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1、 2004 年普通高等学校招生全国统一考试数学（广东卷）考试时间：120 分钟 日期：2004 年 6 月 8 日星期二满分 150 分第 I 卷参考公式：三角函数的积化和差公式函数求导公式12sina cos b = sin (a + b ) + sin (ab )(uv) = uv12cosa sin b = sin (a + b )sin (ab )(uv) = uv + uv12uvuvuvcosa cos b = cos (a + b ) + cos (ab )( ) =（v 0）v 212sina sin b = cos (a + b )cos (ab )f (j (x) = f
2、(u) j(x)，其中 u = j (x)锥体体积公式球的体积公式1343V= ShV= pR3锥体球体其中 S 表示底面积，h 表示高其中 R 表示球的半径一. 选择题（共 12 小题，每题 5 分，计 60 分）aba b（1）已知平面向量 =（3，1）， =（x，3），且 ，则 x=（A） 3（B） 1（C） 1（D）3（2）已知 Ax|2x1|3，Bx|xx6，则 AB2（A）-3,-2) (1,2（C）(-3,-2 1,2)（B）-3,-2) (1,+)（D）(-,-3 (1,23x + 22-(x 2)f (x) = x 4 x 2 2（3）设函数-在 x=2 处连续，则 a=a(
3、x 2)1（A）214113（B）（C）（D）41232n -1 2n-lim-+- +（4）的值为n +1 n +1 n +1n +1 n +1n1（C）2（A）1（B）0（D）1 ppsin x +sin x -（5）函数 f（x）是2244pp（A）周期为 的偶函数（B）周期为 的奇函数pp（C）周期为 2 的偶函数（D）周期为 2 的奇函数（6）一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是（A）0.1536（B） 0.1808（C） 0.5632（D） 0.9728（7）在棱长为
4、 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去 8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是23764556（A）（B）（C）（D）（8）若双曲线 2x（A） 6yk（k0）的焦点到它相对应的准线的距离是 2，则 k=22（B） 8（C） 1（D） 4的最小值是cos xp2（9）当 0x 时，函数 f（x）cos xsin x -sin x42114（A） 4（B）（C）2（D）22x + y 122x + 9y 36（10）变量 x、y 满足下列条件：，则使 z=3x+2y 的值最小的（x，y）是2x + 3y = 24x 0, y 0（A）（4.5，3） （B）（3，6）（
5、C）（9，2）（D）（6，4）p f (x) = tan x +（11）若，则4f (-1) f (0) f (1)f (0) f (1) f (-1) （A）（C）（B）f (1) f (0) f (-1)（D） f (0) f (-1) f (1)（12）如右下图，定圆半径为 a，圆心为（b ，c）， 则直线 ax+by+c=0 与直线 xy+1=0 的交点在y（A）第四象限（B）第三象限（C）第二象限（D）第一象限Ox 二.填空题（共 4 小题，每题 4 分，计 16 分）（13）某班委会由4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出2 人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是（14）
6、已知复数 z 与(z +2)（用分数作答）8i 均是纯虚数，则 z =.2SPA PBV=（15）由图（1）有面积关系：PAPB ，则由图（2）有体积关系：P-ABC.DPABSVDPABP-ABCBBBBCC图 2PPAAAA图 1（16）函数 f (x) = ln( x +1-1)（x0）的反函数f (x).-1三.解答题（共 6 小题，74 分）（17）（12 分）已知 ， ， 成公比为 2 的等比数列（ 0，2 ），且 sin ，sin ，sin 也成等比数列. 求 ， ， 的值.（18）（12 分）如右下图，在长方体ABCDA B C D 中，已知AB= 4， AD =3， AA =
7、 2.11111E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1.D1DC1C（）求二面角 CDEC 的正切值;1（）求直线 EC 与 FD 所成的余弦值.B111A1FAEBf (x) = 1- 1（19）（12 分）设函数x （x0）.（）证明: 当 0ab ，且 f (a) = f (b) 时，ab1;（）点 P（x ，y ）（0x 1 ）在曲线y = f (x) 上，求曲线在点 P 处的切线与 x 轴和 y000轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x 表达）.0（20）（12 分）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东
8、观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为 340m/s ，相关各点均在同一平面上） （21）（12 分）设函数 f (x) = x - ln(x + m) ，其中常数 m 为整数.（）当 m 为何值时， f (x) 0；（）定理: 若函数 g（x） 在a，b上连续，且 g（a）与 g（b）异号，则至少存在一点x （a，b），使 g（x ）=0.00试用上述定理证明：当整数 m1 时，方程 f（x）= 0，在e m ，e2m 内有两个实根.x y22+ =1（22）（14 分）设直线 l 与椭圆相交
9、于 A、B 两点，l 又与双曲线 xy =1 相交2225 16于 C、D 两点，C、D 三等分线段 AB.求直线 l 的方程.参考答案一、选择题CACABDDAABDB二、填空题：5PA PB PC(16)e2x + 2ex(x R)（13）（14）2i (15)7 PA PB PC三、解答题17解： , , 成公比为 2 的等比数列， =2 ， =4sin ,sin ,sin 成等比数列sin b sing=sin 2a sin 4a= cosa = 2 cos a 1-2sina sin bsina sin 2a即2 cos a - cosa -1 = 02解得cosa = 1,或cos
10、a = - 12当 cos =1 时，sin =0,与等比数列的首项不为零，故 cos =1 应舍去，12p4p当cosa = - ,a 0,2p时,a = 或a = ,2332p4p8p4p8p16p所以a = , b = ,g = 或a = , b = ,g =33333318解：（I）以 A 为原点，AB, AD, AA分别为 x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，1则有D(0,3,0)、D (0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C (4,3,2)11于是， DE= (3,-3,0),EC = (1,3,2),FD = (-4,2,2)11 设向量 n= (x,
11、y, z)与平面 C DE 垂直，则有1n DE 3x - 3y = 01 x = y = - z x + 3y + 2z = 02n EC1z zn = (- ,- , z) = (-1,-1,2),其中z 02 2z2取n = (-1,-1,2),则n 是一个与平面C DE垂直的向量,001向量AA = (0,0,2)与平面CDE垂直,Q1n 与AA 所成的角q为二面角C - DE - C 的平面角011n AA-1 0 -1 0 + 2 21+1+ 4 0 + 0 + 46Qcosq =013| n | | AA |012tan =q2（II）设 EC 与 FD 所成角为，则11EC F
12、D1 (-4) + 3 2 + 2 22114cos =b11| EC | | FD |1 + 3 + 2 (-4) + 2 + 22222221119.证明：（I）1-1, x ( 0,11xQ f (x) =|1- |=1x1- , x (1,+)x故 f(x)在（0，1 上是减函数，而在（1，+）上是增函数，由0ab 且 f(a)=f(b)得 0a1 2 abb a b和a故 ab1,即ab 11 11（II）0x1 时， y= f (x) =|1- |= -1, f (x ) = - ,0 x |PA|,x = -680 5, y = 680 5,即P(-680 5,680 5),故P
13、O = 680 10答：巨响发生在接报中心的西偏北 45，距中心680 10m处.021.（I）解：函数 f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续，且1f(x) = 1-,令f (x) = 0,得x = 1- mx + m当 x(-m,1-m)时,f （x）f(1-m)当 x(1-m, +)时,f （x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1-m)根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且对 x(-m, +)都有 f(x)f(1-m)=1-m故当整数 m1 时，f(x) 1-m0(II)证明：由（I）知，当整数 m1 时，f(1-m)=1-m 0当整数m 1时, f (e
14、 - m)与f (1- m)异号,-m 由所给定理知，存在唯一的 x(e - m,1- m),使f (x ) = 0-m11而当整数 m1 时，f (e2m - m) = e2m - 3m (1+1)2m - 3m 1+ 2m +2m(2m -1)- 3m 02( m 1 2m -1 1,上述不等式也可用数学归纳法证明)1- m,e - m类似地，当整数 m1 时，函数 f(x)=x-ln(x+m),在-m上为连续增函数且 f(1-m)与 f(e - m)2m异号，由所给定理知，存在唯一的x 1- m,e - m,使f (x ) = 0-m22e - m,e - m故当 m1 时，方程 f(x
15、)=0 在 -m2m内有两个实根。22解：首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的情况，设直线 l 的方程为y=kx+b，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为：A(x , y ), B(x , y ),C(x , y ), D(x , y )11223344yB lDoxCA依题意有 AC = DB, AB = 3CD，由y = kx + b得(16 + 25k )x - 2bkx + (25b - 400) = 0.(1)222x2y2+= 125 1650bk x + x = -1216 + 25k 2 = +y kx b由得(1- k )x - 2bkx - (b +1) = 0.(2)222
16、x2- y = 12若 k= 1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k 12bk x + x =341- k 2由 AC= DB x - x = x - x x + x = x + x31241234 50bk2bk -= bk = 0 k = 0或b = 016 + 25k 2 1- k 25(i)当k = 0时,由(1)得x = 16 - b ,由(2)得x = b +1221,243,41041613由AB = 3CD x - x = 3(x - x ),即16 - b = 6 b +1 b = 222143故 l 的方程为 y= 1613(ii)当 b=0 时，由(1)得20x
17、= 1,由(2)得x = 1,23,416 + 25k 21- k 24016 + 25k 26 k = 16由AB = 3CD x - x = 3(x - x )即=由2143251- k 216故 l 的方程为 y= x25再讨论 l 与 x 轴垂直的情况.设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，4y = 25 - c, y = c -1221,253,4由| AB |= 3 | CD | y - y |= 3 | y - y |2143825 241241即 25 - c = 6 c -1 c = 22525 241241故l的方程为x = = 1616y = x = 和 x25 241241综上所述，故 l 的方程为 y、1325