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1、第一节第一节第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程第一节第一节 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念一一两个实例两个实例二二常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念1 1第一节第一节第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程一一 两个实例两个实例引例引例1 一曲线通过点一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为设所求曲线方程为
2、 y=y(x),则有如下关系式则有如下关系式:(C为任意常数为任意常数)由由 得得 C=1,因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为由由 得得切线斜率为切线斜率为 2x,求该曲线的方程求该曲线的方程.2 2第一节第一节第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程引例引例2.列车在平直路上以列车在平直路上以的速度行驶的速度行驶,制动时制动时获得加速度获得加速度求制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米,已知已知由前一式两次积分
3、由前一式两次积分,可得可得利用后两式可得利用后两式可得因此所求运动规律为因此所求运动规律为说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住能停住,以及制动后行驶了多少路程以及制动后行驶了多少路程.即求即求 s=s(t).3 3第一节第一节第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程二二 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念含未知函数及其含未知函数及其导数导数或或微分微分的方程叫做的方程叫做微分方程微分方程.例例 实质实质:联系自变量联系自变
4、量,未知函数以及未知函数的某些未知函数以及未知函数的某些导数导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(n 阶阶显式显式微分方程微分方程)一般地一般地,n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是的的阶阶.或或4 4第一节第一节第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程且代入微分方程且代入微分方程使方程成为恒等式，使方程成为恒等式，即即则称函数则称函数为方程为方程的的解解。例如例如为方程为方程的
5、解。的解。为方程为方程的解。的解。5 5第一节第一节第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意且独立的任意通解通解:常数的个数与微分方程的阶数相同常数的个数与微分方程的阶数相同.特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.微分方程的微分方程的积分曲线积分曲线:解的图象解的图象积分曲线族积分曲线族:通解的图象通解的图象.确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的阶方程的初始条件
6、初始条件(或或初值条件初值条件):定解条件：定解条件：6 6第一节第一节第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.7 7第一节第一节第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程解解例例 验证验证:函数函数的解的解.并求满足初始条件并求满足初始条件是微分方程是微分方程的特解的特解.8 8第一节第一节第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程所求特解为所求特解为9 9