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1、习题答案 88-11）二阶系统，2 个状态变量。1 y(t)x 2(t)y(t)2y(t)x1 2x2设x1 y(t)，x2 xy1 00 Ax x，x xA，y 10 x x，B 1202)10 00 x x 0uy 100 x x 0 x x01 2 2313)10 00 x x 0uy 121x x 0 x x01 1 231提示：本题利用了可控规范型与微分方程系数的关系。8-2 1)Y(s)132U(s)s 10s0 010 001x x 0uy 100 x xx x 001012)Y(s)11 1111132U(s)s 9s 8s8 s7 s 156 s 80 010 x x 0uy
2、 100 x x001x x 08910 0011 010 x x 1uy 或x x 8 0081 171 x x5610 00 x x 0uy 541x x 0013)x x 61161提示：本题利用了状态空间的规范型与传递函数系数的关系。18-312s 59s2 6s 8 2ete2tx1(t)At8-4 ex x(0)t2tx2(t)2e 2e11ete2t 1 ettt2te 2e1e 12e2te3t8-5x x(0)0 0，x x(t)L(sI A)BU(s)2t3t1 4e3e10 00 x x(k)0u(k)y(k)021x x(k)0018-6x x(k 1)1 231001
3、0 x x(k)2u(k)y(k)001x x(k)10 2或x x(k 1)013110 0 1 x x(k)1u(k)y(k)100 x x(k)001或x x(k 1)1 231 提示：利用状态空间的规范型与差分方程系数的关系。1 008-7A B C 10231下面是对该状态方程的求解过程。设初始条件为零。z1(zI A)2z 311z22zz 33z 223z 211z23z 2z2z 3z 2 0 0z1X(z)(zI A)BU(z)(zI A)(zI A)z 1z 1z 1zzzz(z23z 2)(z 1)3(z 2)2(z 1)6(z 1)22zzzz23(z 2)2(z 1)
4、6(z 1)(z 3z 2)(z 1)111 1kk(2)(1)3126x x(k)Z X(z)211kk(2)(1)2630101tAt118-8 1)A B e L(sI A)00101212T1T1t0tTAtAt e，eB eBdt 2 0T01011112T1TTATAtx x(k 1)ex x(k)(eBdt)u(k)x x(k)2u(k)0T01AT12t01 01(1e)At11e L(sI A)2)A B 2 0021e2t2T1e1 1(T)2tT(1e)AtAt22eBdt eB 201e2t2T(1e)2x x(k 1)eAT1x x(k)(eBdt)u(k)00TAt
5、2T1e1 1)(T(1e2T)22x x(k)u(k)21e2T(1e2T)2228-9 1)V(x)x1210 x2 4x36x1x22x2x3x1x2 130 x1xx331012014 x31301 0，109 0，3101 40136 031001413-V(x)正定，V(x)负定。222)V(x)x124x2 x32x1x26x2x3 2x1x3 1P 111114131 1143，1 0，41 0，143113 433 491 011故 V(x)不定。312108-10A 取 Q 14017 2360解方程ATP PA Q P 607116060 23 0，P 0。P正定，平衡状
6、态大范围渐近稳定。60提示：求 P 的方法如下1)求 P 的 MATLAB程序a=-1-2;1-4；q=10;01；p=lyap(a，q)p112)设P p12p12p2211 p1124p12p12p11p22p12p121210 1401p22 2p11 2p12 123711 2p115p12 p22 0 p11p12 p22606060 4p8p 112221 1108-11A 取 Q 23010.05 0.4解方程ATP PA Q P 0.050.15系统不稳定。0.4 0，P 0.0625 0。30 1，求 A 的特征根的 MATLAB程序为：3 238-12 解法 1A 00 1
7、a=130;-3-2-3;100，eig(a)特征根为 0.1173j2.6974，-1.2346。特征根在 z 平面单位圆外，系统不稳定。解法 2 取 Q=I，P 是对称阵，解方程ATPA P Q0.24630.25640.5 P 0.25640.62821.46151.4615 4.65380.5-0.24630，P 不是正定的，故系统不稳定。4求 P 的 MATLAB程序：a=130;-3-2-3;100;a1=inv(a),c=a1,p=lyap(a,-a1,c)8-13解法 1zzI A 0101 z3zzK02KKKz z(z2)0 z1 0，z2,3 222令K1 0 K 22p
8、12p22p23p13Tp23解方程 A PA P Q p33解法 2p11取Q I，p12p1310K224P 011K2400003121K412K 0，即 K2。4欲使 P 为正定，只要18-14 可控性矩阵设为Qk。012，111Qk)2 3，不可控。1)QkQk 0，rank(0123276 21，112244Qk)3，可控。2)Qkrank(111100111，000Qk)2 3，不可控。3)QkQk 0，rank(2 2250112 4 4，10 2040Qk)3，可控。4)Qkrank(2020 20或，对角线标准型，输入矩阵任一行不全为零，可控。12 2 448，000000
9、Qk)2 3，不可控。5)Qkrank(3090270或，对角线标准型，输入矩阵第二行全为零，不可控。3254 21，112244Qk)2 3，不可控。6)Qkrank(11 2 2 4 48-15 1)rank(CB CAB)rank011，可控，1 个输出量。312)rank(。CB)rank 2，可控（2 个输出变量）11rankCB CAB CA2B rank(CB)28-16 可观性矩阵为Qg100132rank(Qg)3，可观。1）Qg1 1180102032）Qg0609018 1011 203）Qg2140 41000rank(Qg)1，不可观。000102rank(Qg)3，
10、可观。0406004）Qg00不可观。010c0c20c300 rank(Qg)13，不可。00当 a、b、c、d 互不相等时，由于 A 是对角线标准型，c 中有全零的列，故1a 18-17Qkrank(Qk)2的充要条件是1bb a 1 0，即 a b 111 Qg，Qg1b a 0 a b 1a1b故 a b 1时，既可控，又可观。8-18G(s)K(s a)K(s a)s3 6s211s 6(s 1)(s 2)(s 3)1)a 1，a 2，a 3,系统可控又可观。10 00，B 0，C Ka0012)A 61161K0KK0可控，不可观。006K，K，1011B 3)A C 001016
11、0可观，不可控。2）与 3）是对偶系统。8-19 1)系数矩阵是对角线规范型，输入矩阵有一行全为零，输出矩阵有一1101 列全为零，故不可控，不可观。可控性矩阵是，可观性矩阵是01，00秩全是 1。eT2)离散化后，系数矩阵G 0eT10，输入矩阵H，输出矩阵T0eC 01。求 G 和 H 的 MATLAB程序如下。a=10;0-1;b=1;0;t=sym(T);g,h=c2d(a,b,t)73)系数矩阵是对角线标准型，输入矩阵有一行全为零，输出矩阵有一列全为零，故不可控，不可观。eT1eT(eT1)01 Qk,Q g0eTQk和Qg的秩为 1。008-20 对角线标准型，可控。求可控规范型的
12、一种方法是先求变换矩阵，再求系数矩阵。另一种方法是先求特征多项式，再写出系数矩阵。输入矩阵都是规范型。1 0.50.2 001）P，A1，B1 0.50.4231特征多项式为(s 1)(s 2)s23s 210 0.250.251/3 000B 00.250.5 2/3A 012）P 11 0.250.754/3 25 41s 110特征多项式为00s 10(s 1)2(s 2)s3 4s25s 20s 2 18-21 1）T 313特征多项式为10503A1B1 C10121233s 32 s22s 32 s22s 51s 10110013A 102B 11122）T 11C10010010
13、102 s10特征多项式为1s 10 s(s21)(s 1)s3 2s 110s 18-22 1）Y(s)3s 3 G(s)2U(s)s 3Y(s)2s28s 62）G(s)32U(s)s 6s 11s 688-23Y(s)1032U(s)s 7s 10s0 0100K 801A 001B 01071求 K 的 MATLAB程序如下：a=010;001;0-10-7；b=0;0;1,p=-4-1+j-1-j,k=place（a,b,p）或 k=acker（a,b,p）8-24K=85.6 8 8-25G。求 G 的 MATLAB程序如下：16.5a 0 1;-3 -4;b 0;1;c 2 0;
14、a1 a;b1 c;c1b;p 10 -10;k acker(a1,b1,p);g k0.348-26G 2 40 8-27 系统反馈矩阵 K=0.410.05，观测器反馈矩阵G。300 a0w k1u k2y，变换矩阵为 Q。8-28设降维观测器方程为w01 0.50.51取Q Q12 10g 10，k1 9，k2 110，a0 10 x 10w9u 110y，x1g w gy w10y,xg1gwy a0w K1u K2y，变换矩阵为 Q。8-29 设降维观测器方程为w0取Q 100011 0 Q1 10111 0010 0G 04，K107，K2016，a0393w07u016ywx x1g wGy w04y,xg1gy8-30b 1，k r1p，pa ap pr1p q 0 p2 2arp qr 0 p ar a2r2 qrqp 0 p ar a r qrk rp a a r2212p11010108-31A，B，R 1，Q，P p10400 1221 p12PA A P PBR B P Q 0 p11 p12p22T1Tp12p22p11 p12p220022p12 p22 400162p12p116162p 2p 4，p 0，P 0 p1 P 221212111p p p1222p226116K R1BTP 0111 16610