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1、离散随机变量及分布律现在学习的是第1页，共21页离散随机变量概率分布的表格形式离散随机变量概率分布的表格形式 根据概率的定义，离散随机变量分布律根据概率的定义，离散随机变量分布律必须满足下面两个条件：必须满足下面两个条件：(1)pk 0,k =1,2,3,(2)k 1 pk =1X x1 x2 x3 xn pk p1 p2 p3 pn 思考思考 1 对不同的对不同的 k，随机事件，随机事件 X=xk 是什么关系？是什么关系？现在学习的是第2页，共21页例例2.2.1 假设城市的某条街道有四个路口，汽车在每个假设城市的某条街道有四个路口，汽车在每个 路口是否遇到红灯是独立的，并且概率都是路口是否
2、遇到红灯是独立的，并且概率都是 p，以，以 X 记汽车首次停下时通过的路口数，求记汽车首次停下时通过的路口数，求 X 的概率分布。的概率分布。解。解。分析：分析：X 的所有可能取值为的所有可能取值为：0，1，2，3，4。现在学习的是第3页，共21页因此，如果记因此，如果记 q=1 p 则有：则有：P X =0 =p；P X =1 =pq；P X =2 =pq2；P X =3 =pq3；P X =4 =q4。现在学习的是第4页，共21页二二.常见的离散分布常见的离散分布1.两点分布两点分布 (也称也称 0 1 分布，或分布，或Bernoulli 分布分布)记为记为 X B(1,p)，0 p 1。
3、如果如果 X 只取只取 0，1 两个可能值，分布律为：两个可能值，分布律为：P X=1 =p，P X=0 =q =1 p 则称随机变量则称随机变量 X 服从参数服从参数 p 的两点分布的两点分布。两点分布用来描述所有只有两个可能结果的随机试验两点分布用来描述所有只有两个可能结果的随机试验现在学习的是第5页，共21页2.二项分布二项分布 X B(n,p)X 全部可能的取值是有限的整数全部可能的取值是有限的整数 0，1，n；分布律为：分布律为：pk =Cnk pk qn k，0 k n 这里参数这里参数 0 p 1,q =1 p 。两点分布就是两点分布就是 n=1 时的二项分布时的二项分布 这是概
4、率论里最重要的三种分布的第一种这是概率论里最重要的三种分布的第一种思考思考2 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币 10 次，正面出现次数次，正面出现次数 X 的分布？的分布？现在学习的是第6页，共21页二项分布的背景材料二项分布的背景材料 二项分布广泛应用于抽样调查的问题中，以及二项分布广泛应用于抽样调查的问题中，以及在金融，保险，医学，生物遗传学等等都有重要在金融，保险，医学，生物遗传学等等都有重要的应用。的应用。二项分布对应于随机抽样模型中的二项分布对应于随机抽样模型中的有放回抽样有放回抽样，二项分布二项分布 也与独立试验序列概型有关，即在也与独立试验序列概型有关，即在n 重重 Bernoulli
5、试验中，随机事件试验中，随机事件 A 发生的次数发生的次数服从参数为服从参数为 n、p 的二项分布；的二项分布；现在学习的是第7页，共21页例例2.2.3 (金融保险金融保险)根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是每个人死亡的概率是 0.005，现在有，现在有 10,000 人参加人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。人的概率。解。解。分析：分析：以以 X 记这记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有人中死亡的人数，则显然有 X B(104，0.005)，需要计算，需要
6、计算P X 60 。P X 60 =k6=00 C10000k 0.005k 0.99510000 k 0.9222。第五章中心极限定理能够有效计算这类求和第五章中心极限定理能够有效计算这类求和现在学习的是第8页，共21页3.超几何分布超几何分布 从包含从包含 M 件次品的件次品的 N 件产品中无放回随机取出件产品中无放回随机取出 n 件产品，其中的次品数件产品，其中的次品数 X 是一个随机变量，它的是一个随机变量，它的分布称为超几何分布。分布律为：分布称为超几何分布。分布律为：超几何分布对应于超几何分布对应于随机抽样模型中的随机抽样模型中的无放回抽样无放回抽样思考思考3 从含有从含有 3 张
7、假钞的张假钞的 10 张纸币中取出张纸币中取出 4 张，这张，这 4 张里张里包含的假钞张数包含的假钞张数 X 的分布？的分布？现在学习的是第9页，共21页例例2.2.4 (抽奖问题抽奖问题)一场晚会将根据每个人的入场卷号码现场随机抽出几一场晚会将根据每个人的入场卷号码现场随机抽出几个幸运号赠送奖品。个幸运号赠送奖品。假设有假设有 100 人参与，每个人入场时随机领取一张入场卷，现人参与，每个人入场时随机领取一张入场卷，现场要抽出场要抽出 3 个幸运号码。求在一个个幸运号码。求在一个 5 人小团体中至少有一人中奖人小团体中至少有一人中奖的概率。的概率。解解.分析：分析：设他们中奖的人数为设他们
8、中奖的人数为 X，即求：，即求：1 P X=0 ，问题的关键是找出问题的关键是找出 X 的分布律的分布律。把这把这 5 个人的号码看成是次品，抽出个人的号码看成是次品，抽出 3 个幸运号就是个幸运号就是从从 100 个产品中随机无放回抽取个产品中随机无放回抽取 3 个产品。个产品。因此因此,X 服从超几何分布。服从超几何分布。现在学习的是第10页，共21页因此至少有一个人中奖的概率是：因此至少有一个人中奖的概率是：思考思考4 现在有现在有 N 个观众，要抽出个观众，要抽出 k 个幸运号，则单独一个人个幸运号，则单独一个人他的号码中奖的概率？他的号码中奖的概率？(k/N)根据超几何分布的分布律，
9、这根据超几何分布的分布律，这 5 个人恰好有个人恰好有 k 个人中奖的概率就是：个人中奖的概率就是：p=1 0.1440 C95 3 C1003P X=k =，0k 3 C5k C953 k C1003现在学习的是第11页，共21页4.几何分布几何分布 X G(p)X 可能的取值是一切正整数：可能的取值是一切正整数：1，2，；分布律为：分布律为：P X=k =pqk1 ,k 1 。这里参数这里参数 0 p 1,q =1 p 。在独立重复试验中，直到事件在独立重复试验中，直到事件 A 发生时所需要的试发生时所需要的试验次数。验次数。Remark 由于几何分布满足由于几何分布满足 P X m =1
10、 qm，因此具有一种，因此具有一种“无记忆性无记忆性”：P X=k =P X=m+k|X m 现在学习的是第12页，共21页例例2.2.5(离散随机等待时间离散随机等待时间)每张彩票中奖概率每张彩票中奖概率 0.01，某人每次只买一张。，某人每次只买一张。(1)他买到第他买到第 5 张才中奖的概率，张才中奖的概率，(2)买了买了 8 张都张都没有中奖的概率，没有中奖的概率，(3)买到第买到第 13 张才中奖的概率。张才中奖的概率。解解.买到第一张中奖彩票需要的次数买到第一张中奖彩票需要的次数 X G(0.01)，(1)即，即，P X=5 =0.010.994 0.0096；(2)即，即，P X
11、 8 =0.998 0.9227；(3)即，即，P X=13 =0.010.9912 0.0088。练习练习2.2.6要以要以 90%的概率至少中奖一次，他需要买多少张彩票？的概率至少中奖一次，他需要买多少张彩票？现在学习的是第13页，共21页5.Poisson (泊松泊松)分布：分布：X ()X 可能取值是所有非负整数可能取值是所有非负整数 0，1，2，；分布律为：分布律为：P X=k =e ，k 0 这里泊松分布的参数这里泊松分布的参数 0。这是最重要的离散分布。这是最重要的离散分布。k k!现在学习的是第14页，共21页泊松分布的背景材料泊松分布的背景材料大量重复试验中，稀有事件出现的次
12、数；大量重复试验中，稀有事件出现的次数；(定理定理 2.2.2 的泊松逼近定理的泊松逼近定理)随机质点流随机质点流(事件流事件流)。意外事故，非常见病，大的自然灾害，害虫的意外事故，非常见病，大的自然灾害，害虫的数量，草原动物的种群等。数量，草原动物的种群等。平稳性，稀有性平稳性，稀有性，无记忆性，无记忆性 通讯的呼叫次数，顾客数，衰变产生的粒子数，通讯的呼叫次数，顾客数，衰变产生的粒子数，容器中微生物的数量等。容器中微生物的数量等。现在学习的是第15页，共21页例例2.2.7 (网络安全网络安全)假定服务器在长度假定服务器在长度 t 分钟的时间内受到攻击的次数分钟的时间内受到攻击的次数 近似
13、服从近似服从 (2t)，问，问 3 分钟内至少受到一次攻击的分钟内至少受到一次攻击的 可能是否比可能是否比 5 分钟内至少受到两次攻击的可能大？分钟内至少受到两次攻击的可能大？解。解。3 分钟内受到攻击的次数分钟内受到攻击的次数 X (6)，因此因此 P X 1 =1 P X=0 0.9975，5 分钟内受到攻击的次数分钟内受到攻击的次数 Y (10)，因此因此 P Y 2 =1 P Y=0 P Y=1 0.9995 5 分钟里至少两次被攻击的可能更大。分钟里至少两次被攻击的可能更大。现在学习的是第16页，共21页三三.超几何、二项、泊松分布之间的近似关系超几何、二项、泊松分布之间的近似关系定
14、理定理2.2.1 超几何分布的极限分布是二项分布超几何分布的极限分布是二项分布即，在超几何分布中对于固定的即，在超几何分布中对于固定的 n，k，如果，如果 lim N+=p 则有极限关系：则有极限关系：lim N+=Cnk pk(1 p)n k 对所有的对所有的 0 k n 都成立。都成立。一般当一般当 n 0.1 N 时可以用这个近似的计算公式时可以用这个近似的计算公式 M N CMk CN M n k CNn现在学习的是第17页，共21页定理定理2.2.2 (泊松定理泊松定理)二项分布的极限分布是泊松分布二项分布的极限分布是泊松分布一般当一般当 n 20，p 0.05 时可以近似计算时可以
15、近似计算 设随机变量序列设随机变量序列 Xn B(n,pn),n 1，如果满足极限如果满足极限 lim n+npn =0；则有；则有 lim n+P Xn=k =lim n+Cnk pnk(1 pn)n k =e ，对所有固定的对所有固定的 k 0 都成立都成立.k k!现在学习的是第18页，共21页解解.这个人击中的次数这个人击中的次数 X 显然显然 B(2500,0.001)，根据泊松定理，根据泊松定理，X 近似服从近似服从 (2.5)。查泊松分布表，参数查泊松分布表，参数 2.5 的泊松分布等于的泊松分布等于 0 的的 概率是概率是 0.0820，因此直接得到：，因此直接得到：P X 1
16、 0.9180。(已经计算出的精确值是已经计算出的精确值是 0.9180)例例2.2.8 利用泊松定理利用泊松定理计算例题计算例题1.6.7 中的概率。中的概率。某人每次射击的命中率是某人每次射击的命中率是 0.001，他在，他在 2500 次次 独立重复射击中至少打中一次目标的概率。独立重复射击中至少打中一次目标的概率。现在学习的是第19页，共21页例例2.2.9 (优化问题优化问题)有同类型的机器有同类型的机器 300 台，它们独立工作，发生故障的概率台，它们独立工作，发生故障的概率都是都是 0.01。假设一台机器的故障可由一个人单独处理，现在有。假设一台机器的故障可由一个人单独处理，现在
17、有两种维修方案：两种维修方案：(1)配备配备 6 名维修人员共同负责全部名维修人员共同负责全部 300 台机器；台机器；(2)配备配备 10 名维修人员，每人各只负责名维修人员，每人各只负责 30 台机器。台机器。问这两种方案哪一种更加有效？问这两种方案哪一种更加有效？解。解。全部全部 300 台机器里出现故障而不能及时维修的台机器里出现故障而不能及时维修的 概率越小，这种维修方案也就越有效。概率越小，这种维修方案也就越有效。以以 X、Y 分别记同一时刻分别记同一时刻 300、30 台机器故障数目，台机器故障数目，X B(300,0.01)，Y B(30,0.01)。现在学习的是第20页，共2
18、1页 方案一方案一，6 个人共同负责个人共同负责 300 台机器，台机器，“不能同时维护不能同时维护 300 台机器台机器”的概率是：的概率是：P X 6 k 7 e =0.0335；根据泊松定理，根据泊松定理，X、Y 的近似分布分别是：的近似分布分别是：X 近似近似 (3)，Y 近似近似 (0.3)。3 k k!方案二，每人负责自己的方案二，每人负责自己的 30 台机器，他及时台机器，他及时 维修故障的概率是维修故障的概率是 P Y 1，“不能同时维护不能同时维护 300 台机器台机器”的概率是：的概率是：1 P Y 110 1 e 0.3+0.3e 0.3 10=0.3134。6 个人合作的效率远远高于个人合作的效率远远高于10 个人的独立工作个人的独立工作现在学习的是第21页，共21页