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1、行列式的计算关于行列式的计算第1页，讲稿共29张，创作于星期三3.4 行列式的计算 3.4.1 降阶法降阶法 内容内容小结小结 3.4.2 三角化方法三角化方法 3.4.3 归纳法归纳法 3.4.4 递推法递推法 3.4.5 分拆法分拆法 3.4.6 升阶法升阶法 第2页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算3行列式计算常用方法常用方法有:降阶法、三角化方法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法等.行列式计算的理论根据理论根据:行列式的按行(列)展开法则行列式初等变换的性质行列式乘积法则 第3页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算4例3.9 计算四阶行列式 3.4.1 降阶法降阶法 应用初等变
2、换使行列式的某行或某列的零元充分多,然后按该行或该列展开,化为低阶行列式来计算.第4页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算5解第5页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算6解 将|A|按第 n 行展开,得例3.10 计算 n 阶行列式 第6页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算7例3.11 计算 n 阶行列式 解将第 2,3,n 列都加到第一列得3.4.2 三角化方法三角化方法 利用行列式的初等变换将其化为三角行列式.第7页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算8第8页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算9第9页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算10例3.12 计算 解
3、先把第一行乘以(1)加到以下各行,再把后面各列加到第一列.第10页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算113.4.3 归纳法归纳法 通过计算低阶行列式,发现某种规律,进而猜想 k 阶行列式符合这种规律,然后证明 k1 阶行列式也呈现此规律,这就是数学归纳法的思想.第11页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算12 证对行列式的阶数 n 用数学归纳法.例3.13 证明 Vandermonde 行列式行列式因为 所以 n 2 时,等式成立.第12页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算13假设等式对 n 1阶 Vandermonde 行列式 Vn 1 成立,n 1阶阶Vandermonde
4、行列式行列式则第13页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算14因此由归纳法假设得 所以等式对所有 n 2 都成立.第14页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算153.4.4 递推法递推法 利用按行(列)展开法则,将 n 阶行列式化成形式相同的 n 1 阶行列式,从而建立递推关系,反复应用这个递推关系便可求出 n 阶行列式.第15页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算16例3.14 计算 解将 Dn 按第一行展开,得Dn 1Dn 2第16页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算17从而因故再把第二个行列式按第一列展开,得第17页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算18于是 第1
5、8页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算193.4.5 分拆法分拆法 分拆法是指利用行列式的性质将复杂的行列式分解为简单的行列式之和或之积.例3.15 计算 n 阶行列式 解 先将 Dn 的最后一行拆开,得第19页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算20将 y 与 z 互换,行列式 Dn 不变,从而 第20页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算21当 z y 时,解得当 z y 时,由例3.11 的结果知第21页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算22解 细心观察可以发现,当 n 3 时,有例3.16 计算行列式第22页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算23从而当 n 3
6、 时,A 0.第23页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算24当 n 1 时,显然 当 n 2 时,有 第24页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算253.4.6 升阶法升阶法 为便于应用行列式的性质,有时在原来的行列式中添加一行一列,即把行列式的阶数增加1,这就是升阶法.升阶必须给计算带来方便,而且要求升阶后的行列式与原来的行列式相等.升阶法也叫加边法.第25页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算26解 将行列式升阶,得例3.17 计算 第26页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算27将新行列式的第二列依次与第 3,4,n 列交换,再将新行列式第二列依次与第 3,4,n1 列交换,再将新行列式第二列依次与第 3,4,n2 列交换,得 将新行列式第一行乘 i 加到第 i 行,得 第27页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算28转置的转置的Vandermonde行列式行列式将新行列式第一行的元乘 i 加到第 i 行,得 第28页，讲稿共29张，创作于星期三行列式的计算感感谢谢大大家家观观看看第29页，讲稿共29张，创作于星期三