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1、第01章 矢量分析第1页，本讲稿共18页梯度梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的标量场在某点梯度的大小等于该点的最大最大方向导数，梯度的方方向导数，梯度的方 向为该点具有向为该点具有最大最大方向导数的方向。可见，方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为的梯度可表示为式中式中grad 是英文字母是英文字母 gradient 的缩写。的缩写。若引入算符若引入算符，它在直角坐标系中可表示为，它在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为则梯度可表示为第2页，本讲稿共18页通量：通量：矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的面
2、积分称为矢量的面积分称为矢量 A 通过该有向曲通过该有向曲 面面 S 的通量，以标量的通量，以标量 表示，即表示，即 2.矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 通量可为正、或为负、或为通量可为正、或为负、或为零零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的闭合面中存在产生该矢量场的源源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的合面中存在汇聚该矢量场的洞洞（或（或汇汇）。闭合的有向曲面的方向通常规）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的定为闭合面的外外法线方向。因此，当闭合面中有法线方向。因此，当闭
3、合面中有源源时，矢量通过该闭合时，矢量通过该闭合面的通量一定为面的通量一定为正正；反之，当闭合面中有；反之，当闭合面中有洞洞时，矢量通过该闭合面的通时，矢量通过该闭合面的通量一定为量一定为负负。所以，前述的。所以，前述的源源称为称为正源正源，而，而洞洞称为称为负源负源。第3页，本讲稿共18页 由由物物理理得得知知，真真空空中中的的电电场场强强度度 E 通通过过任任一一闭闭合合曲曲面面的的通通量量等等于于该该闭闭合合面面包包围围的的自自由由电电荷荷的的电电量量 q 与与真真空空介介电电常常数数 0 之之比比，即，即，可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电可见，当闭合面中存在正
4、电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的的分布分布特性。为此需要研究矢量场的特性。为此需要研究矢量场的散度散度。第4页，本讲稿共18页散度：散度：当闭合面当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面通过该闭合面S 的的 通
5、量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该在该 点的散度，以点的散度，以 div A 表示，即表示，即式中式中div 是英文字母是英文字母 divergence 的缩写，的缩写，V 为闭合面为闭合面 S 包围的体包围的体积。上式表明，积。上式表明，散度是一个标量散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。闭合面的通量。直角坐标系中散度可表示为直角坐标系中散度可表示为 第5页，本讲稿共18页因此散度可用算符因此散度可用算符 表示为表示为高斯定理高斯定理或者写为 从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体
6、积分的关系。从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域中的场和包围区域 V 的闭合面的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，中的场，根据高斯定理即可求出边界根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。第6页，本讲稿共18页环量：环量：矢量场矢量场 A 沿一条有向曲线沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场的线积分称为矢量场 A 沿该曲沿该曲 线的环量，以线的环量，以 表示，即表示，即3.矢量场的环量与旋度矢
7、量场的环量与旋度可见，若在闭合有向曲线可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场上，矢量场 A 的方向处处与线元的方向处处与线元 dl 的方的方向保持一致，则环量向保持一致，则环量 0；若处处相反，则；若处处相反，则 0。可见，环量。可见，环量可以用来描述矢量场的可以用来描述矢量场的旋涡旋涡特性。特性。第7页，本讲稿共18页 由物理学得知，真空中磁感应强度由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线沿任一闭合有向曲线 l 的的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率与真空磁导率 0 的乘的乘积。即积。即 式中电流式中电流 I 的正方向与的
8、正方向与 dl 的方向构成的方向构成 右旋右旋 关系。由此可见，环量关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的线包围的总的源强度，它不能显示源的分布分布特性。为此，需要研究特性。为此，需要研究矢量场的矢量场的旋度旋度。第8页，本讲稿共18页旋度：旋度：旋度是一个矢量。若以符号旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量表示矢量 A 的旋度，则其的旋度，则其 方向是使矢量方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对具有最大环量强度的方向，其大小等于对 该矢量
9、方向的最大环量强度，即该矢量方向的最大环量强度，即式中式中 rot 是英文字母是英文字母 rotation 的缩写，的缩写，en 为为最大环量强度的方向上最大环量强度的方向上的单位矢量，的单位矢量，S 为闭合曲线为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明，矢量场的包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。第9页，本讲稿共18页直角坐标系中旋度可用矩阵表示为直角坐标系中旋度可用矩阵表示为 或用算符 表示为 应该注意，无论梯度、散度或旋度都是应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算微分运算，它们表示场在，它
10、们表示场在某某点点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯梯度、散度及旋度描述的是场的度、散度及旋度描述的是场的点点特性或称为特性或称为微分微分特性特性。函数的连续性是。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。度、散度或旋度。第10页，本讲稿共18页斯托克斯定理斯托克斯定理 同高斯定理类似，从数学角度可以认为同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯斯托克斯定理建立了面积定理建立了面积分和线积分的关系。从
11、物理角度可以理解为分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯斯托克斯定理建立了区域定理建立了区域 S 中的场和包围区域中的场和包围区域 S 的闭合曲线的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果上的场之间的关系。因此，如果已知区域已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，反之上的场，反之亦然。亦然。或者写为第11页，本讲稿共18页 散度处处为散度处处为零零的矢量场称为的矢量场称为无散场无散场，旋度处处为，旋度处处为零零的的矢量场称为矢量场称为无旋场无旋场。4.4.无散场和无旋场无散场和无旋场两个重要公式：两个重要公式：左式表明，左式
12、表明，任一矢量场任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。任何旋度场一定是无散场。右式表明，右式表明，任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场者说，任何梯度场一定是无旋场。第12页，本讲稿共18页5.格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二
13、阶偏导数，中具有连续的二阶偏导数，如下图示。如下图示。SV,那那么么，可可以以证证明明该该两两个个标标量量场场 及及 满足下列等式满足下列等式根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成式中S 为包围V 的闭合曲面，为标量场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏导数。上两式称为上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。第13页，本讲稿共18页基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。设设任任意意两两个个矢矢量量场场 P 与与 Q，若若在在区区域域 V 中中具具有有连连续续的的二二阶阶偏偏导导数数
14、，那么，可以证明该矢量场那么，可以证明该矢量场 P 及及 Q 满足下列等式满足下列等式式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，面元的闭合曲面，面元 dS 的方向为的方向为S 的外法线方向，上式称的外法线方向，上式称为为矢量第一格林定理矢量第一格林定理。第14页，本讲稿共18页基于上式还可获得下式：基于上式还可获得下式：此式称为此式称为矢量第二格林定理矢量第二格林定理。无无论论何何种种格格林林定定理理，都都是是说说明明区区域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系。因因此此，利利用用格格林林定定理理可可以以将将区区域域中中场场的的求求解解问问题题转转变变为为边边界界
15、上上场场的求解问题。的求解问题。此外，格林定理说明了此外，格林定理说明了两种两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。场的分布特性。格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。第15页，本讲稿共18页6.矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理 位位于于某某一一区区域域中中的的矢矢量量场场，当当其其散散度度、旋旋度度以以及及边边界界上上场场量量的的切切向向分分量量或或法法向向分分量量给给定定后后，则则该该区区域域中中的的
16、矢矢量量场场被被惟一地确定。惟一地确定。已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其理表明，矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定的。共同决定的。第16页，本讲稿共18页 若矢量场若矢量场 F(r)在在无限无限区域中处处是区域中处处是单值单值的，的，且其且其导数连导数连续有界续有界，源分布在，源分布在有限有限区域区域 V 中，则当矢量场的中，则当矢量场的散度散度及及旋度旋度给定后，该矢量场给定后，该矢量场 F(r)可以表示为可以表示为 7.7.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 式中 可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场无旋场与与一个一个无散场无散场之和之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要首要问题问题。第17页，本讲稿共18页8.正交曲面坐标系正交曲面坐标系 已知矢量已知矢量 A 在在圆柱坐标系和球坐圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示标系中可分别表示为为式中式中 a,b,c 均为常数，均为常数，A 是常矢量吗？是常矢量吗？圆柱(r,z)yzxP0 0=0r=r0z=z 0Oxzy=0 0 0球(r,)r=r 0=0P0O直角(x,y,z)zxyz=z 0 x=x 0y=y 0P0O第18页，本讲稿共18页