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1、第01节微分方程的基本概念第1页，共24页，编辑于2022年，星期日一、问题的引入一、问题的引入 引引例例1 已已知知一一条条曲曲线线通通过过原原点点，且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点处处的的切切线线的的斜斜率率等等于于该该点点横横坐坐标标的的平平方方，求求该曲线方程。该曲线方程。解解 该该所所求求曲曲线线为为 ，根根据据导导数数的的几几何何意意义义及及本题所设，可知未知函数满足本题所设，可知未知函数满足 （特点：方程中含有未知函数的一阶导数）（特点：方程中含有未知函数的一阶导数）第2页，共24页，编辑于2022年，星期日下面求未知函数：下面求未知函数：将初始条件将初始条件 代入上式，得：
2、代入上式，得：由此得由此得 ，故所求曲线方程为故所求曲线方程为 .第3页，共24页，编辑于2022年，星期日（特点：方程中含有未知函数的二阶导数）（特点：方程中含有未知函数的二阶导数）引引例例2 列列车车在在一一段段笔笔直直的的铁铁路路上上以以20米米秒秒的的速速度度行行驶驶，当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度0.4米米秒秒2，问问开开始始制制动动后后经经多多少少时时间间列列车车才才能能完完全全停停住住？并并求求列列车车在在这段时间内行驶的路程？这段时间内行驶的路程？解解 设设列列车车开开始始制制动动 秒秒后后行行驶驶 米米，即即 ，根据题设，应有关系式：根据题设，应有关系式：第4页
3、，共24页，编辑于2022年，星期日将初始条件代入，得将初始条件代入，得 令令 ，得到列车从开始制动到完全停住，共需，得到列车从开始制动到完全停住，共需将将 （秒）代入（秒）代入 中，求得列车在这段时间中，求得列车在这段时间行驶的路程行驶的路程第5页，共24页，编辑于2022年，星期日二、微分方程的定义与分类二、微分方程的定义与分类 实质：联系自变量，未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式。定定义义1：凡凡含含有有未未知知函函数数的的导导数数或或微微分分的的方方程程叫叫做做微分方程。微分方程。例例 ，都是微分方程。，都是微分方程。共性：两个引例得出的式子均含有未知函数的导数。也都
4、是微分方程。也都是微分方程。又例又例第6页，共24页，编辑于2022年，星期日注：本章我们只讨论常微分方程的求解。注：本章我们只讨论常微分方程的求解。定定义义2：未未知知函函数数是是一一元元函函数数的的微微分分方方程程叫叫做做常常微微分分方方程程；未未知知函函数数是是多多元元函函数数的的微微分分方方程程叫叫做做偏偏微微分分方程；方程；分类分类I I：常微分方程、偏微分方程：常微分方程、偏微分方程 例例 是常微分方程；是常微分方程；是偏微分方程。是偏微分方程。第7页，共24页，编辑于2022年，星期日分类分类：一阶微分方程、高阶（：一阶微分方程、高阶（n n阶）微分方程阶）微分方程 定定义义3
5、3：微微分分方方程程中中出出现现的的未未知知函函数数的的最最高高阶阶导导数的阶数叫做微分方程的阶。数的阶数叫做微分方程的阶。一阶微分方程：一阶微分方程：高阶（高阶（n n阶）微分方程：阶）微分方程：例例 是一阶微分方程；是一阶微分方程；是二阶微分方程。是二阶微分方程。第8页，共24页，编辑于2022年，星期日分类分类：线性与非线性微分方程：线性与非线性微分方程 是一阶线性微分方程；是一阶线性微分方程；是二阶线性微分方程；是二阶线性微分方程；（特特点点：除除 外外，其其他他各各项项关关于于 均均 为为 一次。）一次。）是非线性微分方程。是非线性微分方程。第9页，共24页，编辑于2022年，星期日
6、三、微分方程的解与初值问题三、微分方程的解与初值问题 确切地说，确切地说，对于给定的微分方程对于给定的微分方程 定定义义4：代代入入微微分分方方程程能能使使方方程程成成为为恒恒等等式式的的函函数称之为微分方程的解。数称之为微分方程的解。1微分方程的解微分方程的解 如如果果函函数数 在在区区间间I上上有有n阶阶连连续续导导数数，且且满足微分方程满足微分方程 那么称函数那么称函数 是微分方程在区间是微分方程在区间I上的解。上的解。第10页，共24页，编辑于2022年，星期日 特解的图象：微分方程的积分曲线。特解的图象：微分方程的积分曲线。（2）特特解解：确确定定了了通通解解中中任任意意常常数数以以
7、后后的的微微分分方方程程的的解。解。（1）通通解解：包包含含有有任任意意常常数数，且且任任意意常常数数的的个个数数与与微微分方程的阶数相同的微分方程的解。分方程的阶数相同的微分方程的解。微分方程的解分为：微分方程的解分为：例例 微分方程微分方程 其通解为其通解为例例 微分方程微分方程 其通解为其通解为通解的图象：微分方程的积分曲线族。通解的图象：微分方程的积分曲线族。第11页，共24页，编辑于2022年，星期日即：求过定点且在定点的切线斜率为定值的即：求过定点且在定点的切线斜率为定值的积分曲线。积分曲线。即：求过定点的积分曲线；即：求过定点的积分曲线；初始条件：用来确定通解中任意常数的特定条件
8、。初始条件：用来确定通解中任意常数的特定条件。2 2初值问题初值问题 一阶：一阶：二阶：二阶：初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。第12页，共24页，编辑于2022年，星期日四、例题四、例题解解 的解，并求满足初始条件的解，并求满足初始条件 ，的特解。的特解。例例1 验证函数验证函数 是微分方程是微分方程第13页，共24页，编辑于2022年，星期日将将 和和 的表达式代入原方程，有：的表达式代入原方程，有：故故 是原方程的解。是原方程的解。故所求特解为故所求特解为 。补充补充:微分方程的初等解法微分方程的初等解法:初等积分法初等积分法.求解微
9、分方程求解微分方程求积分求积分第14页，共24页，编辑于2022年，星期日证明证明 例例2 验验证证 所所确确定定的的函函数数 是是微分方程微分方程 的解。的解。再对再对 求导，得求导，得 因此，因此，是所给微分方程的解。是所给微分方程的解。第15页，共24页，编辑于2022年，星期日故所求方程为故所求方程为 消去消去C，得，得 解解：例例3 求求积积分分曲曲线线族族 （C是是任任意意常常数数）所满足的微分方程。所满足的微分方程。积分曲线族两边求导数，得积分曲线族两边求导数，得第16页，共24页，编辑于2022年，星期日五、小结五、小结 （1）微分方程；微分方程的阶；）微分方程；微分方程的阶；
10、1 1、本节学习内容、本节学习内容 （2 2）微分方程的解：通解；特解；初始条件；）微分方程的解：通解；特解；初始条件；初值问题；积分曲线。初值问题；积分曲线。第17页，共24页，编辑于2022年，星期日本节重点在于理解常微分方程的解的概念。本节重点在于理解常微分方程的解的概念。已已知知微微分分方方程程的的通通解解，求求通通解解所所满满足足的的微微分分方方程程，解解决决此此类类问问题题的的关关键键是是消消去去任任意意常常数数，求求得得自自变变量量、函数以及函数的各阶导数之间的关系式函数以及函数的各阶导数之间的关系式。求求微微分分方方程程涉涉及及到到积积分分运运算算，所所以以通通解解中中包包括括
11、一一组组任任意意常常数数，这这说说明明微微分分方方程程有有无无穷穷多多解解。在在一一般般情情况况下下，在在附附加加一一组组初初始始条条件件之之后后，从从微微分分方方程程的的通通解解中可求得一个确定的解，即特解，也即初值问题的解。中可求得一个确定的解，即特解，也即初值问题的解。2 2、重点、重点3 3、难点、难点第18页，共24页，编辑于2022年，星期日六、练习题六、练习题 练练习习题题1、设设曲曲线线上上点点 处处的的法法线线与与X轴轴交交点点为为Q，且且线线段段PQ被被Y Y轴轴平平分分，试试写写出出该该曲曲线线所满足的微分方程。所满足的微分方程。练习题练习题2、已知函数已知函数 ，其，其
12、中，中，为任意常数，试求函数所满足的微分为任意常数，试求函数所满足的微分方程。方程。第19页，共24页，编辑于2022年，星期日 因因Y Y轴轴平平分分PQ，故故P、Q两两点点的的横横坐坐标标为为相相反反值值。于于是得是得 课堂练习题解答：课堂练习题解答：1.解解 设设所所求求曲曲线线方方程程为为 ，则则该该曲曲线线在在点点 处的法线方程为：处的法线方程为：为所求方程。为所求方程。第20页，共24页，编辑于2022年，星期日消去任意常数，可得所求微分方程为：消去任意常数，可得所求微分方程为：将函数分别求一阶、二阶导数，得将函数分别求一阶、二阶导数，得2.解解：第21页，共24页，编辑于2022
13、年，星期日七、自测题七、自测题 一、填空题一、填空题是是_阶微分方程阶微分方程1 1、2 2、一个二阶微分方程的通解应含有一个二阶微分方程的通解应含有_ 个个任意常数。任意常数。3 3、函数、函数 是微分方程是微分方程 解。解。的的_ 第22页，共24页，编辑于2022年，星期日二、二、验证所给函数是所给微分方程的解：验证所给函数是所给微分方程的解：三、三、确定函数关系式确定函数关系式 中的任意中的任意参数，使其满足初始条件参数，使其满足初始条件 第23页，共24页，编辑于2022年，星期日自测题解答自测题解答一、一、1.二阶；二阶；2.二个；二个；3.特解；特解；二、略二、略三、解三、解 将将 代入初始条件，有代入初始条件，有 与与第24页，共24页，编辑于2022年，星期日