增函数，符合题意；上为增函数，符合题意； 对于对于 D，f(x)ln( x21x)的定义域为的定义域为 R. f(x)ln( x21x)ln( x21x
3、)f(x)，为奇函数，为奇函数， 设设 t x21x1x21x，易知，易知 t 在在 R 上为减函数，而上为减函数，而 yln t 为增函数，为增函数， 则则 f(x)ln( x21x)在在 R 上为减函数，不符合题意故选上为减函数，不符合题意故选 C. 2 已知 已知 f(x)是定义在是定义在2b,1b上的偶函数， 且在上的偶函数， 且在2b,0上为增函数， 则上为增函数， 则 f(x1)f(2x)的解集为的解集为( ) A. 1，23 B. 1，13 C1,1 D. 13，1 解析：解析：选选 B f(x)是定义在是定义在2b,1b上的偶函数，上的偶函数，2b1b0，b1， f(x)在在2
4、b,0上为增函数，即函数上为增函数，即函数 f(x)在在2,0上为增函数，上为增函数，函数函数 f(x)在在(0,2上为上为减函数，则由减函数，则由 f(x1)f(2x)，得，得|x1|2x|，即，即(x1)24x2，解得，解得1x13. 又又函数函数 f(x)的定义域为的定义域为2,2， 2x12，22x2，解得解得 1x3，1x1. 第 2 页 共 7 页 综上，所求解集为综上，所求解集为 1，13. 3已知函数已知函数 f(x)在在0,4上是增函数，且函数上是增函数，且函数 yf(x4)是偶函数，则下列结论正确的是偶函数，则下列结论正确的是是( ) Af(2)f(4)f(5) Bf(2)
5、f(5)f(4) Cf(5)f(4)f(2) Df(4)f(2)f(5) 解析：解析：选选 B 因为函数因为函数 yf(x4)是偶函数，所以函数是偶函数，所以函数 yf(x4)的图象关于直线的图象关于直线 x0对称，所以函数对称，所以函数 yf(x)的图象关于直线的图象关于直线 x4 对称，所以对称，所以 f(5)f(3)，又函数，又函数 yf(x)在在0,4上是增函数，所以上是增函数，所以 f(2)f(3)f(4)，即，即 f(2)f(5)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数，则称函数 yf(x)为为“H 函数函数”，下列函数为，下列函数为 H 函函数的是数的是( ) Af(x)sin x
6、 Bf(x)ex Cf(x)x33x Df(x)x|x| 解析：解析：选选 D 根据题意，对于任意不根据题意，对于任意不相等的实数相等的实数 x1，x2，x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)恒成立，恒成立， 则有则有(x1x2)f(x1)f(x2)0 恒成立，即函数恒成立，即函数 f(x)是定义在是定义在 R 上的增函数，上的增函数， 故故“H 函数函数”为奇函数且在为奇函数且在 R 上为增函数上为增函数 据此依次分析选项：据此依次分析选项： 对于对于 A，f(x)sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意； 对
7、于对于 B，f(x)ex，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；，为指数函数，不是奇函数，不符合题意； 对于对于 C，f(x)x33x，为奇函数，但在，为奇函数，但在 R 上不是增函数，不符合题意；上不是增函数，不符合题意； 对于对于 D，f(x)x|x| x2，x0，x2，x0为奇函数且在为奇函数且在 R 上为增函数，符合题意，故选上为增函数，符合题意，故选 D. 5(多选多选)已知已知 f(x)是定义在是定义在 R 上的偶函数，其图象关于点上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称，给出下列关于对称，给出下列关于 f(x)的结论，其中正确的结论是的结论，其中正确的结论是( ) Af(x)是周期函
8、数是周期函数 Bf(x)满足满足 f(x)f(4x) Cf(x)在在(0,2)上单调递减上单调递减 Df(x)cos x2是满足条件的一个函数是满足条件的一个函数 解析：解析：选选 ABD 因为因为 f(x)为偶函数，所以为偶函数，所以 f(x)f(x)，因为，因为 f(x)的图象关于点的图象关于点(1,0)对对称，则称，则 f(x)f(2x)，故，故 f(x2)f(x)，故有，故有 f(x4)f(x2)f(x)，即，即 f(x)是以是以 4为周期的周期函数，故为周期的周期函数，故 A 正确；可得正确；可得 f(x)f(x)f(x4)，把，把 x 替换成替换成x 可得可得 f(x)f(4第 3
9、 页 共 7 页 x)，故，故 B 正确；正确；f(x)cosx2是定义在是定义在 R 上的偶函数，上的偶函数，(1,0)是其图象的一个对称中心，可是其图象的一个对称中心，可得得 D 正确；正确；f(x)cosx2满足题意，但满足题意，但 f(x)在在(0,2)上单调递增，故上单调递增，故 C 错误错误 6(多选多选)设函数设函数 f(x)是定义在是定义在 R 上的函数，满足上的函数，满足 f(x)f(x)0，且对任意的，且对任意的 xR，恒有恒有 f(x2)f(2x)，已知当，已知当 x0，2 时，时，f(x) 122x，则有，则有( ) A函数的最大值是函数的最大值是 1，最小值是，最小值
10、是14 B函数函数 f(x)是周期函数，且周期为是周期函数，且周期为 2 C函数函数 f(x)在在2，4 上递减，在上递减，在4，6 上递增上递增 D当当 x2，4 时，时，f(x) 122x 解析：解析：选选 AC 函数函数 f(x)满足满足 f(x)f(x)0，即，即 f(x)f(x)，函数函数 f(x)是偶函数是偶函数 f(x2)f(2x)f(x2)，函数函数 f(x)是周期为是周期为 4 的周期函数，的周期函数，B 错误；错误； x0，2 时，时，f(x) 122x， x0，2 时，时，f(x)是增函数，是增函数， f(x)maxf(2)1，f(x)minf(0)14. 根据函数根据函
11、数 f(x)是偶函数可知当是偶函数可知当 x2，2 时，最大值为时，最大值为 1，最小值为，最小值为14，由周期性知当，由周期性知当xR 时，最大值为时，最大值为 1，最小值为，最小值为14，A 正确；正确； 又又x0，2 时，时，f(x)是增函数，是增函数，x2，0 时，时，f(x)是减函数，由是减函数，由 T4 知知 f(x)在在2，4 上递减，在上递减，在4，6 上递增，上递增，C 正确；正确； 令令 x2，0 ，则，则x0，2 ，f(x) 122xf(x)， f(x4) 122x4 12x2f(x)， x2，4 时，时，f(x) 12x2，D 错误故选错误故选 A、C. 7已知已知 f
12、(x)是定义在是定义在 R 上的偶函数，且上的偶函数，且 f(x4)f(x2)若当若当 x3,0时，时，f(x) 6x，则，则 f(919)_. 解析：解析：f(x4)f(x2)， f(x6)f(x)，f(x)的周期为的周期为 6， 91915361，f(919)f(1) 又又 f(x)为偶函数，为偶函数，f(919)f(1)f(1)6. 答案：答案：6 第 4 页 共 7 页 8(2021 衡水中学模拟衡水中学模拟)已知函已知函数数 f(x)ex1ex2sin x，其中，其中 e 为自然对数的底数，若为自然对数的底数，若f(2a2)f(a3)f(0)0，则实数，则实数 a 的取值范围为的取值
13、范围为_ 解析：解析： 因为因为 f(0)0， f(x)exex2cos x， exex2， 而， 而 2cos x2， 所以， 所以 f(x)0，所以函数所以函数 yf(x)是单调递增函数又是单调递增函数又 f(x)f(x)，即函数，即函数 f(x)是奇函数，所以原不等式是奇函数，所以原不等式可化为可化为 f(2a2)f(a3)f(3a)，则，则 2a23a，即，即 2a2a30，解得，解得32a0 时，时，f(x)1. (1)求求 f(0)的值；的值； (2)证明：证明：f(x)在在(，)上是增函数；上是增函数； (3)求不等式求不等式 f(x2x)1f 2x4 的解集的解集 解：解：(1
14、)令令 a1，b0，则，则 f(1)f(10)f(1)f(0)， f(1)0，f(0)1. (2)证明：当证明：当 x0. 令令 ax，bx，则，则 f(x)f(x)f(xx)f(0)1，由，由 f(x)0 得得 f(x)0，注意到，注意到 f(0)10， 对于任意实数对于任意实数 x，f(x)0. 任取任取 x1，x2R，且，且 x10，f(x2x1)1， f(x2)fx1(x2x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)， 函数函数 yf(x)在在(，)上是增函数上是增函数 (3)1f 2x4 f 0 f 2x4 f(2x4)， f(x2x)1f 2x4 f(2x4)， 由由(2)可得可得 x
15、2x2x4， 解得解得4x1，原不等式的解集是原不等式的解集是(4,1) 12已知函数已知函数 f(x)对任意对任意 xR 满足满足 f(x)f(x)0，f(x1)f(x1)，若当，若当 x0,1)时，时，f(x)axb(a0 且且 a1)，且，且 f 3212. (1)求实数求实数 a，b 的值；的值； (2)求函数求函数 g(x)f2(x)f(x)的值域的值域 解：解：(1)因为因为 f(x)f(x)0， 所以所以 f(x)f(x)，即，即 f(x)是奇函数是奇函数 因为因为 f(x1)f(x1)，所以，所以 f(x2)f(x)， 即函数即函数 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数，的
16、周期函数， 所以所以 f(0)0，即，即 b1. 又又 f 32f 12f 121 a12，解得，解得 a14. (2)当当 x0,1)时，时， f(x)axb 14x1 34，0 ， 由由 f(x)为奇函数知，当为奇函数知，当 x(1,0)时，时，f(x) 0，34， 第 6 页 共 7 页 又因为又因为 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数，的周期函数， 所以当所以当 xR 时，时，f(x) 34，34， 设设 tf(x) 34，34， 所以所以 g(x)f2(x)f(x)t2t t12214， 即即 y t12214 14，2116. 故函数故函数 g(x)f2(x)f(x)的值域为
17、的值域为 14，2116. 二、自选练二、自选练练高考区分度练高考区分度 1(多选多选)(2021 衡阳模拟衡阳模拟)若函数若函数 f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函优美函数数”： (1)xR，都有，都有 f(x)f(x)0； (2)x1，x2R，且，且 x1x2，都有，都有f x1 f x2 x1x2f(2x1)成立的成立的x的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：由已知得函数由已知得函数 f(x)为偶函数，所以为偶函数，所以 f(x)f(|x|)，由，由 f(x)f(2x1)，可得，可得 f(|x|)f(|2x1|) 当当 x0 时，时，f
18、(x)ln(1x)11x2， 因为因为 yln(1x)与与 y11x2在在(0，)上都单调递增，所以函数上都单调递增，所以函数 f(x)在在(0，)上上单调递增单调递增 由由 f(|x|)f(|2x1|)，可得，可得|x|2x1|，两边平方可得，两边平方可得 x2(2x1)2，整理得，整理得 3x24x10，解得解得13x0 的解集的解集 解：解：由题意易知条件由题意易知条件和和最好只选择一个，否则可能产生矛盾；条件最好只选择一个，否则可能产生矛盾；条件和和最好也最好也只选择一个，否则只选择一个，否则 f(x)就变成恒等于就变成恒等于 0 的常数函数，失去研究价值的常数函数，失去研究价值 如果
19、选择条件如果选择条件.由由 f(x)是定义在是定义在 R 上的奇函数，可知上的奇函数，可知 f(0)0，f(1)f(1)0，且且 f(x)在关于原点对称的区间上的单调性一致因为在关于原点对称的区间上的单调性一致因为 f(x)在在(0，)上单调递减，所以，当上单调递减，所以，当0 x1 或或 x0，当，当 x1 或或1x0 时，时，f(x)0.f(x1)00 x11 或或 x11，即，即 1x2 或或 x0 的解集为的解集为(，0)(1,2) 如果选择条件如果选择条件.因为因为 f(x)在在(0，)上单调递减，且上单调递减，且 f(x)是偶函数，所以是偶函数，所以 f(x)在在 (，0)上单调递增，注意到上单调递增，注意到 f(1)0，所以，所以 f(x1)0f(x1)f(1)f(|x1|)f(|1|)|x1|10 x0 的解集为的解集为(0,1)(1,2) 选择其他条件组合的解法类似选择其他条件组合的解法类似 如果同时选择条件如果同时选择条件.易知易知 f(x)0 恒成立，不等式恒成立，不等式 f(x1)0 的解集为空集的解集为空集