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1、第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）概率论与数理统计课程教学团队第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）一、一、随机变量概念的产生随机变量概念的产生二、二、引入随机变量的意义引入随机变量的意义三、三、随机变量的分类随机变量的分类四、概率分布律四、概率分布律五、常用离散型随机变量五、常用离散型随机变量六、小结六、小结第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散
2、型）例如例如:盒中有盒中有 2 个黑球个黑球,3 个白球和个白球和 5个红球个红球,现从中任取一球现从中任取一球,考察此球的颜色考察此球的颜色.黑黑 白白 红红 X 1 2 3在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以通过人为设计，将试验结果数值化可以通过人为设计，将试验结果数值化.第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）定义定义1 给定一个随机试验给定一个随机试验E，是其样本是其样本空间空间.如果如果 ,都有一个实数都有一个实数X()与它对应与它对应,则称此定义域为则称此定义域为的单值实值函数的单值
3、实值函数X=X()为为(一维一维)随机变量随机变量.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母 X,Y,Z 或希腊或希腊字母字母,等表示等表示.而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采用小写一般采用小写字母字母 x,y,z 等等.第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）例例:(1)某电话总机某电话总机1分钟内接到的呼叫次数分钟内接到的呼叫次数X（次）（次）(2)某种某种1批灯泡批灯泡,任取任取1只只,测试其寿命测试其寿命T（小时）（小时）(3)某某1个花店某个花店某1天的玫瑰花销量天的玫瑰花销量X（朵）（朵）问：每日平均售多少朵？问
4、：每日平均售多少朵？第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）例例1 将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次,X 表示正面向上的次数表示正面向上的次数,则有如下对应关系则有如下对应关系:正正正正 正反正反 反正反正 反反反反 X 2 1 1 0X=0=反反反反,X=1=正反正反,反正反正,X=2=正正正正 X=0,X=1,X=2 互不相容互不相容 且且 X=0 X=1X=2=X=0,X=1,X=2 构成一个完备事件组构成一个完备事件组.第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）(1)有了随机变量有了随机变量,随机
5、试验中的各种事件，就随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来可以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量.事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X=0 第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）又如，从某一学校随机选一学生，又如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高测量他的身高.我们可以把可能的身高看作我们可以把可能的身高看作随机变量
6、随机变量X,然后我们可以提出关于然后我们可以提出关于X的各种问题的各种问题.如如 P(X1.7)=？P(X1.5)=?P(1.5X1.7)=?第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内量这个更广的概念内.也可以说，随机事件是从静态也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象高等数学中常量与变量的区别那样观点，就象高等数学中常量与变量的区别那样.(2)引入随机变量引入随机
7、变量,便于从整体上更全面地研便于从整体上更全面地研究随机试验究随机试验.(3)引入随机变量引入随机变量,使得运用高等数学来研究使得运用高等数学来研究随机试验成为可能随机试验成为可能.第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）随机变量概念的产生是概率论发展史上的随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及
8、其随机变量及其取值规律取值规律第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）三、随机变量的分类三、随机变量的分类 通常分为两类：通常分为两类：随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举一一列举全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不能无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一一列举，而是充满一个区间一个区间.第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）这两种类型的随机变量因为都是随机变量，这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相
9、似之处；但因其取值方式不自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点同，又有其各自的特点.随随机机变变量量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述方法学习时请注意它们各自的特点和描述方法.第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）四、概率分布律四、概率分布律 例例 3 某位足球运动员罚点球命中的概率为某位足球运动员罚点球命中的概率为0.8.今给他今给他4次罚球的机会次罚球的机会,一旦命中即停止罚球一旦命中即停止罚球.假定各假定各次罚球是相互独立的次罚球是相互独立的.X 表示罚球的次数表示
10、罚球的次数.则则 P(X=1)=0.8,P(X=2)=0.20.8=0.16,P(X=3)=0.8=0.032,P(X=4)=0.008.X 1 2 3 4 P 0.8 0.16 0.032 0.008X=1,2,3,4.第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）定义定义2 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的所有可能取的所有可能取值为值为 a1,a2,an,X 取值取值 ai 的概率为的概率为 P(X=ai)=pi,(i=1,2,)称上述一串等式为称上述一串等式为 X 的的概率函数概率函数或或分布律分布律.分布分布律也可写成表格形式律也可写成表格
11、形式:X a1,a2,an,P p1,p2,pn,第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）分布律具有两条性质分布律具有两条性质:(1)(1),i=1,2,且诸且诸 X=ai 互不相容互不相容,由概率的可加性由概率的可加性,有有 反之反之,凡具有这两凡具有这两条性质的数组条性质的数组 一定一定可构成某离散型随机可构成某离散型随机变量的分布律变量的分布律.第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）例例4 某位足球运动员罚点球命中的概率为某位足球运动员罚点球命中的概率为0.8.今给他今给他4次罚球的机会次罚球的机会
12、,一旦命中即停止罚球一旦命中即停止罚球.假定各假定各次罚球是相互独立的次罚球是相互独立的.X 表示罚球的次数表示罚球的次数.在例在例 4中中,设设 A=罚偶数次罚偶数次,B=罚球超过两罚球超过两次次,则则 P(A)=P(X=2)+P(X=4)=0.16+0.008=0.168,X 1 2 3 4 P 0.8 0.16 0.032 0.008 P(B)=P(X2)=P(X=3)+P(X=4)=0.032+0.008=0.04,或或 P(B)=1P(X2)=1P(X=1)+P(X=2)=1(0.8+0.16)=0.04,第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离
13、散型）例例4 某位足球运动员罚点球命中的概率为某位足球运动员罚点球命中的概率为0.8.今给他今给他4次罚球的机会次罚球的机会,一旦命中即停止罚球一旦命中即停止罚球.假定各假定各次罚球是相互独立的次罚球是相互独立的.X 表示罚球的次数表示罚球的次数.X 1 2 3 4 P 0.8 0.16 0.032 0.008第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）例例5 设盒中有设盒中有 3 个黑球个黑球 2个白球个白球,每次从中任每次从中任取一球取一球,不放回地抽取不放回地抽取,直到抽得白球为止直到抽得白球为止,求抽取次求抽取次数数 X 的分布律的分布律,并求抽
14、取次数小于并求抽取次数小于 2.5 的概率的概率.解解 X 的值域的值域X =1,2,3,4.P(X=1)P(X =2)P(X =3)P(X =4)=3/52/41/32/2=1/10.X 1 2 3 4 P 2/5 3/10 1/5 1/10 P(X 2.5)=P(X=1)+P(X=2)=2/5+3/10=7/10.=2/5,=3/5 2/4=3/10,2/42/3=1/5,=3/5第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）例例6 若离散型随机变量若离散型随机变量 X 的分布律为的分布律为求常数求常数.解解 由性质由性质(2),有有第二章第二章 第一
15、讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）五、常用离散型随机变量五、常用离散型随机变量 1.二项分布二项分布设设 X 的分布律为的分布律为其中其中 0 p 1,称称 X 服从服从二项分布二项分布,记作记作XB(n,p),利用二项式定理利用二项式定理第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）特别特别,当当 n=1时时,即即XB(1,p)时时,称称 X 服从服从两点两点分布分布.此时此时 X 的分布律为的分布律为P(X=0)=1 p,P(X=1)=p.X 0 1P 1 p p第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随
16、机变量及其分布律（离散型）例例7 一射手的命中率为一射手的命中率为0.6,连续向一目标射击连续向一目标射击三次三次,则命中的次数则命中的次数X B(3,0.6).若以若以 Ai 表示第表示第 i 次命中次命中,i=1,2,3,则则X=0,1,2,3.第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）一般一般,若一试验满足若一试验满足(1)该试验由该试验由n次重复试验组成次重复试验组成,(2)各次试验出现什么结果互不影响各次试验出现什么结果互不影响,即相互独立即相互独立,(3)每次试验只考虑两个相互对立的事件每次试验只考虑两个相互对立的事件A和和 ,且且P(A)
17、=p,P()=1p,0p1,则称此类试验为则称此类试验为n重贝努利试验概型重贝努利试验概型.在此试验中在此试验中,事件事件A发生的次数发生的次数XB(n,p).第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）解解 此人每蒙一道题看作一次试验此人每蒙一道题看作一次试验,蒙对的概率蒙对的概率为为1/4,共蒙共蒙 40 道题相当于道题相当于40 次独立试验次独立试验,而至少蒙对而至少蒙对 10 道题的概率是道题的概率是 例例8 一张考卷共有一张考卷共有40 道选择题道选择题,每题有每题有4个选择个选择答案答案(其中只有一个是对的其中只有一个是对的),若某人一道题也
18、不会若某人一道题也不会,问此人蒙对问此人蒙对 10 道题的概率是多少道题的概率是多少?蒙对蒙对 10 道题的概率是道题的概率是蒙对的题数蒙对的题数XB(40,1/4),第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）具有此分布的变量在实际应用中很多具有此分布的变量在实际应用中很多,例如例如 单位时间内电话交换台收到的呼唤次数单位时间内电话交换台收到的呼唤次数,一本书一页中印刷错误数一本书一页中印刷错误数,某地区在一天内邮递遗失的信件数某地区在一天内邮递遗失的信件数,某医院一天内的急诊人数某医院一天内的急诊人数,某地区某一时间间隔内发生的交通事故的次数某地区某
19、一时间间隔内发生的交通事故的次数,某地区居民中活到百岁的人数某地区居民中活到百岁的人数.可以证明当可以证明当 n 较大较大,p 较小较小,=n p 的大小适的大小适中中(10)时时,有近似公式有近似公式 泊松分布的重要应用之一是用来近似代替二项泊松分布的重要应用之一是用来近似代替二项分布分布.2.泊松分布泊松分布第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）2.泊松分布泊松分布 设设 X 的分布律为的分布律为其中其中0,称称 X 服从服从泊松分布泊松分布,记作记作 XP().由指数函数的幂级数展开式由指数函数的幂级数展开式得得第二章第二章 第一讲第一讲 随
20、机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）例例9 保险公司里有保险公司里有2500个同一年龄且同一社个同一年龄且同一社会阶层的人参加人寿保险会阶层的人参加人寿保险,在一年内每个人死亡的概在一年内每个人死亡的概率为率为 0.002,每个入保的人在一月一日付每个入保的人在一月一日付 12元保险费元保险费,而在死亡时家属可向保险公司领而在死亡时家属可向保险公司领 2000元元.问问(1)在一在一年内保险公司亏本的概率是多少年内保险公司亏本的概率是多少?(2)在一年内保险在一年内保险公司至少获利公司至少获利 10000元的概率是多少元的概率是多少?解解 (1)年初保险公司收入为年初保险公司
21、收入为 250012=30000 (元元).若一年内死亡若一年内死亡X人人,则保险公司应付出则保险公司应付出2000X(元元).若若2000X 30000,即即X 15(人人),则保险公司亏本则保险公司亏本(不不 计利息计利息).2500人中一年内死亡人数人中一年内死亡人数 X B(2500,0.002).第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）(1)P P 保险公司亏本保险公司亏本 第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）(2)保险公司至少获利保险公司至少获利10000元意味着元意味着300002000X
22、 10000,即即X 10.P保险公司获利保险公司获利10000元元 第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）六、小结六、小结2.随机变量的分类随机变量的分类:离散型离散型、连续型连续型.1.概率论是从数量上来研究随机现象内在规概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的律性的，因此为了方便有力的研究随机现象因此为了方便有力的研究随机现象，就就需将随机事件数量化需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机把一些非数量表示的随机事件用数字表示时事件用数字表示时，就建立起了随机变量的概念就建立起了随机变量的概念 因此因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数的函数 第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布两点分布两点分布3.第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）4.第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）第二章第二章 第一讲第一讲 随机变量及其分布律（离散型）随机变量及其分布律（离散型）作作 业业P70:1,3,6