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1、20042004 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学（广东卷）数学（广东卷）考试时间：120 分钟日期：2004 年 6 月 8 日星期二满分 150 分第 I I 卷参考公式：三角函数的积化和差公式1sinsincoscos=sinsin(+)+sinsin()21coscossinsin=sinsin(+)sinsin()21coscoscoscos=coscos(+)+coscos()21sinsinsinsin=coscos(+)coscos()2锥体体积公式1V锥体=Sh3函数求导公式(uv)=uv(uv)=uv+uvuvuvu()=（v 0）vv 2f
2、(x)=f(u)(x)，其中 u=(x)球的体积公式4V球体=R 33其中 S 表示底面积，h 表示高其中 R 表示球的半径一一.选择题选择题（共 12 小题，每题 5 分，计 60 分）（1）已知平面向量a=（3，1），b=（x，3），且ab，则 x=（A）3（B）1（C）1（D）3（2）已知 Ax|2x1|3，Bx|x2x6，则 AB（A）3,2)(1,2（B）3,2)(1,)(1,2（C）(3,21,2)（D）(,323x22（3）设函数f(x)x 4x2a（A）(x 2)(x 2)在 x=2 处连续，则 a=1111（B）（C）（D）2443（4）lim231nn1n1n12n12n
3、的值为n1n11（D）12（A）1（B）0（C）（5）函数 f（x）sin2x42sinx是4（A）周期为的偶函数（B）周期为的奇函数（C）周期为 2的偶函数（D）周期为 2的奇函数（6）一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2 台机床需要工人照看的概率是（A）0.1536（B）0.1808（C）0.5632（D）0.9728（7）在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去 8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（A）2745（B）（C）（D）3656（8）若双曲线 2x2y2k（
4、k0）的焦点到它相对应的准线的距离是2，则 k=（A）6（B）8（C）1（D）4cos2x（9）当 0 x时，函数 f（x）的最小值是4cosxsin xsin2x（A）4（B）11（C）2（D）242x y 122x9y 36（10）变量 x、y 满足下列条件：，则使 z=3x+2y 的值最小的（x，y）是2x3y 24x 0,y 0（A）（4.5，3）（B）（3，6）（C）（9，2）（D）（6，4）（11）若f(x)tanx，则4（A）f(1)f(0)f(1)（B）f(0)f(1)f(1)（C）f(1)f(0)f(1)（D）f(0)f(1)f(1)（12）如右下图，定圆半径为a，圆心为（b
5、，c），则直线 ax+by+c=0 与直线 x y+1=0 的交点在y（A）第四象限（B）第三象限（C）第二象限（D）第一象限xO二二.填空题填空题（共 4 小题，每题 4 分，计 16 分）（13）某班委会由4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出2 人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是（用分数作答）（14）已知复数 z 与(z+2)28i 均是纯虚数，则 z=.（15）由图（1）有面积关系：VSPABPAPB，则由图（2）有体积关系：PABC.SPABPAPBVPABCBBBBCP图 1AAPCA图 2A（16）函数f(x)ln(x11)（x0）的反函数f1(x).三三.解答题解
6、答题（共 6 小题，74 分）（17）（12 分）已知，成公比为 2 的等比数列（0，2），且 sin，sin，sin 也成等比数列.求，的值.（18）（12 分）如右下图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB=FB=1.D1C1（）求二面角 CDEC1的正切值;（）求直线 EC1与 FD1所成的余弦值.B1A1DCFAEB（19）（12 分）设函数f(x)11（x0）.x（）证明:当 0ab，且f(a)f(b)时，ab1;（）点 P（x0，y0）（0 x01）在曲线y f(x)上，求曲线在点 P 处的切线与
7、x 轴和 y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x0表达）.（20）（12 分）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是 1020m.试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上）（21）（12 分）设函数f(x)xln(xm)，其中常数 m 为整数.（）当 m 为何值时，f(x)0；（）定理定理:若函数若函数 g g（x x）在在aa，bb上连续，且上连续，且 g g（a a）与）与 g g（b b）异号，则至少存在一点）异号，则
8、至少存在一点x x0 0（a a，b b），使，使 g g（x x0 0）=0.=0.试用上述定理证明：当整数m1 时，方程 f（x）=0，在em，e2m 内有两个实根.x2y21相交于 A、B 两点，l 又与双曲线 x2y2=1 相交（22）（14 分）设直线l 与椭圆2516于 C、D 两点，C、D 三等分线段 AB.求直线 l 的方程.参考答案参考答案一、选择题CACABDDAABDB二、填空题：5PAPBPC2xx（13）（14）2i(15)(16)e 2e7PAPBPC三、解答题17解：,成公比为 2 的等比数列，=2，=4sin,sin,sin 成等比数列(xR)sinsinsin
9、2sin4 cos 2cos21sinsinsinsin2即2cos2cos1 0解得cos1,或cos 12当 cos=1 时，sin=0,与等比数列的首项不为零，故cos=1 应舍去，124当cos,0,2时,或,2332484816所以,或,33333318解：（I）以 A 为原点，AB,AD,AAy 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，1分别为 x 轴，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，DE (3,3,0),EC1(1,3,2),FD1(4,2,2)设向量n (x,y,z)与平面 C1DE 垂直，则有n DE13x 3
10、y 0 x y zx 3y 2z 02n EC1zzzn (,z)(1,1,2),其中z 0222取n0(1,1,2),则n0是一个与平面C1DE垂直的向量,向量AA1(0,0,2)与平面CDE垂直,n0与AA1所成的角为二面角C DE C1的平面角costann0 AA1|n0|AA1|221010 2211 4 0 0 463（II）设 EC1与 FD1所成角为，则cosEC1 FD1|EC1|FD1|1(4)32 221232 22(4)2 22 22211419.证明：（I）11,x(0,11x f(x)|1|x11,x(1,)x故 f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+）上是增函
11、数，由0ab 且 f(a)=f(b)得 0a1b和111111,即 2 2ab a b 2 ababab故ab 1,即ab 1（II）0 x|PA|,x 680 5,y 680 5,即P(680 5,680 5),故PO 680 10答：巨响发生在接报中心的西偏北450，距中心680 10m处.21.（I）解：函数 f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续，且f(x)11,令f(x)0,得x 1 mx m当 x(-m,1-m)时,f（x）f(1-m)当 x(1-m,+)时,f（x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1-m)根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对 x(
12、-m,+)都有 f(x)f(1-m)=1-m故当整数 m1 时，f(x)1-m0(II)证明：由（I）知，当整数 m1 时，f(1-m)=1-m1 时，2m(2m 1)3m 02(m 1 2m 11,上述不等式也可用数学归纳法证明)f(e2m m)e2m3m (11)2m3m 1 2m 类似地，当整数 m1 时，函数 f(x)=x-ln(x+m),在1m,emm上为连续增函数且 f(1-m)与f(e2mm)异号，由所给定理知，存在唯一的x21m,emm,使f(x2)0故当 m1 时，方程 f(x)=0 在emm,e2mm内有两个实根。22解：首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的情况，设直线l 的
13、方程为y=kx+b，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)y yD DA A依题意有AC DB,AB 3CD，由B Bl lx xC Co oy kx b2得(16 25k2)x2 2bkx (25b2 400)0.(1)xy21251650bkx1 x2 216 25ky kx b222由2得(1 k)x 2bkx(b 1)0.(2)2x y1若k 1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k 1x3 x42bk21 k由AC DB x3 x1 x2 x4 x1 x2 x3 x450bk2bk bk 0 k 0或b 02
14、216 25k1k5(i)当k 0时,由(1)得x1,2 16b2,由(2)得x3,4 b2141016由AB 3CD x2 x1 3(x4 x3),即16b2 6 b21 b 413 故 l 的方程为y 1613(ii)当 b=0 时，由(1)得x1,2 2016 25k2,由(2)得x3,4 11k2由由AB 3CD x2 x1 3(x4 x3)即故 l 的方程为y 4016 25k261k2 k 162516x25再讨论 l 与 x 轴垂直的情况.设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，y1,2 425c2,y3,4 c215由|AB|3|CD|y2 y1|3|y4 y3|825 24122即25c 6 c 1 c 524125 241故l的方程为x 241综上所述，故 l 的方程为y 161625 241x和x 、y 1325241