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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 教学设计名称 正弦定理基本信息 执教者 课时 1 所属教材目录 必修 5 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理本节内容支配在 一般高中课程标准试验教科书数学必修 5（人教 A 版）第一章,正弦定理第一课时,是在高二同学学习了三角学问之后,对三角学问的深化应用；同时,作为三角形中的一个定理,也是对解直角三角形内容的直接延长；依据自己的实际教学,正弦定理这部分内容共分为三个步骤；第一步：老师通过引导同学对实际问题的探究,大胆提出猜想；其次步：教材分析 由猜想入手,带着疑问,联系特别三角形中边角的关系的验证,通过“ 作高法” 、“ 等积法”
2、、“ 外接圆法” 、“向量法” 等多种方法证明正弦定理,验证猜想的正确性,并得到三角形面积公式；第三步：利用正 弦定懂得决引例,并进行简洁的应用；同学通过对任意三角形中正弦定理的探究、发觉和证明,感受“ 观 察试验猜想证明应用” 这一思维方法,养成大胆猜 想、善于摸索及勇于求真的精神；对于高中二年级的同学来说,已经学过平面几何,解直角三角形,三角函数,向量等学问,具备了肯定的观看问题、分析问题、解决问 题的才能,但是把前后学问联系起来,加以懂得并合理应用仍有肯定学情分析难度,而且思维敏捷性受到制约；依据以上特点,自己（老师）恰当引导,提高同学的学习主动性,加以前后学问间的联系,带领同学直接参加
3、分析问题、解决问题并品 尝应用成果的欢乐；让同学从已有的几何学问动身 , 通过对任意三角形边 角关系的探究,共同探究在任意三角形中,边与其对角的教学目标学问与才能关系,引导同学通过观看、试验、猜想、验证和证明；目标由特别到一般归纳出正弦定理,把握正弦定理的内容及其证明方法,懂得三角形面积公式,并学会运用正弦定懂得决解斜三角形的两类基本问题；名师归纳总结 过程与方法通过对实际问题的探究,培育同学观看问题、提出问第 1 页,共 15 页题、分析问题以及解决问题的才能；增强同学协作才能和目标沟通才能； 进展同学的创新意识, 培育制造性思维的才能；- - - - - - -精选学习资料 - - - -
4、 - - - - - 通过同学间的自主探究及合作沟通,亲身体验数学规 律的发觉,培育同学勇于探究、善于观看、不畏艰辛的创 情感态度与 新理念,增强学习的胜利意识,激发对学习数学的爱好；价值观目标 培育同学探究数学规律的思想方法,通过平面几何、三角形函数、 正弦定理、 向量等学问间的联系 , 来表达事物 之间的普遍联系与辩证统一；教学重难点重点正弦定理的发觉与证明、正弦定理的简洁应用难点正弦定理的猜想提出过程教学策略 ：授课时采纳探究式课堂教学模式：即在教学过程中,在老师的启示引导下,以同学独立自主和师生合作沟通为前提,以问 题为导一直设计教学情境；以“ 正弦定理的发觉和证明” 为基本探究 内容
5、,为同学供应充分自由表达、提出质疑、进行探究、加强争论问 题的机会,让同学通过个人或集体来尝试多种解难释疑的活动；在知教学策略与 设计说明识的形成、进展过程中绽开思维,逐步培育同学发觉问题、探究问题、解决问题的才能 设计说明：第一同学在不知正弦定理的内容和证明方法的前提下,在老师预设的思路中,积极主动参加一个个相关联的探究活动过程,通过“ 观看试验归纳猜想证明” 的数学思想方法,发觉并证明定理； 让同学经受了学问形成的过程,感受到创新的欢乐,激发同学学习数学的爱好；其次,以问题为导向设计教学情境,促使 同学去摸索问题发觉问题,让同学在“ 活动” 中学习,在“ 主动” 中 进展,在“ 合作” 中
6、增知,在“ 探究” 中创新；教学过程教学环节（注老师活动同学活动设计明每个环节预意图设的时间）一、 结合实例,激发动机 : 1 同学： 摸索提出测量一、设计意图 ：兴角 A,C 趣 是 最好 的 老师；假如一 节 课 有 良 好 的开头,那 就 意名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 老师： 展现情形图如图1,船从港味 着 成 功 的 一口 B 航行到港口 C,测得 BC的距离为 600m ,船在港口 C 卸货后连续向 2同学 ：摸索沟通,半 ； 因港口 A 航行,由于船员的疏忽没有测此,我通得 CA距离,假如船上
7、有测角仪我们过 从 学画一个三角形A B C ,能否运算出 A、B 的距离？生 日 常使 得 B C为6cm ,B生 活 中B A C75,的 实 际A C B45,量 得问 题 引A B 距离约为4.9cm,入,激发利用三角形相像性质可学 生 思知 AB约为 490m；维,激发学 生 的 求知欲,AC引 导 学生 转 化为 解 直角 三 角 形 的 问2 老师： 如已知测得BAC75, 3 师生：共同回忆解题,在解图 1 决 问 题后,对特直角三角形,直角三殊 问 题ACB45,要运算 A、B两地距离,角形中,已知两边,可一般化,你 有方法解决吗？得 出 一以求第三边及两个角；个 猜 测3
8、老师：对,很好,我们学过相像直角三角形中,已知性 的 结一边和一角,可以求另论 猜想,培两边及第三个角；三角形,也学过解直角三角形, 大家养 学 生仍记得吗？4 同学 ：摸索,沟通,从 特 殊4 老师： 引导,ABC是斜三角得 出 过A作ADBC到 一 般思 想 意于D如图 2,把ABC 分识,培育学 生 创为两个直角三角形,解造 性 思题过程,同学阐述,教维才能；师板书；形,能否利用解直角三角形, 精确计算 AB呢？解：过A作ADBC 于D , 在Rt ACD中 ,名师归纳总结 sinACBAD第 3 页,共 15 页AC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
9、 - ADACsinACB60023002m2ACB 45,BAC 75ABC 180 ACB ACB 60在 Rt ABD 中,ADsin ABCABAD 300 2AB 200 6 msin ABC 32 A CDB图 2 5 同学：5 老师： 表示对同学称赞,那么刚才发现sinCAD b,sinBADccsinBADbsinCcbsinCbsinC,sinB6 同学 ：解 决 问题 的 过程 中 ,如ACb ,发觉即然有cABc ,能否用 B 、b 、C 表示 c 呢？sinB那 么 也 有casinC,并引导同学再观看刚才解题过程；sinAabsinA；6 老师： 引导,在刚才的推理过
10、程sinB中,你能想到什么？你能发觉什么？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7 老师： 引导cCaacbsinC,sinBsinsinAasinC A,bsinA,csinsinB我们习惯写成对称形式 : cCbB,aAbB1 同学： 摸索沟通得出,二、设计sinsinsinsin因此我们可以发觉：abc如图 4,在 RtABC中,意图 ：让sinAsinBsinC设 BC=a,AC=b,AB=c, 学 生 体就 有 sinAa,验 数 学是否任意三角形都有这种边角关系c试验,激呢？sinBb,又起 学 生二、数学
11、试验,验证猜想c的 好 奇sinC1c c, 心 和 求1 老师： 给同学指明一个方向,我们知欲望；先通过特别例子检验：就aAbBcCc学 生 自aAbBcC是否成立,举出sinsinsin己 进 行sinsinsin从而在直角三角形ABC试验,体特例；会 到 数中,asinAbBcC（1）在 ABC中,A, B,C学 实 验sinsin分别为60,60,60,对应的边长的 归 纳A 和 演 绎a：b：c 为 1：1：1,对应角的正弦b c 推 理 的值分别为3 ,23 ,23 ,引导同学 2两 个 侧C a B 面；abc图 4 考察sinA,sinB,sinC的关系；（同学回答它们相等）（
12、2）、在 ABC中, A, B,C分别为45,45,90,对应的名师归纳总结 边长 a：b：c 为 1：1：2 ,对应角第 5 页,共 15 页22的正弦值分别为2,2,1；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （同学回答它们相等）（3）、在 ABC中, A, B,C分别为30,60,90,对应的边长 a：b：c 为 1：3：2,对应角1 3的正弦值分别为 2,2,1；（同学回答它们相等） （图 3）AAA2 同学： 分组互动,每 组画一个三角形,度量出 三 边 和 三 个 角 度 数 值,通过试验数据运算,604530cbcbB60a60CB45a90C
13、B6090C图 3 老师问对于 Rt ABC 呢？ab比 较sinA 、 sinB 、2 教 师 ： 那么任意三角形是 否有caAbBcC呢 ？ 学 生 按 事sinC 的近似值；sinsinsin先支配分组, 出示试验报告单, 让学 生阅读试验报告单, 质疑提问： 有什 么 不 明白 的 地方 或者有 什 么问 题 吗？（假如同学没有问题, 老师让学 生动手运算）3 老师 ：借助多媒体演示随着三角形名师归纳总结 abc1 同学： 摸索得出三、设计第 6 页,共 15 页任意变换,sinA 、 sinB 、 sinC 值仍旧保持相等；在 Rt ABC 中,成立,abc如前面检验；意图 ：经我们
14、猜想：sinA=sinB=sinC在锐角三角形中,如历 证 明三、证明猜想,得出定理图 5 设BCa ,CAb ,猜 想 的1 老师： 我们虽然经受了数学试验,ABc过程,进作：ADBC ,垂足为 D一 步 引多媒体技术支持,对任意的三角形,导 启 发如 何 用 数 学 的 思 想 方 法 证 明在 Rt ABD 中,sinBAD学 生 利AB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - abcADABsinBcsinB用 已 有sinAsinBsinC 呢 ？ 前 面 探 索在 Rt ADC 中的 数 学过程对我们有没有启示？同学分组sinCAD知 识 论AC证
15、猜想,争论,每组派一个代表总结； （以下ADACsinCbsinC证明过程,依据同学回答情形进行叙力 图 让cb述）学 生 体sinCsinB验 数 学同理,在ABC 中ac的 学 习sinAsinC过程；abcsinAsinBsinCABDC图 5 在钝角三角形中,如图 6 设C 为钝角,BCa,CAb,ABcBC 交 BC 的延作AD长线于D在Rt ADBB中,BsinBADcsinABADABsin在 Rt ADC 中,名师归纳总结 sinACDAD AC第 7 页,共 15 页ADACsinACDbsinACBcsinBbsinACBsincbACBsinB- - - - - - -精
16、选学习资料 - - - - - - - - - 同锐角三角形证明可知aAcsincsinAsinCabsinsinBACBABCD图 6 2 同学：摸索得出,分析图形（图7）,对于任意 ABC,由中学所学过的面积公式可以得出：SABC1ACBD1CBAE1BACF2222 老师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等,即a b csin A sin B sin C仍有其它证明方法吗？而由图中可以看出：sinBACBDACACB CFBCsiABsinACBAEACsinABCCFBCBDABsinBAC AESABC1ACBD1CBAE1BACF2221AC
17、ABsinBAC1CBCAsinACB1BABC2221bcsinBAC1absinACB1casinABC222等式名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1b csinBAC1a bsinACB1c asinABC222中均除以1abc后可得2sinBACsinABCsinACBabc即sinasinbsincBACABCACBB Fc EabADC图 7 3 同学：SABC1bcsinBAC1absinACB1casinABC222得到三角形面积公式：3 老师 : 边分析边引导同学,同时板SABC1absinC1c
18、asinB1bcsinA2224 同学 : 在前面的检验c书证明过程；中, Rt ABC 中, 在刚才的证明过程中大家是否发觉abc三角形高sinAsinBsinCAEcsinABCasinABCc 恰为外接接圆的直径,三角形的面积：SABC1aAE ,2能否得到新面积公式4 老师： 大家仍有其他的证明方法吗？比如：aA、bB、cCsinsinsin即ck2 R , 所 以 作ABC 的外接圆 O , O 为圆心,连接 BO 并延长 交圆 O 于 B ,把一般三角 形 转 化 为 直 角 三 角名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - -
19、 - - - 都等于同一个比值k ,那么它们也相形；图 8 证明：连续 BO 并延长交等,这个k究竟有没有什么特别几何圆于B ,2C意义呢？B AB90B在Rt B AB 中,RABB BsinBABABB BsinBsinC即cC2Rsin同理可证：a2R,b2RsinAsinBabBc2RsinAsinsinCBCOAB图 8 5 同学： 摸索（联系作高的思想）得出：在 锐 角 三 角 形 ABC中, AB BC AC ,作单位向量 j 垂直于 AC ,名师归纳总结 5 教 师 ： 从 刚 才 的 证 明 过 程 中 , ACjABjBCj第 10 页,共 15 页即acos90C0cco
20、s90A aAbBcC2R,显示正弦csinAasinC0sinsinsinca定理的比值等于三角形外接圆的直sinCsinA径2R,我们通过“ 作高法”、“ 等积- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 法” 、“ 外接圆法”等平面几何方法证同理：bBaA明正弦定理,能否利用其他学问来证sinsin明正弦定理？比如, 在向量中, 我也aAbBcC学过ababcos,这与边的sinsinsin长度和三角函数值有较为亲密的联 系,是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？对于钝角三角形, 直角三角形的情形作简洁交代；B6 老师： 由于时间有限,对正弦定理 的证明到此为
21、止, 有爱好的同学回家再探究；AC四、设计1 同学： 立刻得出在ABC 中,意图：利四、利用定理,解决引例B180AC60 ,cb用 正 弦sinCsinB1 老师：现在大家再用正弦定懂得决cbsinC600 sin 45200 6 m定理,解sinBsin60决引例；引例中提出的问题；五、设计意图：让名师归纳总结 五、明白解三角形概念1 同学： 争论正弦定理学 生 了第 11 页,共 15 页解 解 三老师：一般地,把三角形的三个角A 、角 形 概念,形成B 、C和它们的对边a、b、c叫做知 识 的可以解决的问题类型：完整性；三角形的元素, 已知,三角形的几个假如已知三角形的任六、元素,求其
22、他元素的过程叫做解三角意两个角与一边,求三设 计 意形；角 形 的 另 一 角 和 另 两图：1 利六、运用定理,解决例题边,如absinA B；用 正 弦1 老师：引导同学从分析方程思想分sin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 析正弦定理可以解决的问题；假如已知三角形定理,重任意两边与其中一边的 对角,求另一边与另两新 解 决 引例,让 学 生 体 会 用 新 的学问,新 的 定 理,解决角,如 sinAasinB；b2 同学： 反馈练习（教 科书第 6 页的练习）问 题 更便利,更2 师生 ：例 1 的处理,先让同学摸索 回答解题思路, 老师板书,
23、让同学思 考主要是突出主体, 老师板书的目的 是规范解题步骤；简洁,激 发 学 生不 断 探 索 新 知 识 的 欲望； 2）自 己 解决问题,提 高 学 生 学 习的 热 情 和动力,使 学 生 体 验 到 成 功 的愉悦感,变“ 要我例 1：在ABC 中,已知A30,B45,a6 cm,解三角形；分析“ 已知三角形中两角及一边, 求 其他元素” ,第一步可由三角形内角和为180求出第三个角 C,再由正弦定理求其他两边；例 2：在ABC 中,已知a2 2,b2 3,A45,解三角形；例 2 的处理,目的是让同学把握分类 争论的数学思想, 可先让中等同学讲 解解题思路,其他同学补充沟通 注：用
24、实物投影仪展现同学中解题步 骤规范的解答；学 ”为“我 要学” ,“ 我 要争论”的 主 动学习 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 小结：老师：提示引导同学总结本节课的主要内容；同学：摸索沟通,归纳总结；师生：让同学尝试小结,老师准时补充,要表达：课堂小结 2 分钟（1）正弦定理的内容（aAbBcC2R）及其证明思想方法；sinsinsin（2）正弦定理的应用范畴：已知三角形中两角及一边,求其他元素；已知三角形中两边和其中一边所对的角,求其他元素；（3）分类争论的数学思想；作业： 第 11 页 习题 1.2B
25、组第 1、2 题；布置作业摸索题：例2：在ABC中,已知a2 2,b2 3,A45,解三角1 分钟形；例 2 中b2 3分别改为b2 6,b5并解三角形,观看解的情况并说明显现一解,两解,无解的缘由；板书设计：1、结合实例,激发动机 数学源于现实,从同学日常生活中的实际问题引入,激发同学学习的 爱好,引导启示同学利用已有的学问解决新的问题,方法一通过相像三 角形相像比相等进行运算,方法二转化解直角三角形；让学在解决问题中发觉新学问,提出猜想,使同学在观看、试验、猜想、验证、推理等 活动中,逐步形成创新意识；2、数学试验,验证猜想 通过特例检验,让同学动手试验,提高了同学试验操作、分析摸索和 板
26、书设计 抽象概括的能,激发同学的奇怪心和求知欲望,体会到数学试验的归纳 和演绎推理的两个侧面；3、证明猜想,得出定理 引导启示同学从角度进行证明定理,展现自己的学问,培育同学解决问题的才能,增强学习的爱好,爱好,在学问的形成、进展过程中绽开 思维,培育推理的意识；4、利用定理,解决引例 合理利用正弦定理,重新解决引例,体会用新的学问,新的定理,使 得解决问题更便利、更简洁,激发同学不断探究新学问的欲望；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5、明白解三角形概念 6、运用定理,解决例题 提高同学学习的热忱和动力,使同学
27、体验到胜利的愉悦感,变要我学 为我要学,我要争论的主动学习；7、尝试小结 通过同学的总结,培育同学的归纳总结才能和语言表达才能；8、作业本节定理教学课,我把重点放在定理的发觉与证明上,符合新课标 重视过程与方法的理念,克服了传统教学只留意结论的倾向；第一,利用解决一个可测量两角一对边,求另一对边的实际问题引 入,在解决实际问题中,引导同学发觉“ 三角形三边与其对应角的正弦 值的比相等” 的规律；通过对特别三角形的验证,大胆猜想对任意三角 形成立；接着证明白这个定理；在课堂上展现了定理的发觉过程,使同学感受到创新的欢乐,激发 同学学习数学的爱好,同时让同学体验了“ 观看试验归纳猜想证明” 的数学
28、思想方法,经受了学问形成的过程,符合新课标重视过程 与方法的理念；其次,在解决引例中的测量问题时利用用以前学过的相 似三角形学问、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、帮助以三角教学反思形外接圆、向量）等,都表达了“ 在已有学问体系的基础上去建构新的学问体系” 的理念,加强了学问间的联系,培育了同学思维的敏捷性；定理证明的方法一、 方法二,参透了分类、转化的数学思想； 但是,本节课的教学内容仍是偏多,在时间安排上要有规划,突出重点,删繁 就简；引入的例题要留意条件更加明确直接,以免产生歧义,冲淡主体,铺张时间；假如让我重新上这节课,我会完善这些不足,做的更好；总之,本节课有效地采纳了探究式教学,在老师的启示引导下,以 同学独立自主和合作沟通为前提,以问题为导向设计教学情境,以“ 正 弦定理的发觉和证明” 为基本探究内容,为同学供应充分自由表达、质 疑、探究、争论问题的机会,让同学通过个人、小组、集体等多种解难 释疑的尝试活动,感受“ 观看试验猜想证明应用” 等 环节,教学过程流畅,在学问的形成、进展过程中绽开思维,逐步培育名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 同学发觉问题、探究问题、解决问题的才能和制造性思维的才能；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页