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1、人教人教A A版高中数学版高中数学必修必修 章节复习章节复习关于高中数学必修复习第讲必修三角形中的三角函数现在学习的是第1页，共25页1.能能熟熟练练利利用用正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理将将三角形的边角转化三角形的边角转化.2.掌掌握握三三角角形形形形状状的的判判断断，三三角角形形内三角函数的求值及三角恒等式的证明内三角函数的求值及三角恒等式的证明.现在学习的是第2页，共25页1.ABC中中,已知已知sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,则三角形的形则三角形的形状是状是()DA.等边三角形等边三角形 B.等腰三角形等腰三角形C.直角三角形直角三角形 D.等腰直
2、角三角形等腰直角三角形现在学习的是第3页，共25页 由由sin2A=sin2B+sin2C,得得a2=b2+c2.所以所以ABC为直角三角形，为直角三角形，A=90，由由sinA=2sinBcosC，得，得2sin2B=1.因为因为B为锐角，所以为锐角，所以sinB=,从而从而B=45，C=45，所以所以ABC为等腰直角三角形，故选为等腰直角三角形，故选D.现在学习的是第4页，共25页2.在锐角在锐角ABC中，已知中，已知cosA=,sinB=,则则cosC的值是的值是()BA.B.C.或或 D.-因为因为cosA=,sinB=,所以所以sinA=,cosB=,所以所以cosC=cos-(A+
3、B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-+=.现在学习的是第5页，共25页3.在在ABC中中,设设命命题题p:=,命命题题q:ABC是是等等边边三三角角形形，则则命命题题p是是命命题题q的的()CA.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 p:=，由正弦定理由正弦定理 =，所以所以sinA=sinB=sinC,所以所以A=B=C a=b=c,故选故选C.现在学习的是第6页，共25页4.在在ABC中中，三三个个内内角角满满足足2A=B+C，且且最最大大边边与与最最小小边边分分别别是
4、是方方程程x2-12x+32=0的的两两根根，则则ABC外接圆的面积为外接圆的面积为()AA.16 B.64C.124 D.156现在学习的是第7页，共25页 由方程由方程x2-12x+32=0，解得，解得x=4或或x=8,不妨设不妨设b=8,c=4,因为因为2A=B+C,所以所以A+B+C=3A=180,A=60,由余弦定理得，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos60=64+16-284 =48.所以所以a=4 .由正弦定理，得由正弦定理，得2R=asinA=8,R=4,所以所以S圆圆=R2=16,故选故选A.现在学习的是第8页，共25页5.ABC中，已知中，已知a=x,b=2,B=
5、45,若解此三角形若解此三角形有两解有两解,则则x的取值范围是的取值范围是 .(2,2 )sinA=x=x,因三角形有两解，因三角形有两解，所以所以45A2,且且 x1,解得解得2xb2+c2,或或90A180;现在学习的是第10页，共25页(4)锐锐角角三三角角形形：若若a为为最最大大边边，且且满满足足a2b2+c2或或A为最大角，且为最大角，且0A90.2.在在ABC中常用的一些基本关系式中常用的一些基本关系式(1)A+B+C=;(2)sin(B+C)=,cos(B+C)=，tan(B+C)=;(3)sin =;(4)cos =;(5)tanA+tanB+tanC=.sinA-cosA-t
6、anAtanAtanBtanC现在学习的是第11页，共25页题型一题型一 判断三角形的形状判断三角形的形状例例1 在在ABC中，中，A、B、C所对的边长分别所对的边长分别为为a、b、c，且满足，且满足(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC，试判断，试判断ABC的形状的形状.现在学习的是第12页，共25页 (方法一方法一)化成角的关系求解化成角的关系求解.由条件可得，由条件可得，a2sin(A-B)-sin(A+B)=-b2sin(A+B)+sin(A-B).利用和差角公式展开利用和差角公式展开,得得a2cosAsinB=b2sinAcosB,由正弦定理由正弦定理,上式化为上式化
7、为sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB.因为因为sinAsinB0，所以，所以sinAcosA=sinBcosB,即即sin2A=sin2B,因为因为A、B为三角形的内角，为三角形的内角，所以所以A=B,或或A+B=，故故ABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形.现在学习的是第13页，共25页(方法二方法二)化为边的关系求解化为边的关系求解.由条件由条件(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,可得可得(a2+b2)(acosB-bcosA)=(a2-b2)c(a2+b2)(-)=(a2-b2)c(a2+b2)(a2-b2)=(a2-b2)c2a2
8、+b2=c2或或a=b.故故ABC的形状为直角三角形或等腰三角形的形状为直角三角形或等腰三角形.现在学习的是第14页，共25页三三角角形形中中的的恒恒等等式式或或三三角角形形的的形形状状判判断断等等问问题题，要要注注意意根根据据条条件件的的特特点点灵灵活活运运用用正正弦弦定定理理或或余余弦弦定定理理.一一般般考考虑虑两两个个方方向向进进行行变变形形，一一个个方方向向是是边边，走走代代数数变变形形之之路路，通通常常是是正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理结结合合使使用用；另另一一个个方方向向是是角角，走走三三角角变变形形之之路路.现在学习的是第15页，共25页题型二题型二 利用三角函数知识解三角形
9、利用三角函数知识解三角形例例2 在在ABC中，中，已知已知sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0，求角求角A、B、C的大小的大小.现在学习的是第16页，共25页 (方法一方法一)由由sinA(sinB+cosB)-sinC=0，得得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0，所以所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,即即sinB(sinA-cosA)=0.因为因为B(0,)，所以，所以sinB0，从而，从而cosA=sinA,由由A(0,)，知，知A=，从而，从而B+C=,由由sinB+cos2C=0，得，
10、得sinB+cos2(-B)=0,即即sinB-sin2B=0,亦即亦即sinB-2sinBcosB=0.由此得由此得cosB=,B=,C=,所以所以A=，B=，C=.现在学习的是第17页，共25页(方法二方法二)由由sinB+cos2C=0，得，得sinB=-cos2C=sin(-2C).由由0B、C,所以所以B=-2C或或B=2C-,即即B+2C=或或2C-B=,由由sinA(sinB+cosB)-sinC=0,得得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0,所以所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,现在学习的是第18页，共25页即即
11、sinB(sinA-cosA)=0.因为因为sinB0，所以，所以cosA=sinA,由由A(0,),知知A=，从而从而B+C=,知知B+2C=不合要求，不合要求，再由再由2C-B=，得，得B=，C=，所以所以A=，B=，C=.本本题题主主要要考考查查三三角角形形问问题题等等知知识识，关关键键是是运用运用sin(A+B)=sinC代换及解题方向的确定代换及解题方向的确定.现在学习的是第19页，共25页题型三题型三 三角形中三角函数的应用三角形中三角函数的应用例例3 有有一一块块半半径径为为1 m,中中心心角角为为 的的扇扇形形铁铁皮皮材材料料，为为了了获获得得面面积积最最大大的的矩矩形形铁铁皮
12、皮，工工人人师师傅傅常常让让矩矩形形的的一一边边在在扇扇形形上上，然然后后作作其其最大的内接矩形最大的内接矩形.请求出最大面积请求出最大面积.现在学习的是第20页，共25页 如图，设如图，设COB=(0 ),则则BC=sin=AD,OB=cos.又又 =tan ,所以所以OA=AD=sin，所以所以AB=cos-sin,则则S矩形矩形ABCD=sin(cos-sin)=sin2+cos-=sin(2+)-,当当sin(2+)=1,即即=时，时，矩形面积取最大值矩形面积取最大值 m2.6p6p6p现在学习的是第21页，共25页 与与圆圆相相关关的的最最值值问问题题，常常设设角角参参数数（注注意意
13、范范围围），把把题题目目中中出出现现的的边边角角用用含含角角的的三三角角函函数数表表示示，再再转转化化求求三三角角函函数数的的最最值值.其其中中确确定定是是什什么么样样的的三三角角形形，用用哪哪些些定定理理或或哪哪些些边边角角关关系系，列列出出等等式式或或不不等等式式是是关关键键.现在学习的是第22页，共25页1.解解斜斜三三角角形形问问题题往往往往用用到到正正弦弦定定理理与与余余弦弦定定理理以以及及三三角角变变换换，解解题题时时角角度度的的选选取取是是关关键键.并并关关注注角角的的取取值值范范围围.如如已已知知两两边边及及其其中中一一边边的的对角解三角形，要注意解的情况对角解三角形，要注意解
14、的情况.2.对对于于解解斜斜三三角角形形的的实实际际应应用用问问题题，要要理理解解题题意意，分分清清已已知知与与所所求求，根根据据题题意意画画出出示示意意图图，抽抽象象或或构构造造出出三三角角形形，把把实实际际问问题题转转化化为为解解三三角角形形，要要明明确确先先用用哪哪个个公公式式或或定定理理，先先求求哪哪些些量量，确确定定解解三三角角形形的的方方法法.在在演演算算过过程程中中，要要算算法法简简练练，算算式式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求工整、计算正确，还要注意近似计算的要求.现在学习的是第23页，共25页对对于于实实际际应应用用问问题题中中的的有有关关名名词词、术术语语、要要理理解解清清楚楚，如如坡坡度度、俯俯角角、仰仰角角、方方向向角角、方位角等，正确画出图形是解题的关键方位角等，正确画出图形是解题的关键.3.利利用用正正、余余弦弦定定理理可可以以进进行行边边角角互互化化，有利于判断三角形的形状有利于判断三角形的形状.4.解解决决三三角角形形中中的的问问题题，要要从从统统一一着着手手，或或统统一一成成角角的的关关系系，或或统统一一成成边边的的关关系系，要要视视情情况况灵灵活活处处理理.在在解解三三角角形形时时，要要注注意意解解题题的的完完整整性性，谨防失根谨防失根.现在学习的是第24页，共25页感谢大家观看现在学习的是第25页，共25页