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1、第01节微分方程的基本概念第1页，本讲稿共24页一、问题的引入一、问题的引入 引引例例1 已已知知一一条条曲曲线线通通过过原原点点，且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点处处的的切切线线的的斜斜率率等等于于该该点点横横坐坐标标的的平平方方，求该曲线方程。求该曲线方程。解 该所求曲线为 ，根据导数的几何意义及本题所设，可知未知函数满足 （特点：方程中含有未知函数的一阶导数）（特点：方程中含有未知函数的一阶导数）第2页，本讲稿共24页下面求未知函数：将初始条件 代入上式，得：由此得 ，故所求曲线方程为 .第3页，本讲稿共24页（特点：方程中含有未知函数的二阶导数）（特点：方程中含有未知函数的二阶导数
2、）引引例例2 列列车车在在一一段段笔笔直直的的铁铁路路上上以以20米米秒秒的的速速度度行行驶驶，当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度0.4米米秒秒2，问问开开始始制制动动后后经经多多少少时时间间列列车车才才能能完完全全停停住住？并求列车在这段时间内行驶的路程？并求列车在这段时间内行驶的路程？解 设列车开始制动 秒后行驶 米，即 ，根据题设，应有关系式：第4页，本讲稿共24页将初始条件代入，得 令 ，得到列车从开始制动到完全停住，共需将 （秒）代入 中，求得列车在这段时间行驶的路程第5页，本讲稿共24页二、微分方程的定义与分类二、微分方程的定义与分类 实质：联系自变量，未知函数以及未知函
3、数的某些导数（或微分）之间的关系式。定定义义1：凡凡含含有有未未知知函函数数的的导导数数或或微微分分的的方方程程叫做微分方程。叫做微分方程。例 ，都是微分方程。共性：两个引例得出的式子均含有未知函数的导数。也都是微分方程。又例第6页，本讲稿共24页注：本章我们只讨论常微分方程的求解。注：本章我们只讨论常微分方程的求解。定定义义2：未未知知函函数数是是一一元元函函数数的的微微分分方方程程叫叫做做常常微微分分方方程程；未未知知函函数数是是多多元元函函数数的的微微分分方方程程叫叫做偏微分方程；做偏微分方程；分类分类I I：常微分方程、偏微分方程：常微分方程、偏微分方程 例 是常微分方程；是偏微分方程
4、。第7页，本讲稿共24页分类分类：一阶微分方程、高阶（：一阶微分方程、高阶（n n阶）微分方程阶）微分方程 定定义义3 3：微微分分方方程程中中出出现现的的未未知知函函数数的的最最高高阶阶导数的阶数叫做微分方程的阶。导数的阶数叫做微分方程的阶。一阶微分方程：高阶（n阶）微分方程：例 是一阶微分方程；是二阶微分方程。第8页，本讲稿共24页分类分类：线性与非线性微分方程：线性与非线性微分方程 是一阶线性微分方程；是二阶线性微分方程；（特点：除 外，其他各项关于 均 为 一次。）是非线性微分方程。第9页，本讲稿共24页三、微分方程的解与初值问题三、微分方程的解与初值问题 确切地说，确切地说，对于给定
5、的微分方程对于给定的微分方程 定定义义4：代代入入微微分分方方程程能能使使方方程程成成为为恒恒等等式式的的函数称之为微分方程的解。函数称之为微分方程的解。1微分方程的解微分方程的解 如果函数 在区间I上有n阶连续导数，且满足微分方程 那么称函数 是微分方程在区间I上的解。第10页，本讲稿共24页 特解的图象：微分方程的积分曲线。特解的图象：微分方程的积分曲线。（2）特特解解：确确定定了了通通解解中中任任意意常常数数以以后后的的微微分分方方程的解。程的解。（1）通通解解：包包含含有有任任意意常常数数，且且任任意意常常数数的的个个数数与微分方程的阶数相同的微分方程的解。与微分方程的阶数相同的微分方
6、程的解。微分方程的解分为：微分方程的解分为：例 微分方程 其通解为例 微分方程 其通解为通解的图象：微分方程的积分曲线族。通解的图象：微分方程的积分曲线族。第11页，本讲稿共24页即：求过定点且在定点的切线斜率为定值的即：求过定点且在定点的切线斜率为定值的积分曲线。积分曲线。即：求过定点的积分曲线；即：求过定点的积分曲线；初始条件：用来确定通解中任意常数的特定条件。初始条件：用来确定通解中任意常数的特定条件。2 2初值问题初值问题 一阶：二阶：初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。第12页，本讲稿共24页四、例题四、例题解解 的解，并求满足初始
7、条件 ，的特解。例1 验证函数 是微分方程第13页，本讲稿共24页将 和 的表达式代入原方程，有：故 是原方程的解。故所求特解为 。补充补充:微分方程的初等解法微分方程的初等解法:初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分第14页，本讲稿共24页证明证明 例2 验证 所确定的函数 是微分方程 的解。再对 求导，得 因此，是所给微分方程的解。第15页，本讲稿共24页故所求方程为故所求方程为 消去消去C，得，得 解解：例3 求积分曲线族 （C是任意常数）所满足的微分方程。积分曲线族两边求导数，得积分曲线族两边求导数，得第16页，本讲稿共24页五、小结五、小结 （1）微分方程；微分方
8、程的阶；）微分方程；微分方程的阶；1 1、本节学习内容、本节学习内容 （2 2）微分方程的解：通解；特解；初始条件；）微分方程的解：通解；特解；初始条件；初值问题；积分曲线。初值问题；积分曲线。第17页，本讲稿共24页本节重点在于理解常微分方程的解的概念。已已知知微微分分方方程程的的通通解解，求求通通解解所所满满足足的的微微分分方方程程，解解决决此此类类问问题题的的关关键键是是消消去去任任意意常常数数，求求得得自自变变量量、函函数数以以及及函函数数的的各各阶阶导导数数之之间间的的关关系系式式。求求微微分分方方程程涉涉及及到到积积分分运运算算，所所以以通通解解中中包包括括一一组组任任意意常常数数
9、，这这说说明明微微分分方方程程有有无无穷穷多多解解。在在一一般般情情况况下下，在在附附加加一一组组初初始始条条件件之之后后，从从微微分分方方程程的的通通解解中中可可求求得得一一个个确确定定的的解解，即即特特解解，也即初值问题的解。也即初值问题的解。2 2、重点、重点3 3、难点、难点第18页，本讲稿共24页六、练习题六、练习题 练习题1、设曲线上点 处的法线与X轴交点为Q，且线段PQ被Y轴平分，试写出该曲线所满足的微分方程。练习题2、已知函数 ，其中，为任意常数，试求函数所满足的微分方程。第19页，本讲稿共24页 因因Y Y轴轴平平分分PQ，故故P、Q两两点点的的横横坐坐标标为为相相反反值。于
10、是得值。于是得 课堂练习题解答：课堂练习题解答：1.解 设所求曲线方程为 ，则该曲线在点 处的法线方程为：为所求方程。第20页，本讲稿共24页消去任意常数，可得所求微分方程为：消去任意常数，可得所求微分方程为：将函数分别求一阶、二阶导数，得将函数分别求一阶、二阶导数，得2.解解：第21页，本讲稿共24页七、自测题七、自测题 一、填空题一、填空题是_阶微分方程1、2、一个二阶微分方程的通解应含有_ 个任意常数。3、函数 是微分方程 解。的_ 第22页，本讲稿共24页二、二、验证所给函数是所给微分方程的解：验证所给函数是所给微分方程的解：三、确定函数关系式 中的任意参数，使其满足初始条件 第23页，本讲稿共24页自测题解答自测题解答一、1.二阶；2.二个；3.特解；二、略三、解 将 代入初始条件，有 与第24页，本讲稿共24页