《电动力学分离变量法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电动力学分离变量法.ppt（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、电动力学课件分离变量法现在学习的是第1页，共33页2.3 拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解 分离变量法分离变量法1、分离变量法的适用条件、分离变量法的适用条件四、应用实例（习题课）四、应用实例（习题课）三、解题步骤三、解题步骤二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第2页，共33页1 1、空间、空间 ，自由电荷只分布在某些介质（或导，自由电荷只分布在某些介质（或导 体）表面上，将这些表面视为区域边界，体）表面上，将这些表面视为区域边界，可用可用 拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。一、拉普拉斯方程的适用条件一、拉普拉斯方程
2、的适用条件2 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。自由电荷分布在真空中产生的势为已知。机动 目录 上页 下页 返回 结束 一一般般所所求求区区域域为为分分区区均均匀匀介介质质，则则不不同同介介质质分分界界面面上上有有束束缚缚面面电电荷荷。区区域域V V中中电电势势可可表表示示为为两两部部分分的的和和，即即 ，为为已已知知自自由由电电荷荷产产生生的的电电势势，不不满满足足 ，为为束束缚缚电电荷荷产产生生的的电势，满足拉普拉斯方程电势，满足拉普拉斯方程但注意，边值关系还要用但注意，边值关系还要用 而不能用而
3、不能用现在学习的是第3页，共33页二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式1、直角坐直角坐标标 （1）令令 令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第4页，共33页（2 2）若若 （3 3）若）若，与与 无关。无关。注注意意：在在（1 1）、（2）两两种种情情况况中中若若考考虑虑了了某某些些边边界界条条件件，将将与与某某些些正正整整数数有有关关，它它们们可可取取1，2，3，只有，只有对对它它们们取和后才得到通解。取和后才得到通解。机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第5页，共33页2.柱坐柱坐标标 讨论讨论，令令 有两个有两个线线性无
4、关解性无关解、单值单值性要求性要求，只能取整数，令只能取整数，令若若，机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第6页，共33页3球坐球坐标标 缔缔合勒合勒让让德函数（德函数（连带连带勒勒让让德函数）德函数）若若不依赖于不依赖于，即，即具有具有轴对轴对称性称性，通解通解为为-为为勒勒让让德函数德函数l 若若与与均无关，均无关，具有球对称性，具有球对称性，通解：通解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第7页，共33页三解题步骤三解题步骤3.根据具体条件确定常数根据具体条件确定常数1.选择坐标系和电势参考点选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主坐标
5、系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；要根据电荷分布是有限还是无限；2.分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标坐标系中的通解；系中的通解；（1）外）外边边界条件：界条件：电电荷分布有限荷分布有限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第8页，共33页注注意意：边边界界条条件件和和边边值值关关系系是是相相对对的的。导导体体边边界界可可视视为为外外边边界界，给给定定 （接接地地 ），或或给给定定总电总电荷荷 Q，或，或给给定定 。电电荷分布无限，荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如电势参考点一般选在有限区。如
6、（直角坐（直角坐标标或柱坐或柱坐标标），电势可选在坐标原点。，电势可选在坐标原点。均匀场中，均匀场中，（2）内部）内部边值边值关系：介关系：介质质分界面上分界面上一一般般讨讨论论分分界界面面无无自自由由电电荷的情况荷的情况机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第9页，共33页四应用举例四应用举例1、两无限大平行两无限大平行导导体板，相距体板，相距为为 ，两板，两板间间电势电势 差为差为V(与与 无关无关)，一板接地，求，一板接地，求两板间的两板间的 电势电势 和和 。xyOVZ Z解：（解：（1）边边界界为为平面，故平面，故应选应选直角坐直角坐标标系系下板下板，设为设为参考点参考点（
7、2）定性分析：）定性分析：因因在在（常数常数），可考，可考虑虑与与无关。无关。机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第10页，共33页(4)定常数：定常数：(5)电场为均匀场电场为均匀场常数常数电势：电势：(3)列出方程并给出解：列出方程并给出解：方程的解：方程的解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第11页，共33页2.一对接地半无限大平板，相距为一对接地半无限大平板，相距为 ，左端有，左端有一极一极板电势为板电势为 V（常数），求两平行板之间的电势。（常数），求两平行板之间的电势。xyzV解解：（1）边边界界为为平平面面，选选直直角角坐坐标标系系；上上、下下两两平平
8、板板接接地地，取取为为参参考考点点；且当且当（2 2）轴轴平行于平板，且平行于平板，且与与无关，可无关，可设设机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第12页，共33页（3 3）确定常数）确定常数 A A，B B，C C，D D，k k通解通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第13页，共33页两两边边同乘同乘 并从并从0 b0 b积分：积分：机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第14页，共33页（m=奇数）奇数）（m=偶数）偶数）令令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第15页，共33页3.3.半径半径 a a，带有均匀电荷分布，带有均匀电荷
9、分布的无限的无限长圆长圆柱柱导导体，体，求导体柱外空间的电势和电场。求导体柱外空间的电势和电场。解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可选在导体面选在导体面 r=a r=a 处，即处，即 选柱坐标系。选柱坐标系。对称性分析：对称性分析：导导体体为圆为圆柱，柱上柱，柱上电电荷均匀荷均匀分布，分布，一定与一定与无关。无关。柱外无柱外无电电荷，荷，电场线电场线从面上从面上发发出后，不会出后，不会终终止到面上，只止到面上，只能能终终止到无止到无穷远穷远，且在，且在导导体面体面上上电场电场只沿只沿 方向，可方向，可认为认为与与z无关，无关，
10、机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzor现在学习的是第16页，共33页当当 r=a 时时，机动 目录 上页 下页 返回 结束 在在导导体面上体面上 现在学习的是第17页，共33页 补补充充题题11长长方方形形盒盒的的长长为为A A、宽宽为为B B、高高为为C C，上上盖盖电电位位为为 ，其其余余接接地地，求盒内的电位分布。求盒内的电位分布。CAB 补补充充题题22无穷长导体圆筒，半径为a，厚度可以忽略不计。圆筒分成相等的两个半片，相互绝缘。其中的一半的电位为 ，另一半电位为 ，求圆筒内的电位分布。机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第18页，共33页4一半径为一半径为 a，介
11、电常数为，介电常数为 的无的无 限长电介质限长电介质圆柱，柱轴沿圆柱，柱轴沿 方方 向，向，方向上有一方向上有一外加均匀电外加均匀电 场场 ，求空间电势分布和柱面，求空间电势分布和柱面 上的束缚电荷分布。上的束缚电荷分布。解解：(1)(1)边边界界为为柱柱面面,选选柱柱坐坐标标系系。均均匀匀场场电电势势在在无无穷穷远远处处不不为为零零，故故参参考考点点选选在在有有限限区区域域，例例如如可可选选在在坐标原点坐标原点常数（或常数（或0）xyzO机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)(2)考虑对称性电势与考虑对称性电势与z z无关，设柱内电势为无关，设柱内电势为 ，柱外为，柱外为 它它们分别满足们
12、分别满足 ,。通解为：。通解为：现在学习的是第19页，共33页(3)(3)确定常数确定常数 因为有外加均匀场，它们对因为有外加均匀场，它们对x x轴对称，可考虑轴对称，可考虑 、也也 相相对对x轴对轴对称（称（为为偶函数），所以偶函数），所以 中不中不应应包包 含含 项项，故：，故：、均为零。均为零。常数（或零），有限，故常数（或零），有限，故中不中不应应有有 项项。（均匀（均匀场电势场电势），），中不中不含含 项项），得），得（因此因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第20页，共33页 时时，两两边边 为为任意任意值值，前系数前系数应应相等（相等（）机动 目录 上页 下页 返
13、回 结束 现在学习的是第21页，共33页（4 4）解为）解为 （5）求柱内）求柱内电场电场：仍沿仍沿x方向方向 Z机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第22页，共33页（6）柱面上束）柱面上束缚缚面面电电荷分布荷分布（7 7）若圆柱为导体，可用上述方法重新求解，或令）若圆柱为导体，可用上述方法重新求解，或令机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第23页，共33页5 5如如图图所所示示的的导导体体球球（带带电电Q Q）和和不不带带电电荷荷的的导导体体球球壳壳，用用分分离离变变量量法法求求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。解解
14、：(1)(1)边边界界为为球球形形，选选球球坐坐标标系系，电荷分布在有限区，选电荷分布在有限区，选若若将将Q Q移移到到壳壳上上，球球接接地地为为书书中中P64P64例题例题（2 2）设球壳内为）设球壳内为I I区区，壳外为，壳外为IIII区区。球壳内球壳内:球壳外球壳外 电电荷在球上均匀分布，荷在球上均匀分布，场场有球有球对对称称性，性，与与无关无关机动 目录 上页 下页 返回 结束 I IIIII现在学习的是第24页，共33页（3 3）确定常数）确定常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导导体壳体壳为为等等势势体体 在在导导体壳上体壳上 现在学习的是第25页，共33页（4）机动 目录
15、上页 下页 返回 结束（5）球壳上的感）球壳上的感应电应电荷荷壳外面壳外面 壳内面壳内面 以上结果均与高斯定理求解一致。以上结果均与高斯定理求解一致。现在学习的是第26页，共33页R0z6 6均均匀匀介介质质球球（介介电电常常数数为为 ）的的中中心心置置一一自自由由电电偶偶极极子子 ，球球外外充充满满另另一一种种介介质质（介介电电常常数数为为 ），求空间各点电势和束缚电荷分布。求空间各点电势和束缚电荷分布。解解:(1)与与 的的边边界界为为球面，故球面，故选选球坐球坐标标系，系，电荷分布在有限区，选电荷分布在有限区，选(2)设设球球内内电电势势为为 ，球球外外电电势势为为 ,球球外外无无自自由
16、由电电荷荷分分布布，电电势势满满足足 。但但球球内内有有自自由由偶偶极极子子，不不满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程，但但满满足足泊泊松松方方程程。考考虑虑偶偶极极子子使使介介质质极极化化，极极化化电电荷荷分分布布在在偶偶极极子子附附近近和和球球面面上上。自自由由偶偶极极子子在在介介质中产生的电势质中产生的电势机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第27页，共33页所以所以 满满足足还还可可设设 为简单为简单令令考考虑轴对虑轴对称称：（3）确定常数）确定常数 R0，有限有限机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第28页，共33页R 边值边值关系关系 并注意到并注意到机动 目录
17、 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第29页，共33页比比较较的系数，得的系数，得机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第30页，共33页（4）电势电势解解为为（5）球面上束）球面上束缚缚（极化）（极化）电电荷分布荷分布机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第31页，共33页补充题3一一半半径径为为R0的的球球面面，给给定定球球面面上上任任意意一一点点 P 的的电电势势 ，为为常常数数，求面内外的求面内外的电势电势分布。分布。R0PO答案：答案：机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：现在学习的是第32页，共33页答案：答案：作业：作业：1 1、2 2、4 4、5 5 补充题补充题 3 3、4 4选作：选作：6 6*、补充题、补充题 1 1、2 2补充题补充题4有有一一半半径径为为 a 的的无无限限长长圆圆柱柱导导体体，柱柱轴轴沿沿 方方向向，沿沿 方方向向上上有有一一外外加加均均匀匀电电场场 ，求求空空间间电电势势分分布布（球球外外为为真真空空）和和面面电荷分布电荷分布（令柱面（令柱面处电势为处电势为零）零）。xyzO机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第33页，共33页