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1、矢量分析小结第1页，本讲稿共11页 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。标量场和矢量场(1)标量场-等值线(面)形象描绘场分布的工具场线(2)矢量场-矢量线其方程为:第2页，本讲稿共11页标量场的梯度 设一个标量函数(x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点P 沿任意方向l的方向导数为哈密顿算子梯度标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即最大方向导数。梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的意义第3页，本讲稿共11页矢量场的通量与散度通量:矢量E 沿有向曲面 S 的面积分 如果包围点 P 的闭合面 S
2、所围区域 V 以任意方式缩小到点 P 时：散度第4页，本讲稿共11页散度的意义 在矢量场中，若 A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。(无源）(正源)(负源)图0.3.3 通量的物理意义 下 页上 页返 回第5页，本讲稿共11页环量 矢量 A 沿空间有向闭合曲线 L 的线积分 环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。环量密度 过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限环量密度是单位面积上的环量。
3、第6页，本讲稿共11页水流沿平行于水管轴线方向流动，=0，无涡旋运动。例：流速场图0.4.2 流速场流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。下 页上 页返 回第7页，本讲稿共11页旋度 旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向旋度(curl)S 的法线方向它与环量密度的关系为在直角坐标下:下 页上 页返 回第8页，本讲稿共11页旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处 A=0，称之为无旋场。下 页上 页返 回第9页，本讲稿共11页斯托克斯定理矢量函数的线积分与面积分的相互转化。斯托克斯定理 电磁场理论中高斯定理 和 斯托克斯定理散度定理高斯公式矢量函数的面积分与体积分的相互转换。第10页，本讲稿共11页亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件（矢量 A 惟一地确定）电荷密度电流密度 J 场域边界条件在电磁场中下 页上 页返 回第11页，本讲稿共11页