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1、导数恒成立问题大题优练11优选例题例1已知函数满足，且曲线在处的切线方程为（1）求，的值；（2）设函数，若在上恒成立，求的最大值【答案】（1），；（2）3【解析】（1）由已知得，且函数的图象过点，则，解得，（2）由（1）得若在上恒成立，则在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以，从而可得在上恒成立令，则，令，则恒成立，在上为增函数又，所以存在，使得，得，且当时，单调递减；当时，单调递增，则又，所以，代入上式，得又，所以因为，且，所以，故的最大值为3例2已知函数，为自然对数的底数（1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）【解析】（1），
2、当时，单调递减，单调递增；当时，单调递增；，单调递减，单调递增；当时，单调递增；当时，单调递增；，单调递减；，单调递增（2）当时，令，令，是单调增函数，在是单调增函数，当，即时，在是单调增函数，此时符合题意当，即时，；时， 使得，单调递减，与恒成立不符，综上所述，例3已知函数，（1）若函数没有极值点，求实数的取值范围；（2）若对任意的恒成立，求实数和所满足的关系式，并求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）当时，对任意的，恒成立【解析】（1）因为，所以，因为函数没有极值点，所以无解或有重根，即无解或有重根时，不满足条件；时，解得或，综上可得，函数没有极值点，则或（2）依题意得：对任意的，恒成立
3、，令，则恒成立，因为，所以是的极小值点，所以，所以，所以对任意的，恒有当时，矛盾；当时，显然有，因为函数，即函数的图象恒在函数图象的上方，是函数在处的切线，下证：，令，令，解得，即在上单调递增；令，解得，即在上单调递减，所以，即成立，所以，综上所述：当时，对任意的，恒成立模拟优练1已知，（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）单调递增区间为和，递减区间为；（2）【解析】（1）解：的定义域为，令，得或当x变化时，变化如下：0200增极大值减极小值增所以的单调递增区间为和，递减区间为（2）因为定义域为，的定义域为，令()，则，所以当时，为减函数；当时，为增函数，所以，
4、则，所以，故实数的取值范围为2已知函数（1）求讨论函数的单调性；（2）若函数的图象恒在的图象的下方，求实数的取值范围【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，不具有单调性；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）【解析】（1）函数的定义域是，当时，是常数函数，不具有单调性；当时，对任意恒成立，故函数在上单调递增；当时，令，得；令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，综上：当时，函数在上单调递增；当时，不具有单调性；当时，函数在上单调递增，在上单调递减（2）函数的图象恒在的图象的下方等价于恒成立，即，得，即令，则恒成立，所以，可知当时，令，得所以当时，；当时，因此在上单调递增，在上单调递
5、减，所以，所以；当时，在上恒成立；当时，令，得所以当时，；当时，因此在上单调递增，在上单调递减，所以，即，则，解得，综上所述，实数的取值范围为3已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）依题意，定义域为，若，函数在上单调递增；若，当时，；当时，故函数在上单调递减，在上单调递增；若，当时，；当时，故函数在上单调递增，在上单调递减（2）令，则，则在上恒成立因为，当时，在上单调递减，所以当时，不合题意，舍去；当时，因为，所以，所以，此时在上单调递增，符合题意；当时，因为，所以由，得，此时在上单调递减，所以当时，不合要求，舍去，综上所述，实数a的取值范围是4已知函数，（1）当在点处的切线与直线平行时，求实数a的值；（2）若恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1），因为，且直线的斜率为1，所以，即（2）由已知得对任意的恒成立，整理得恒成立令，则，令，则，又，即恒成立，在上单调递增，又，当时，即为减函数；当时，即为增函数，