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1、第三节第三节 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 分离变量法分离变量法1基本问题：电场由电势描述基本问题：电场由电势描述电势满足泊松方程电势满足泊松方程+边界条件边界条件只有在界面形状是比轻简单的几何曲面只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体情况不同而有不同解法而且视这体情况不同而有不同解法本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法具体的工作：解泊松方程具体的工作：解泊松方程2在许多实际问题中，静电场是由在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的带电导体决定的例如例如l电容器内部的电场是由
2、作为电极的两个电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的导体板上所带电荷决定的l电子光学系统的静电透镜内部，电场是电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的由分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点：自由电荷只出现在这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布他自由电荷分布3选择导体表面作为区域选择导体表面作为区域V的边的边界，界，V内部自由电荷密度内部自由电荷密度 0，泊松方程化为比较简单的拉，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程普拉斯方程它的通解可以用分离变量法求出。拉它的通解可以用分离变
3、量法求出。拉氏方程在球坐标中的通解为氏方程在球坐标中的通解为anm,bnm,cnm,dnm为任意常数为任意常数4若该问题中具有对称轴，取此轴为极若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为轴，这种情形下通解为5例例1 一个内径和外径分别为一个内径和外径分别为R2和和R3的导体球壳，带电荷的导体球壳，带电荷Q，同心地包围，同心地包围一个半径为一个半径为R1的导体球（的导体球（R1 R2），），使这个导体球接地。求空间各点的电使这个导体球接地。求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。势和这个导体球的感应电荷。6这问题有球对称性，电势这问题有球对称性，电势不依不依赖于角度赖于角度和和。设导体
4、壳外和。设导体壳外和壳内的电势分别为壳内的电势分别为解解7边界条件为：边界条件为：（1）内导体接地）内导体接地（2）整个导体球壳为等势体）整个导体球壳为等势体（3）球壳带总电荷）球壳带总电荷Q，8将通解代入边界条件将通解代入边界条件9由这些边界条件得由这些边界条件得其中其中利用这些值利用这些值得电势的解得电势的解导体球上的导体球上的感应电荷为感应电荷为10例例2 电容率为电容率为的介质球置于均的介质球置于均匀外电场匀外电场E0中，求电势。中，求电势。11设球半径为设球半径为R0，球外为，球外为真空（如图）。这问题真空（如图）。这问题具有轴对称性，对称轴具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场为通
5、过球心沿外电场E0方向的轴线，取此轴线方向的轴线，取此轴线为极轴。为极轴。球内区域的电势球内区域的电势解解球外区域的电势球外区域的电势12边界条件：边界条件：（1）无穷远处，）无穷远处，因而因而（2）R0处，处，2为有限值，因此为有限值，因此（3）在介质球面上，有）在介质球面上，有13则有则有比较比较P1的系数得的系数得可解出可解出其他其他Pn项的系数可解出为项的系数可解出为14所有常数已经定出，因此本问题的解为所有常数已经定出，因此本问题的解为在球内总电场作用下，介质的极化强度为在球内总电场作用下，介质的极化强度为 介质球的总电偶极矩为介质球的总电偶极矩为 1表达式中的第二项正是这个电偶极矩
6、所产生的电势表达式中的第二项正是这个电偶极矩所产生的电势 15例例3 半径为半径为R0的导体球置于均匀的导体球置于均匀外电场外电场E0中，求电势和导体上的电中，求电势和导体上的电荷面密度。荷面密度。16用导体表面边用导体表面边界条件，照上界条件，照上例方法可解出例方法可解出导体球外电势导体球外电势 导体面上导体面上电荷面密电荷面密度为度为解解17例例4 导体尖劈带电势导体尖劈带电势V，分，分析它的尖角附近的电场。析它的尖角附近的电场。18用柱坐标系用柱坐标系,取取z轴沿尖边轴沿尖边,柱柱坐标下的拉氏方坐标下的拉氏方程为程为设设 的特解为的特解为解解19把把 的特解叠加为通解形式为的特解叠加为通
7、解形式为则上式分则上式分解为两个解为两个方程方程20在尖劈在尖劈=0面上，面上，=V与与r无关，因此无关，因此因因r 0时时 有限，得有限，得在尖劈在尖劈=2-面面上，上，=V与与r无关，无关，必须必须因此因此v的可能值为的可能值为21考虑这些条件，考虑这些条件，可以重写可以重写为了确定选定常数为了确定选定常数An,还必须用某还必须用某一大曲面包围着电场存在的区域一大曲面包围着电场存在的区域,并给定这曲面上的边界条件。并给定这曲面上的边界条件。22在尖角附近在尖角附近r 0，上式求和式的主要贡上式求和式的主要贡献来自献来自r的最低次幂的最低次幂项，即项，即n=1项项电场为电场为尖劈两面尖劈两面上的电荷上的电荷面密度为面密度为 很小时很小时,v1趋于趋于1/2,面电荷密度面电荷密度很大，趋于很大，趋于1/r1/223