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1、第2课时 三角形中的几何计算,1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用;,2.三角形各种类型的判定方法.,1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？,D,思考：如何用已知边和角表示三角形的面积？,探究一 三角形面积公式,2.已知边角求三角形面积:,habsinCcsinB hb=csinAasinC hc=asinBbsinA,D,c,b,分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.,(3)根据
2、余弦定理的推论，得,例2 如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1）,分析：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。,C,A,B,解：,设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，,，得,例3 在ABC中，求证：,分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理和余弦定理来证明.,探究二 三角形边角关系应用,证明：（1）根据正弦定理，可设,（2）根据余弦定理,右边=(b2+c2
3、-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2) =a2+b2+c2=左边.,（1）acosA = bcosB,例4 判断满足下列条件的三角形的形状，,提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.,探究三 判断三角形的形状,另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,即2A=2B,根据边的关系易得是等腰三角形,所以A=B,思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？哪个错误？为什么？,因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90.,前一种解法正确.,后一种解法遗漏了一种情况；,所以此三角形
4、为直角三角形.,思考:能否直接用角推导,而不转化为边呢?,利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考查边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.,形状,所以B=60或120,（1）若B=60，则C=180-60-45=75 故S= absinC= 2 sin75= ；,答：三角形的面积为,.,1.三角形面积公式：,2.确定三角形的形状,利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.,3三角形形状的判断 判断三角形的形状是解三角形问题中常见题型，其关键是实现边角互相转化，主要方法有两种： 方法一
5、：化角为边，利用正弦定理、余弦定理把所给条件中的角都转化为边，通过恒等变形，寻找边的关系，从而判断三角形的形状 方法二：化边为角，利用正弦定理、余弦定理把所给的条件中的边都化为角，通过三角变换，寻求角的值或角的关系常见结论有：,4.解三角形问题的几种类型 在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为边)才能解该三角形据此可按已知条件分以下几种情况,若cos(AB)0，则角C是钝角； 若cos(AB)0，则角C是锐角； 若cos(AB)0，则角C是直角 有时已知中有边角混杂的式子，可以利用正弦定理和余弦定理，把所给的条件进行边角转化，以达到化异为同的效果,练 习,3在ABC中，若A60，b16，SABC64，则c_. 4在ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin AtanB，ab(1cosA)，求证：AC. 5.,3.在ABC 中，求证：c(acosBbcosA)a2b2.,作业,5.在ABC 中，a，b，c 分别为内角A、B、C 的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC 若sinBsinC1 （1）试判断ABC 的形状. （2）求sinBsinC 的最大值.,