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1、概率统计一一.离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律引例引例如图中所示，从中任取如图中所示，从中任取 3 个球个球取到的白球数取到的白球数 X 是一个随机变量是一个随机变量X可能取的值是可能取的值是0,1,2取每个值的概率为：取每个值的概率为：第二节第二节 离散型随机变量的概率分布（分布律）离散型随机变量的概率分布（分布律）且：且：概率统计设离散型随机变量设离散型随机变量 X X 所有可能取的值为所有可能取的值为 的概率为的概率为:则则 称称为为离散型离散型 随机变量随机变量X 的的 概率分布概率分布 或或 分布律分布律.注注:分布律可以列表给出分布律可以列表给出1.1.定义定义:其各个
2、可能取值其各个可能取值即事件即事件概率统计2.性性 质质用这两条性质判断用这两条性质判断一个函数是否是一个函数是否是概率函数概率函数注注 一般一般：求分布律时需验证这两条性质。若成：求分布律时需验证这两条性质。若成 立则称得上是分布律，否则说明分布律求错立则称得上是分布律，否则说明分布律求错.具有离散型随机变量才具有分布律具有离散型随机变量才具有分布律概率统计 X 的可能取值的可能取值:0,1,2.X 的各种可能取值的概率如下的各种可能取值的概率如下:解解:设在设在15只同类型的零件中有两只次品，现从中只同类型的零件中有两只次品，现从中 抽取抽取3只，以只，以 X 表示取出表示取出3只中所含次
3、品的个数只中所含次品的个数.求求:X的分布律的分布律.例例1.概率统计图形图形:亦称概率亦称概率分布图分布图 所以其所以其 分布律为：分布律为：(显然显然每个每个概率统计 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求：他两次独立投篮投中次数求：他两次独立投篮投中次数 X 的概率分布的概率分布.X 可能取值为可能取值为 0、1、2 P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18 P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1从中抽取从中抽取3只，求次品数不大于只，求次品数不大于1只只
4、的概率有多大？的概率有多大？思考题：思考题：答案：答案：例例2.解：解：则：则：故得其分布律为：故得其分布律为：概率统计 一一汽汽车车沿沿一一街街道道行行驶驶，需需要要通通过过三三个个均均设设有有红红绿绿信信号号灯灯的的路路口口，每每个个信信号号灯灯为为红红或或绿绿与与其其它它信信号号灯灯为为红红或或绿绿相相互互独独立立，且且红红绿绿两两种种信信号号灯灯显显示示的的时时间间相相等等.以以 X X 表表示示该该汽汽车车首首次次遇遇到到红红灯灯前前已已通通过过的的路路口口的个数的个数，求：，求：X X 的概率分布的概率分布.依题意依题意,X X 可取值可取值 0,1,2,3 0,1,2,3例例3.
5、3.解解:Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3设设路口路口3路口路口2路口路口1 则：则：P(X=0)=P(A1)=1/2概率统计Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3设设Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3设设路口路口3路口路口1路口路口2P(X=1)=P()=1/4X表示该汽车表示该汽车首次遇到红灯首次遇到红灯前已通过的路前已通过的路口的个数口的个数路口路口2路口路口3路口路口1 P(X=2)=P=1/8概率统计X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2
6、,3设设路口路口1路口路口2路口路口3=1/8P(X=3)=P于是得其分布律为：于是得其分布律为：显显 然，然，概率统计 某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到每出租一辆汽车，可从出租公司得到 3元元.因代营因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费业务，每天加油站要多付给职工服务费 60元元.设设每天出租汽车数每天出租汽车数 X 是一个随机变量，它的概率分是一个随机变量，它的概率分布如下：布如下：求求:因代营业务得到的收入大于当天的额外因代营业务得到的收入大于当天的额外 支出费用的概率支出费用的概率.例例4.概率统计加油站代
7、营每出租一辆车，可得加油站代营每出租一辆车，可得3元元.若设每天出租汽车数为若设每天出租汽车数为X，则因代营业，则因代营业务得到的收入为务得到的收入为 3X 元元.每天加油站要多付给职工服务费每天加油站要多付给职工服务费60元，元，即当天的额外支出费用即当天的额外支出费用.因代营业务得到的收入大于当天的额外因代营业务得到的收入大于当天的额外 支出费用的概率为：支出费用的概率为：P3X60即即:PX20分析：分析：概率统计注意到注意到:也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于 当天的额外支出费用的概率为当天的额外支出费用的概率为 0.6.故故其经营决策者应
8、该考虑是否继续代营此项业其经营决策者应该考虑是否继续代营此项业 务或应该考虑是否务或应该考虑是否调整调整当天的额外支出费用当天的额外支出费用.PX20=PX=30+PX=40=0.6所以得：所以得：概率统计二二.几种常见的离散型随机变量的分布几种常见的离散型随机变量的分布1.(0 1)分布分布若随机变量若随机变量X只能取只能取 0 与与 1 两个值两个值,它的分布律它的分布律为为:则称则称 X 服从服从(0-1)分布分布，记为：，记为：列表列表:概率统计 它只发一弹，要么打中，要么打不它只发一弹，要么打中，要么打不 中，分别记为中，分别记为 1与与 0分布律为：分布律为：(01)分布的应用很广
9、，比如分布的应用很广，比如:检查产品的质量检查产品的质量(正品与次品正品与次品)有奖储蓄券是否中奖有奖储蓄券是否中奖(中与不中中与不中)对婴儿性别进行登记对婴儿性别进行登记(男与女男与女)高射炮射击敌机是否击中等等高射炮射击敌机是否击中等等.某次射击某次射击,已知某射手的命中率为已知某射手的命中率为0.8.求求:射击一次命中目标次数射击一次命中目标次数X的分布律的分布律.例例4.解解:注注:概率统计2.二项分布二项分布(1).贝努利概型贝努利概型 重复进行重复进行n次试验次试验,若各次试若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不受其它各次试验
10、结果的影响率都不受其它各次试验结果的影响.则则 称称 这这 n 次试验是相互独立的次试验是相互独立的.把在相同的条件下重复进行把在相同的条件下重复进行n 次独立试验的次独立试验的 概率模型概率模型,称为称为 n 次次独立试验模型独立试验模型.n 次相互独立试验次相互独立试验:说明说明:概率统计设随机试验设随机试验 E 只有两种可能的结果只有两种可能的结果 则则称称这样的这样的 n 次重复独立试验概型次重复独立试验概型 为：为：n 重贝努利概型重贝努利概型.设生男孩的概率为设生男孩的概率为 p，生女孩的概率为生女孩的概率为 q=1-p，令令 X 表示随机抽查出生的表示随机抽查出生的4 4个婴儿个
11、婴儿中中“男孩男孩”的个数的个数.求：求：X 的概率分布的概率分布.贝努利概型贝努利概型:且在每次试验中且在每次试验中 出现的概率出现的概率为：为：例例5.概率统计X表示随机抽查的表示随机抽查的4 4个婴儿中男孩的个数，个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为生男孩的概率为 p.男男女女X=0X=1X=2X=3X=4X的概率函数是：的概率函数是：X可取值可取值 0,1,2,3,4.概率统计将一枚均匀骰子抛掷将一枚均匀骰子抛掷 3 3 次，次，令令:X X 表示表示 3 3 次中出现次中出现“4”“4”点的次数点的次数求求:X的概率函数的概率函数X的概率函数是：的概率函数是：例例6.6.解解:显然，显
12、然，概率统计 设一次试验中事件设一次试验中事件A发生的概率为发生的概率为则在则在 n 次贝努利试验中事件次贝努利试验中事件A 恰恰发生发生 k 次次概率为概率为:按独立事件的概率计算公式可知，按独立事件的概率计算公式可知，n 次试验次试验中事件中事件A 在在某某 k 次次(例如前例如前 k 次次)发生而其发生而其余余 n-k 次不发生次不发生的概率应为的概率应为:定定 理理证明证明:概率统计而且它们是而且它们是相互独立相互独立的，故在的，故在 n 次试验中次试验中A发生发生 k 次的概率次的概率(依概率的加法定理依概率的加法定理)为为:概率概率 就等于二项式就等于二项式 的展开式中的展开式中
13、的系数，这也是二项分布的名称的的系数，这也是二项分布的名称的由来由来.由于现在由于现在只考虑只考虑事件事件A 在在n 次试验中发生次试验中发生 k 次而不论次而不论在哪在哪 k 次发生次发生,所以它应有所以它应有 种不同的发生方式种不同的发生方式.注注显然它满足：显然它满足：概率统计设某炮手射击的命中率为设某炮手射击的命中率为 0.8，为炸毁某个目标，为炸毁某个目标，经预测只要命中两发就够炸毁经预测只要命中两发就够炸毁.问问:希望发射希望发射5发炮弹就能炸毁目标的可能性有多大发炮弹就能炸毁目标的可能性有多大?A:发射发射 5 发炮弹就炸毁了目标发炮弹就炸毁了目标例例7.解解:（恰好中两发）（恰好中两发）=（至少中两发）（至少中两发）（恰好中三发）（恰好中三发）+（恰好中四发）（恰好中四发）+（恰好中五发）（恰好中五发）+概率统计 (2).二项分布二项分布若用若用X表示表示 n 重贝努利概型中事件重贝努利概型中事件A 发生的次数，发生的次数，它的分布它的分布 律为：律为：则则称称 X 服从参数为服从参数为 n,p (0p0.95的最小的的最小的 m 进货数进货数销售数销售数例例12概率统计求满足求满足 P(Xm)0.95的最小的的最小的m.查泊松分布表得：查泊松分布表得：P(Xm)0.05也即求：也即求：于是得于是得 m+1=10,或或即：即：m=9件件