矢量分析黑白底精.ppt

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1、矢量分析黑白底第1页，本讲稿共58页本章内容21.1 矢量代数矢量代数1.2 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度1.3 矢量场的通量与散度，散度定理矢量场的通量与散度，散度定理1.4 矢量场的环流和旋度，斯托克斯定理矢量场的环流和旋度，斯托克斯定理1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.6 常用正交曲线坐标系常用正交曲线坐标系第2页，本讲稿共58页1.1 矢量代数1.1.标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示矢量的代数表示：矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用

2、黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示，本书中在符号上加短横线母或带箭头的字母表示，本书中在符号上加短横线 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的几何表示矢量的几何表示则直角坐标系中则直角坐标系中x,y,zx,y,z方向的单位矢量分别为：方向的单位矢量分别为：或或第3页，本讲稿共58页4矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示 或或第4页，本讲稿共58页5（1）矢量的加减法）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线的平行四边形的

3、对角线,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法矢量的减法矢量的减法 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律交换律交换律第5页，本讲稿共58页6（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律矢量矢量 与与 的夹角的夹角它就是一个矢量模它就是一个矢量模(A)与另一个矢量模在与另一个矢量模在该矢量上的投影该矢量上的投影(Bcos)的乘积。的乘积。第6页，本讲稿共58页7（4）矢量的矢量积（叉积）矢量的

4、矢量积（叉积）sinAB矢量矢量 与与 的叉积的叉积用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为若若 ，则，则若若 ，则，则第7页，本讲稿共58页8（5 5）矢量的三重积）矢量的三重积 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积第8页，本讲稿共58页9例：设例：设 的模为的模为1 1，求，求a,b.a,b.解解:故有两组解故有两组解,第9页，本讲稿共58页1.2 曲面坐标系10 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交

5、曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐标系、坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系圆柱坐标系和球面坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正正交曲线坐标系交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称为；描述坐标轴的量称为坐标变坐标变量量。第10页，本讲稿共58页1、直角坐标系、直角坐标系 11位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量 点点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）（平面）o x y z0 xx=（平面）（平面）0

6、zz=（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx第11页，本讲稿共58页2、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系12坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量第12页，本讲稿共58页133、球面坐标系、球面坐标系球面坐标系球面坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量第13页，本讲稿共58页4、坐标单位矢量之间的关系、坐标单位矢量之间的关系 14直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标

7、圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系orz单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 ofxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 f第14页，本讲稿共58页1.3 标量场的梯度15如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与

8、时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：第15页，本讲稿共58页161.1.标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线(面面)等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空标量

9、场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。等值面的特点等值面的特点：意义意义:形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。第16页，本讲稿共58页172.方向导数方向导数方向导数：方向导数：对于一个标量场除了了解标量场对于一个标量场除了了解标量场u的总体分布情况，还要的总体分布情况

10、，还要讨论其等值面随空间的变化。讨论其等值面随空间的变化。等值面沿某一给定方向等值面沿某一给定方向l0的变化率，称为该标量场沿的变化率，称为该标量场沿l0方向的方方向的方向导数。向导数。例：例：温度场温度场10 C20 C30 C0 CL1 100米米80米米L2 200米米L3第17页，本讲稿共58页18甲甲：（每米的温度变化为）（每米的温度变化为）（0 C-30 C）/100m=-3/10 C/m 乙乙：（每米的温度变化为）（每米的温度变化为）（0 C-30 C）/200m=-3/20 C/m丁丁：（每米的温度变化为）（每米的温度变化为）（0 C-30 C）/80m=-3/8 C/m同一个

11、温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不同：同一个温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不同：L1的方向导数为的方向导数为-3/10 L2的方向导数为的方向导数为-3/20 L3的方向导数为的方向导数为-3/8第18页，本讲稿共58页19M0为标量场为标量场u(M)中的一点，那么中的一点，那么为标量场为标量场u(M)在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数，方向的方向导数，记作记作 ，即，即M0MNnl一般情况：一般情况：第19页，本讲稿共58页20方向导数计算公式方向导数计算公式意义意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。u(M)沿沿 方向增加；方向增加；u

12、(M)沿沿 方向减小；方向减小；u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。特点特点：方向性导数既与点：方向性导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？的方向余弦。的方向余弦。式中式中：第20页，本讲稿共58页213、标量场的梯度、标量场的梯度（或或 ）大小大小：该点的最大方向性导数。即沿过该点等值面的法线方向的方向性导该点的最大方向性导数。即沿过该点等值面的法线方向的方向性导数。数。方向方向：过：过M M0 0点等值面的法线方向。规定沿等值面增加的方向为正法点等值面的法线方向。规定沿

13、等值面增加的方向为正法线。线。上例中：梯度：上例中：梯度：3/8（-L3）第21页，本讲稿共58页224、梯度与方向性导数的关系、梯度与方向性导数的关系enelM0MNuu+u标量场沿l方向的方向导数等于梯度沿该方向的投影，即梯度与该方向的单位矢量的点乘。第22页，本讲稿共58页235、梯度的计算（直角坐标系中）、梯度的计算（直角坐标系中）直角坐标系中，由方向性导数与梯度的关系可得标量场直角坐标系中，由方向性导数与梯度的关系可得标量场u u沿三个坐标轴沿三个坐标轴的方向性导数：的方向性导数：XYZ其中：其中：是哈密顿算子，又称为矢性微分算符，具有矢量和微分的双重性质。第23页，本讲稿共58页2

14、46、梯度的性质：、梯度的性质：梯度的线积分与路径无关（梯度的线积分与路径无关（）该积分与路径无关的条件是被积函数可以表示为某一函数该积分与路径无关的条件是被积函数可以表示为某一函数的全微分。的全微分。梯度的表达式梯度的表达式：直角面坐标系直角面坐标系 第24页，本讲稿共58页25 例例1.2.1 设一标量函数设一标量函数 (x,y,z)=x2y2z 描述了空间标量场。试求：描述了空间标量场。试求：(1)该函数该函数 在点在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；(2)求求该该函函数数 沿沿单单位位矢矢量量 el=ex cos60 ey

15、 cos45 ez cos60 方方向向的的方方向向导导数数，并并以以点点P(1,1,1)处处的的方方向向导导数数值值与与该该点点的的梯梯度度值值作作以以比比较较，得得出出相应结论。相应结论。解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为第25页，本讲稿共58页26表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 (2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为方向的方向导数为对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为第26页，本讲稿共58页27而该点的梯度值为而该点的梯度值为 显

16、显然然，梯梯度度 描描述述了了P P点点处处标标量量函函数数 的的最最大大变变化化率率，即即最最大大的方向导数，故的方向导数，故 恒成立。恒成立。第27页，本讲稿共58页1.4 矢量场的通量与散度28 1、矢量场、矢量场 概念：概念：设空间某一区域存在一矢量函数，它的大小及方向随空间位设空间某一区域存在一矢量函数，它的大小及方向随空间位置变化（可能还是时间函数）。则称为该区域存在一矢量场：置变化（可能还是时间函数）。则称为该区域存在一矢量场：例：速度场，电场，磁场例：速度场，电场，磁场 2、矢量线、矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。

17、概念：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。该点附近曲线的疏密和该代表了该点矢量场的方向。该点附近曲线的疏密和该点矢量的大小成正比。点矢量的大小成正比。矢量线矢量线oM 第28页，本讲稿共58页293、矢量场的通量、矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。引入通量的概念。在讨论矢量场通量之前，介绍有向面积元在讨论矢量场通量之前，介绍有向面积元规定该面积元的正法线方向为规定该面积元的正法线方向为有向面积元：有向面积元：对于封闭曲面，约定其外法线为正法线方向对于封闭曲面，约定

18、其外法线为正法线方向Sn面积元矢量面积元矢量通量的概念通量的概念:与面积元与面积元 的标量积定义为的标量积定义为矢量矢量 穿过面积元矢量穿过面积元矢量 的通量。的通量。第29页，本讲稿共58页30问题问题：矢量场穿过一有限大面积的通量：矢量场穿过一有限大面积的通量：其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；穿过面积元穿过面积元 的通量；的通量；如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：场对闭合曲面的通量是：第30页，本讲稿共58页31通过闭合曲面有净通过闭合曲

19、面有净的矢量线穿出的矢量线穿出有净的矢量有净的矢量线进入线进入进入与穿出闭合曲面的进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义第31页，本讲稿共58页324、矢量场的散度、矢量场的散度 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量

20、）的关系。元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。设想有一包围设想有一包围P点的闭合曲面，逐渐缩小到点的闭合曲面，逐渐缩小到P点附件，则闭合曲面所包围点附件，则闭合曲面所包围的体积的体积 V逐渐减小，且矢量场逐渐减小，且矢量场 穿过闭合曲面的通穿过闭合曲面的通 量也逐渐减少。但是在一般情况下，两者之一有一极值。该极值与闭合曲量也逐渐减少。但是在一般情况下，两者之一有一极值。该极值与闭合曲面的形状无关。面的形状无关。定义：定义：矢量场矢量场 的散度等于该极值的散度等于该极值散度：散度：第32页，本讲稿共58页33意义：意义：矢量场穿过包围单位体积的闭合曲面的通量，又称通量密矢量场穿过包

21、围单位体积的闭合曲面的通量，又称通量密度。度。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。积之比的极限。第33页，本讲稿共58页345、散度定理（高斯定理）、散度定理（高斯定理）体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S由散度定义：由散度定义：该式只对微小体该式只对微小体积积 V-0成立。成立。对于有限大体积对于有限大体积V，分为许多小体积，分为许多小体积 V1、V2 每一小体积有：每一小体积有：+）.左左 =右右第34页，本讲稿共58页35左：左：V V为整个有限体积。为整个有限体积。右：面积之和右：面积之和 (

22、1)V(1)V内两个相邻小体积的分界面内两个相邻小体积的分界面 (2)V(2)V的外表面的外表面得：得：高斯定理。高斯定理。从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。理论中有着广泛的应用。第35页，本讲稿共58页36直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 由此可知，穿出前、后

23、两侧面的净通量由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为值为oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算FzzxyP 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如图所示。为一直平行六面体，如图所示。则则直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：第36页，本讲稿共58页37根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六穿出该六面体的净通量为面体的净通量为第37页，本讲稿共58页38例：例：已知点电荷已知

24、点电荷q所产生的电场强度所产生的电场强度 ，求其在任，求其在任何一点何一点M处的散度处的散度 。解：解：可见，除点电荷可见，除点电荷q所在位置所在位置(r=0)外，电场的散度处处为外，电场的散度处处为0。第38页，本讲稿共58页1.5 矢量场的环流和旋度391.矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场例如：流速场 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合

25、路径的积分不为零。为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。第39页，本讲稿共58页40如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场无旋场，又称，又称为为保守场保守场。如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有有旋矢量场旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是磁场的旋。电流是磁场的旋涡源。涡源。环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线的

26、线积分，即积分，即第40页，本讲稿共58页41 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法线，曲面的法线方向方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0时，极限时，极限称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向n的的环流面密度环流面密度。矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。量场的旋度。特点特点：其值与点：其值与点M 处的方向处

27、的方向n有关。有关。2、矢量场的旋度、矢量场的旋度（）（1）环流面密度）环流面密度第41页，本讲稿共58页42而而 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。oyz yCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 直角坐标系中直角坐标系中 、的表达式的表达式第42页，本讲稿共58页43于是于是 同理可得同理可得故得故得概念概念：矢量场在矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面点的环流面 密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向，即线方向，即物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。

28、性质性质：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度第43页，本讲稿共58页旋度的计算公式旋度的计算公式:直角坐标系直角坐标系第44页，本讲稿共58页45旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零第45页，本讲稿共58页463、Stokes定理定理 Stokes定理是闭合曲线积分与定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。也在电磁理论中有广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意

29、闭合曲线的环流等于矢量从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即第46页，本讲稿共58页474、散度和旋度的区别、散度和旋度的区别 第47页，本讲稿共58页481、矢量场的源、矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度；旋

30、度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场第48页，本讲稿共58页492、矢量场按源的分类、矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场性质性质：，线积分与路径无关，是保守场。线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋

31、场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场第49页，本讲稿共58页50（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场第50页，本讲稿共58页51（3 3）无旋、无散场）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）（4 4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分第51页，本讲稿共5

32、8页1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1、拉普拉斯运算、拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念概念：拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐标系直角坐标系计算公式计算公式：第52页，本讲稿共58页53 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算概念概念：即即注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：第53页，本讲稿共58页542.格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场那么，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式。满足下列等式。根据方向导数与梯度的关系

33、，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面，为标量场为标量场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 en 方向上的偏导数。方向上的偏导数。以上两式称为以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。SV,第54页，本讲稿共58页55基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。格格林林定定理理说说明明了了区区域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系。因因此此，利利用用格格林林定定理理可可以以将将区区域域中中场场的的求求解解问问题题转转变变为为边边界

34、界上上场场的的求求解解问题。问题。此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。第55页，本讲稿共58页561.8 1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理:条件：条件：矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中限区域中 结论结论:矢量场由其散度和旋度唯一确定。表示为一个标量函数的梯度和一个

35、矢量函数的旋度之和：证证 假设在无限空间中有二矢量函数 和 ，它们具有相同的散度和旋度令两边取散度和旋度，得所以 所以 所以可令 则第56页，本讲稿共58页57这是拉普拉斯方程，已知满足拉普拉斯方程的函数不会出现极值，而是在无限空间上取值的函数，因此 只能是一个常数:说明已知散度和旋度的矢量是唯一的。所以 于是一个既有散度又有旋度的一般矢量场可以表示为一个无旋场 (有散度)和一个无散场 (有旋度)之和：因此，一个矢量场可表示为一个标量场的梯度和一个矢量场的旋度之和，即 结论：研究一个矢量场必须从它的结论：研究一个矢量场必须从它的旋度和它的散度着手，旋度和它的散度着手，矢量场的旋度和散度满足的方矢量场的旋度和散度满足的方程决定了矢量场的基本特性。程决定了矢量场的基本特性。第57页，本讲稿共58页例 静电场：恒定电流磁场：可见，上述两种场的基本特性都由其旋度方程和散度方程决上述两种场的基本特性都由其旋度方程和散度方程决定定。(位场)即(高斯定理)即第58页，本讲稿共58页