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1、第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1下面函数与y x为同一函数的是（）A.y x2B.y x2C.y elnxD.y lnex解：y lnex xlne x，且 定 义 域,，选 D2已知是f的反函数，则f2x的反函数是（）A.y 12xB.y 2xC.y 122xD.y 22x解:令y f2x,反解出x：x 12y,互换x，y位置得反函数y 12x，选 A3设fx在,有定义，则下列函数为奇函数的是（）A.y fx fxB.y xfx fxC.y x3fx2D.y fx fx解：y x3fx2的定义域,且yxx3fx2 x3fx2 yx选 C4下列函数在,内无界的是（）A.
2、y 11 x2B.y arctan xC.y sin xcosxD.y xsin x解:排除法：Axx11 x22 x2有界，Barctan x 2有界，Csin xcosx 2故选 D5数列xn有界是limxn存在的（）nA 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解：xn收 敛 时，数 列xn有 界（即x，反之不成立，（如1n1n M）有界，但不收敛，选 A6 当n 时，sin211n与nk为等价无穷小，则k=（）A12B 1C 2D-2sin211解：lim1nnlimn2n11，k 2选 Cnknk二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）7设fx11 x，则f fx的定义域为
3、解：f fx11 fx1111 xx 11 x2 xf fx定义域为(,2)(2,1)(1,)8设f(x2)x21,则f(x1)解：（1）令x2t,ftt24t 5fx x24x5（2）fx1(x1)24(x1)5x26x109函数y log4x log42的反函数是解：（1）y log，反解出x：x 42y14(2 x)（2）互换x,y位置，得反函数y 42x110limnnn1n2解：原式有理化lim3nnn 1 n 232kn11若lim5n1n e10,则k 解：左 式=enlim5n(kn)e5ke10故k 212lim3n25n5n3sin2n=解：当n时，sin2n2n原式=li
4、m3n25n5n32n=65三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）arcsin2x113求函数y 7的定义域x 1解：12x11x107x31x4或x1函数的定义域为3,1)1,414设fsinx 21cos x求fx解：fsinx2x22cos221sin2x2 f 21 2故fx 21 x215 设fx ln x，gx的 反 函 数g1x2x1x1，求fgx解:（1）求g(x):y 2xx12反解出x：xy y 2x2x y 2y 2互换x,y位置得g(x)xx22(2)f gx ln gx lnxx2216判别fx lnx 1 x2的奇偶性。解法（1）：fx的定义域,，关于原点对称f
5、x lnx 1 x2 ln11 x2 x lnx 1 x21 ln(x 1 x2)fx fx ln(x 1 x2)为奇函数解法（2）：fx fx ln(x 1 x2)lnx 1 x2 ln(x 1 x2)1 x2 x ln1 0 fx fx故fx为奇函数17已知fx为偶函数，gx为奇函数，且fx gx1x1，求fx及gx解：已知f(x)g(x)1x1f(x)g(x)1x1即有f(x)g(x)1x122得2 fx11x1x1故f(x)1x212得2gx11x1x1故g(x)xx21n设 n2a318limnna8，求a的值。解：3nlim n 2n3a 3na n a limn1n ana en
6、limna ea,ea8故a ln8 3ln 219求lim1nn121231nn1解：（1）拆项，1k 1k(k 1)k(k 1)k1k1k 1k 1,2,n1121231nn 11 11112 123nn 111n1n（2）原式=limn1 nlimnn111n1 e e20设fx axa 0,a 1,求lim1nn2lnf1 f2 fn解：原式=lim1nn2lna1a2anlim1nn2lna 2ln a nlna lnalim12nnn2 lnalim(n 1)nnn2212lnaa 0,a 1四、综合题（每小题 10 分，共 20 分）21设fx=x1 x2，求f3x=ff fx并
7、讨论f3x的奇偶性与有界性。解：（1）求f3xfxx1 x2 f2xfx1 f2xx12x2ff3x f f2x2x1 f22xx13x2（2）讨论f3x的奇偶性fx3x13x2 f3x f3x为奇函数（3）讨论f3x的有界性f3xx13x2x3 x13 f3x有界22从一块半径为 R 的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V 表示成中心角的函数。解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h，底半径为r，依题意：漏斗容积 V=1r23hh R2r2,2r Rr2R2R2242h R 42R2故V 423 42R2R324342（2）函数的定义域422 0,
8、2220 R3故V 242420 五、证明题（每小题 9 分，共 18 分）23 设fx为定义在,的任意函数，证明fx可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。1 2 f fx x2x1（2）消去f，求出fxxfx fxfxfx221:fx4 fx x2证：(1)fx22(2)令gxfx fx2 x gxfx fx2 gxgx为偶函数(3)令xfx fx2 x xfx fx2 xx为奇函数（4）综上所述：fx gx偶函数+x奇函数24设fx满足函数方程 2fx+f1x=1x，证明fx为奇函数。证：（1）2 fx f1 1xx1令1x t,2 f1t ft t函数与自变量的记号无关x3fxx222 x
9、2x,fx3x（3）fx的定义域,00,又fx2 x23x fx fx为奇函数选做题1 已知12 22 n2n(n 1)(2n 1)6，求 12lim22n2nn31n32n3n2解:1 22 n2n3n12n21222n2n31n3nn31且lim1222 n2nn3n limnn1(2n1)n6n3n131222 n2limnn31 limn(n1)(2n1)n6(n31)13由夹逼定理知，原式132若 对 于 任 意 的x,y，函 数 满 足：fx y fx fy，证明fy为奇函数。解(1)求f0：令x 0,y 0,f0 2f0 f0 0(2)令xy:f0fyfyfyfy fy为奇函数第
10、二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1 下列极限正确的（）Alimsin xxx1Blimxsinxsinx不存xx在Clim1xxsinx1Dlimxarctan x 21解：lim1x txxsinxlimsintt0t选 Csinx注：Alimsinx1xxx0;Blimx1011sinx10 x2 下列极限正确的是（）11Axxxlim0e 0Bxlim0e 0Clim(1cosx)secxx0 e1Dlim(1 x)xx e1解：limx1x0e ee 0选 A注：B:,C:2,D:1(洛必达法则)3若xlimxfx，0 xlim
11、xgx，则 下 列 正 确 的 是0（）Axlimx fx gx0 Blimxx fx gx0 Clim1xxfx gx 00Dlimxxkfx k 00解：k 0 xlimxkfx k limxxfx k00选 D4若limf2xx0 x 2，则limxx0f3x（）A3B13C2D122解：limx3x 2ttx0f3xlim3t0f2t212 113limt0f2t323t选 B1xsinx(x 0)5设fx0(x 0)且limxsin1a(x 0)x0fxx存在，则a=（）A-1B0C1D2解：limsin xx0 x1,xlim0 xsin1x a o aa 1选 C6当x 0时，f
12、x1 xa1是比x高阶无穷小，则（）Aa 1Ba 0Ca为任意实数Da 11a解：lim1xa12xa1x0 xlimx0 x0a1故选 A二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）x7limx x1 xx解：原式1limx11 xlimx1x1x1 e e8lim12x1x1x21解：原式 limx 1 2x1x 1x 1 lim11x1x 12x133x2979lim2x3x1100397解：原式limx2x 13x 1lim3x 2x3x 1328327x2ax610已知limx11 x存在，则a=解：limx11 x 0limx1x2 ax 6 01 a 6 0,a 7111xlim0
13、exsin1arcsin x x2x解：sin111x1x21,limx0e 0limx0exsinx20又limarcsin xx0 x limxx0 x1因为洛必达法则可得极限为 1 故 原式=1ln1 x212若xlimx20sinnx 0且limsinnxx01cosx 0,则正整数n=解：limx2ln1 x2x0 limx2x2sinnxx0 xnn 4n0,limxn 2x0 x20n 2,n 4,故2n 3三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）sin3x2x13求limxsin2x3xsin3x2解：原式=limxxsin2xx3limsin3xxx 01sin3x 1,l
14、imxx 0limsin2xxx 0sin2x 1,lim1xx 0原式0203 2314求lim1tan x 1sin xx0 x1cosx解：原式有理化limtan x sin xx0 x(1cosx)(1 tan x 1sin x)limtan x(1cosx)x0 x(1cosx)12 limtan xxx1212limx1x0 x215求lim21xxsinxcosx解：令1x t，当x 时，t 01原式 limtt0cost sin2t1 limtt01cost 1sin2telimcost1sin2tt0te216求limlncos2xx0lncos3x解：原式变形limln1c
15、os2x 1x0ln1cos3x 1等价limcos2x 1x0cos3x 112等价lim22xx01423x29注:原式lim2sin 2xcos3xx0cos2x3sin3x49exex2x17求limx0 xsin x0换底法0ex0limln(sin3x)13ln xx0sin3xlim3cosx3x e解：原式00lime e 2x01cos xxx e20 x03sin xlim3x ex03xlimx e求13000 xxxxlime e0 x0sin xlime ex0cosx 21exa,x018 设fx1cosx且x,x0limx0fx存在，求a的值。解：1xxlim0e
16、aa 0a a ex2lim1cosx2x0 x limx0 x1 lim2xx0 2x2a 2211913ln xxlim0sin3x解：原式limxx x2ln11x1x t解：原式limt01ln1ttt2通分limt ln1tt0t20101lim1tt02t lim1t 1t02tt 1 lim1t0t 112四、证明题（共 18 分）21当x 时且limxux 0,limxvx,证limvxx1ux exlimuxvx证：limv1uxxx lim1u1uxuxvxxx exlimuxvx证毕明22当x 0时，证明以下四个差函数的等价无穷小。）tan xsin x等价于x3（12x
17、 0（2）tan x x等价于x33x 03）xsin x等价于x3（6x 03（4）arcsin x x等价于x6x 0证：1limtan xsin xx0 x3200limtan x1cosxx0 x32xx2 lim2x0 x3123当x 0时，tan xsin xx22limtan x xsec2x x01 lim13x03xx222 limtan xx0 x2 limxx0 x212当x 0时，tan x xx33limx sin x1cosxx01 lim3x06x12x2122x limx0112x2当x 0时，xsin x136x4limarcsin x xx0136x11 l
18、im1 x2x01 lim1 1 x22x0122x2x1 x212 lim2xx0112x21当x 0时，arcsin x x等价于136x五、综合题（每小题 10 分，共 20 分）23求limx3x 9x212x1解：原式有理化lim9x29x2 2x 1x3x 9x2 2x 1 lim2x 1x3x 9x2 2x 121 limx21x392133 3xx2x2mx824 已知limx2x22nx2n15，求常数m,n的值。解：（1）原极限存在且limx2x22nx2n 0limx2x2mx8 0,4 2m8 02m 12,m 62（2）limx 6x 8x2x22 nx 2n00li
19、m2x 64x22x 2 n642 n212 n510 2nn 12答m 6,n 12选做题11 x1x求limxx 0e1解：原式1lim11 x exxx 01 e111xxxe exlim1x0 xe exlim0e11y 1 xx令 exln1x11y 1 xx1 xx ln1 xx211 xxx 1 xln1 xx21 x原式1xln1xln1x exlimx0 x21x exlim002x3x2 exlimx02x3x21 e2第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1若fx为是连续函数，且f01,f1 0，则lim fx
20、sin1 xx()A-1 B0C1 D 不存在解：原式f 连续1 fsinxsin1 x flimxlim xx1x f1 0，选 B2 要使fx ln1kxmx在点x 0处连续，应给f0补充定义的数值是()AkmBkmClnkmDekmm解：limx0fx lnlim(1x0kx)x lnelimx0kxmx lnekm km f0 km选 A3若limxaf(x)A，则下列正确的是（）Alimxafx ABlimxafxAClimxafx ADlimxaf(x)A解：limxafxu连续limxafxA选 B fx4设Fxx,x 0f0,x 0且fx在x 0处可导，f 0 0,f0 0,则
21、x 0是Fx的()A 可去间断点B 跳跃间断点C 无穷间断点D 连续点解：limfx f0 x0Fx limx0 x0 f 0,f0 f0F0 f0 limx0F0，故x 0是Fx的第一类可去间断点。选A15fxxsinx,x 0在x 0处()0,x 0A 极限不存在B极限存在但不连续C 连续但不可导D可导但不连续解：lim1x0fxlimx0 xsinx0，且f00 fx在x 0连续，又f 0 xsin10 limxx0 x0不存在，fx在x 0不可导选 C6设fxx21,x 1b,x 1在x 1可导，则axa,b为（）Aa 2,b 2Ba 0,b 2Ca 2,b 0Da 1,b 1解：（1
22、）fx在x 1连续，limx1x21 2,xlim1axb ab故ab 21（2）fx211 limx1x 1 2,f1 limax b21ax 1x1x 1limx1x 1 aa 2，代入1得b 0，选 C二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）7设f(x)为连续奇函数，则f0=解：（1）fx为奇函数，fxfx（2）limx0fx limx0 fx又fx在x 0连续 f0 f0故f0 08若fx为可导的偶函数，则f 0解：（1）fx为偶函数，fx fx(2)fx可导，f x f x故 f 0 f 02f 00即f 009设y 6xk是曲线y 3x26x13的一条切线，则k 解：（1）y6,
23、y6x6,6x66,x2（2）62k346213,12k121213,故k 110 若y f(x)满足：f(x)f0 xx，且limxx0 x 0则f 0=解：f 0 limfx f0 x0 x 0 limx xx0 x1 0 111 设f(x)在x 2连续，且f(2)=4，则lim f(x)1x24x2x24解：原式=f(2)limx 2 4x2x2 4 4lim1x2x 2 414112f(x)sin xx1x5 x的间断点个数为解：令x5x0,xx1x1x210 x 0,x 1,x 1为间断点，故fx有三个间断点三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）13已知sin2xe2ax1f(x
24、),x 0 xa,x 0在,上连续，求a的值解：fx在x 0连续sin2x e2axlim fx lim1x0 x0 xsin2xe2ax limx0 x lim1x0 x 2 2a且f0 a,22a a故a 21ex,x 014 讨 论f(x)0,0 x 1在ln xx1,x 1x 0,x 1连续性1解：（1）在x 0处，xxlim0e 0,xlim00 0且f0 0 fx在x 0处连续（2）在x 1处，xlim10 0,limln x x 1 tln1tx1x 1 limx0t1 fx在x 1不连续15 设f(x)有 连 续 的 导 函 数，且f00,f0b若fxasinxFx,x0 x在
25、x 0连续，A,x0求常数 A。解：limfx f0asinxx0Fxlimx0 x limfx f0asin xx0 x 0 limx0 x f 0 a且F0 A，ab A答A abex116 设f(x),x 0 x在x 0可kxb,x 0导，求k,b的值。解：（1）fx在x 0连续，limex1x0 x1xlim(0kxb)b故有b 1（2）fx在x 0可导ex1f0 limx1x0 x 0 limex1 x00ex11x0 x2limx02x2fkx110 xlim0 x k,k 12，答k 12,b 1ln(1ax)17设f(x),x 0在x 0可x1,x 0导，求a与f 0解：（1）
26、fx在x 0连续，limln1axx0fx limx0 x limaxx0 x a且f0 1，故有a 1（2）fx在x 0可导ln(1 x)1f 0 limxx0 x0 limln1 x x011xlimx 1x02x02x lim1 x1x02xx1 12答：a 1,f 0 1218讨论f(x)xa x在x a是否可导，其中x在x a连续。解：（1）fx ax0axlimax ax axxlimax a xlim连续axa（2）fx ax0a limxax ax ax lim连续xlimax axaxa答：当a 0时，fx在x a连续，当a 0时，fx在x a不连续19 求f(x)1ln x
27、的间断点，并指出间断点类型解：（1）间断点：x 0,x 1,x 1（2）在x 0处：lim1x0ln x 0 x 0是fx的第一类间断点。（3）在x 1处：lim1x1ln x x 1为fx的第二类无穷间断点。20 设f(x)1ex1,x 0指出ln1 x,1 x 0f(x)的间断点，并判断间断点的类型。解：（1）x 1为间断点，x 0可能是间断点。（2）在x 1处：11xlimx11e e 0,limx1x1e x 1是fx的第二类无穷间断点（3）在x 0处：1xlim0ex1 e1,limx0ln1 x 0 x 0是fx的第一类跳跃间断点四、综合题（每小题 10 分，共 20 分）1121
28、 求f(x)x1x11的间断点，并判别x1x间断点的类型。解：（1）间断点：x 0，x 1,x 1（2）在x 0处：fx1xx1xx(x1)11x1lim fx limx1x0 x0 x1 1x 0是fx的第一类可去间断点（3）在x 1处：limx1x1fx limx1x1 0 x 1是fx的第一类可去间断点（4）在x 1处：limx1x1x1 x 1是fx的第二类无穷间断点x222已知f(x)x,x0ax3bx2cxd,0 x1，x2x,x1在,可导，求a,b,c,d之值解：（1）fx在x 0连续，xlim0ax3bx2cxd dlimx2x0 x 0,f0 0故d 01（2）fx在x 0可
29、导fx2 x0 limx0 x1,f0 limax3bx2 cxx0 x c故有c 12（3）fx在x 1连续，lim3x1ax bx2 x f1即ab1 f1 0ab1 03（4）fx在x 0可导：f1 limx2 xx1x111 limax3fbx2 xx1x100 xlim13ax2 2bx 1 3a 2b1故有3a2b 04由（3）（4）解得a 2,b 3答：a 2,b 3,c 1,d 0五、证明题（每小题 9 分，共 18 分）23 证明x42x4 0在区间2,2内至少有两个实根。证：（1）f(x)在2,0连续，且f0 40,f2160由零点定理知，f(x)=0 在2,0上至少有一个
30、实根。（2）f(x)在0,2连续,且f0 4 0,f2164 8 0由零点定理知，f(x)=0 在0,2上至少有一个实根（3）综上所述，f(x)=0 在2,2上至少有两个实根24 设fxxusin1,x 0，证明（1）x0,x 0当u 0时fx在x 0连续，当u 1时，fx在x 0可导解：（1）limxu1 u 0时x0sinx0sin1x1,limuu 0 x0 x0当u 0时，fx在x 0连续xusin1(2)limxx0 x1limx0 xu1sin1 u 1时x01u sinx1,limx0 xu110当u 1时，fx在x 0可导总之，当u 0时，fx在x 0连续当u 1时，fx在x
31、0可导选做题设对于任意的x，函数满足f1 xafx且f 0b,证明f 1 ab证：（1）令x 0，f10 af0，即f1 af0(2)f 1 limf1 x f1x0 x limafx af0 x0 x af 0 ab证毕第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题答案一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1设fx2 x4 x21,则f 1()A 1B 3C-1D-3解：（1）fx2x22 x21 fx x2 x1(2)fx2x1,f1211选 C2设fx xx212x222x2n2,则f 0（）A(n!)2B1n(n!)2Cn!D1nn!解：令gxx212x222x2n2fx xg(x)
32、f x gx xgxf 0 g00 1222n21nn!2选 B注：本题用导数定义计算更方便！3 设fx ln1 x，则f5x=()A 4!4!1 x5B 1 x5C5!D5!1 x51 x5解：f x1 x1,f x 11 x2,f x121 x3f4x1231 x4,f(5)x12341 x5 4!(1 x)5选 A4设y fx由方程e2xycosxye1所确定，则曲线y fx在点（0，1）的切线斜率f(0)=()A 2B-2C 12D-12解：e2xy2 ysinxyy xy 0e2 y00 0,y0 f02选 B5设fx为可导偶函数，且gxfcos x，则g2（）A 0B 1C-1D
33、2解：（1）gx f cosxcosx f cosxsinx（2）fx fx,f x1 f x f 0 f 0得f 00（3）g2 f0 0选 A6 设fx在x 1有连续导数，且f 1 2,则dxlim0dxfcosx()A 1B-1C 2D-2解：ddxfcosx f cosxsinx12 x(2)原式sinxxlim02 xf cosx12f 1 1选 B二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）7若x etsint ecost，yt则d2ydx2解：（1）dyetcost etsintdxetsint etcost e2t(1)(2)d2ydydydx2e3tdx2dxdtdtsint
34、cost8设fx 1ln2x，则f e=2ln x11解：(1)f xxln x2 1ln2xx1ln2x（2）f e1 12 e22e9直线l与x轴平行，且与曲线y xex相切，则切点坐标是解：y曲 1ex,ye 0ex1 0故有切点坐标0,110y fx由方程x3 y3sinx6y0确定，则dy x0解：当x 0时，y36y 0得y 03x23y2 ycos x 6y 0y016，dy y0dx 1x06dx1ex11设y ln1ex，则dy 解：y 12ln1ex12ln1ex1y 1 exexx21ex2e1exe2x112设fxann10 x a1xan1xa0，则fn0=解：f x
35、 na0 xn1(n1)an21xan1fnx nn1a0 xnn n!a0,fn0 n!a0三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）13 设y ln1 x 11 x 1，求dy。解：(1)y ln(1 x 1)ln1 x 1(2)y 111 x 1 2 1 x111 x 1 2 1 x1x 1 x（3）dy 1x 1 xdx14 设y xarcsinx224 x，求y及y。1解：(1)y arcsinx x22 x2122xx2 4 x2 arcsin2x4 x2x4 x2 arcsinx2(2)y x arcsin2 x 2211x 4 x2215方程sinxylnx1y1确定y yx，
36、求dydxx0解：(1)cosxy(y xy)1x1 y1y=0（2）当x 0时，0ln y 1 y e（3）cos0e(e0)11ey(0)0e11ey(0)，y(0)e(e1)16设y xsin xcosx，求y解：（1）ln y ln xcosxlnsin x(2)1yy 1xsin xlnsin xcosxcosxsin xy xsin xcosx1cos2xxsin xsin xlnsin x设x ln 1t217，确定y yx，y t arctant求d2ydx2。解：（1）dydy112dxdtdx1t1 2t tdt21t2(2)d2ydydydx2dxdtdxtt1t2tdt
37、1t218 设y 1 xnx，求y 1解：（1）变形，y 1 x221 x 11 x（2）y 211 x2y 2121 x3y 2121 x4yn 21nn!1 xn119 设y yx由方程Fx2 y2 Fx y y 0所确定，其中 F 可导，且F212,F(4)1,y0 2，求dydxx0解：（1）Fx2 y22x 2yyFx y1 y y 0（2）当x 0时，y 2（3）F44y(0)F(2)1 y(0)y(0)04y(0)121 y(0)y(0)0y(0)1720已知f x1 x1dyx,y fx1，求dx解：（1）y f x 1x 1x 1x 1x 122x f x 112x 1(2)
38、f x1x f x1xx11x1dydx2x12x12x1x21四、证明题（本题 8 分）21 证明抛物线x y a任一点处的切线所截两坐标轴的截距之和等于a。证：（1）求切线方程：设切点坐标为x0,y01y2 x12 yy 0，y xyxy00 x0故有切线方程：y yy0 0 xx x00（2）求截距：令y 0，yy00 xx x00解得x x0 x0y0,令x 0，y y0 x0y0解得y y0 x0y0（3）证明两截距之和为a（即x y a）x y x0 y0+2 x0y02x0y02 2 x0y0 x y2200a a证毕五、综合题（每小题 10 分，共 30 分）22若曲线y x2
39、ax b与2y 1 xy3在点1,1相切，求常数a,b。解：（1）求两曲线的斜率在y x2 ax b上，y2xa,y12a在y 1 xy3上，2y y33xy2y,y112）求a,b之值：依题意，两曲线在点1,1相切，2a 1,a 1,又点1,1在曲线y x2 xb上1121b,b 123 设y fx单调，且二阶可导，求dxdy及d2xdy2f x 0解：（1）dxdy11dyf xdx（2）d2xdxdy2=dyd1dyf x=d1dx01dx f xdy f xf x2f x f xf x324设y arctan1 x1 x，求y解：（1）dx11 x dy11 x 21 x1 x(1 x
40、)2(1 x)1 x(1 x)21 x2(1 x)222(1 x)21(1 x)2(2)y 1211 x1 x222x 2x1 x22选做题1 设f可 导，y sin f sinx且ddln fxln fxdxdx f xfxf xfxf(0)0，求y(0)解：（1）y cos f sin fxf sin fxcos fx f x(2)f0 0cos f01,sin f0 0（3）y0cosf0 f0cosf0 f0f xd（3）综上所述：ln fxdxfx cos f0f 0 f 02设fx有任意阶导数，且(n)fxfx，求fx2222解：f x f2x3f x 2fxf x 2fxf x
41、23f2xf x 23f4x,fnx n!fn1x3设fx可导且fx 0，证明f xdln fxdxfx解：（1）当f(x)0时dd1ln fxln fxf xdxdxfx（2）当fx 0时：第四章：函数应用第四章：函数应用1 1：函数与方程：函数与方程教学分析教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。教学目标：教学目标：1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。2、通
42、过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。重点难点：重点难点：根据二次函数图像与 x 轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念。复习引入：复习引入：同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程：ax+b=0(a0)这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是 x=.ax2+bx+c=0(a0)这是一个一元二次方程，在对一元二次方程求解时我们会先用判别式=b24ac 来判断方程是否有实解。当0 时，
43、一元二次方程有两个不相等的实数根，x1x2;当=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根，x1=x2;当0 时，一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公b b2 4ac式求出一元二次方程的根：x=。x5+4x3+3x2+2x+1=02aba我们知道这是一个一元五次方程，对于这样一个高次方程大家会不会求解？能不能知道这个方程是否有解？下面我们就来学习怎样判断一个给定方程的解是否存在的问题？（写标题）一、一、例 1：给出三个方程：x2-2x-3=0；x2-2x+1=0；x2-2x+3=0分析：这三个都是简单的一元二次方程，我们可以通过判别式来判断方程是否有解，若有解，也能很容易的
44、求出。解：0 x1=3，x2=-1；对应函数：f(x)=x2-2x-3=0 x1=x2=1；对应函数：f(x)=x2-2x+10无实解；对应函数：f(x)=x2-2x+3图像：提问：观察求出的三个方程的根与对应函数的图像有什么关系？总结：一元二次方程的根就是对应函数图像与x 轴交点的横坐标。一元二次方程根的个数与对应函数图像与 x 轴交点的个数相等。对于函数图像与 x 轴的交点，我们来学习一个新的数学名词函数零点。二、二、函数零点函数零点1 概念：我们把函数 y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。说明：零点是所在函数图像与 x 轴交点的横坐标。零点是一个实数，并不是一个点。函
45、数的零点就是相应方程的根。函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。学习过零点概念及以上 4 点说明，我们已经学会判断零点：要求函数的零点就要看函数图像与 x 轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。2 判断零点的方法：方程 f(x)=0 有实根函数 y=f(x)的图像与x 轴有交点函数 y=f(x)有零点。可得出：方程 f(x)=0 的实根与函数 y=f(x)的零点是一一对应的。那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢？观察例 1 中第一个方程的对应图像：f(x)=x2-2x-3从图像上看，我们知道函数 f(x)=x2-2x
46、-3 有两个零点：-1,3.而能找到区间-2,0使零点-1 在-2,0内，区间2,4使零点 3 在2,4内。且有 f(-2)=50,f(0)=-30,f(-2)f(0)0;f(2)=-30,f(4)=50,f(2)f(4)f(-2)f(0)0，函数 f(x)=x2-2x-3 在区间（-2,0）内有零点-1 是方程 x2-2x-3=0 的一个根；同样地，f(2)f(4)0，函数 f(x)=x2-2x-3 在区间（2,4）内有零点 3 是方程 x2-2x-3=0 的另一个根。因此可以得到以下结论：3.零点存在性定理：若函数 y=f(x)在闭区间a,b的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反
47、，即 f(a)f(b)0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0 在区间（a,b）内至少有一个实数解。零点存在性定理是用来判断一个方程是否存在解的，因此，现在我们可以来判断上课开始的那个一元五次方程是否存在解了？x5+4x3+3x2+2x+1=0解：考虑 f(x)=x5+4x3+3x2+2x+1试探：当 x=0 时，f(0)=10；当 x=1 时，f(1)=1+4+3+2+1=110；当 x=-1 时，f(-1)=-1-4+3-2+1=-30f(0)f(-1)0则函数 f(x)=x5+4x3+3x2+2x+1 在区间（-1,0）内至少有一个零点，即方程在
48、（-1,0）内至少有一个实数解。三、三、举例：举例：例 2：已知函数f(x)=3x-x2，问：方程f(x)=0 在区间-1,0内有没有实数解？分析：问方程在区间内有没有实数解，意味着什么?即要判断相应函数在这个区间-1,0内有没有零点，由零点存在性定理，我们只需验证 f(0)f(-1)是否小于 0。解：f(-1)=31-（-1）2=-1=-0,f(0)=30-（0）2=10，f(0)f(-1)0而函数 f(x)=3x-x2的图像是连续曲线，f(x)在区间-1,0内有零点，即方程 f(x)=0 在区间-1,0内有实数解。例 3：判定方程（x-2）（x-5）=1 有两个相异的实数解，且一个大于13
49、235，一个小于 2。分析：转化判断函数f(x)=（x-2）（x-5）-1 在区间（-，2）和(5,+)内各有一个零点。解：考虑函数 f(x)=（x-2）（x-5）-1，有 f(2)=（2-2）（2-5）-1=-10，f(5)=（5-2）（5-5）-1=-10，又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，在（-，2）内存在一点a，使f(a)0；在(5,+)内存在一点 b，使f(b)0，所以抛物线与横轴在（a，2）内有一个交点，在(5,b)内也有一个交点，而该交点即是方程的解。所以方程（x-2）（x-5）=1 有两个相异的实数解，且一个大于 5，一个小于 2。四、四、零点存在性定理说：“若 f(a)f(b)0，则在区间（a,b）内，函数 y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0 在区间（a,b）内至少有一个实数解”，它只指出了方程 f(x)=0 实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。那改为 f(a)f(b)0 时，问题：如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内是否有零点?可能有几个零点？解：零点个数可以是任意自然数。可讨论在区间-3,3上函数零点个数，来画图进行观察。