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1、教学设计基本信息名称正弦定理执教者课时 1 所属教材目录必修 5 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理教材分析本节内容安排在 普通高中课程标准实验教科书数学必修 5 （人教 A 版）第一章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角知识之后，对三角知识的深入应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对解直角三角形内容的直接延伸。根据自己的实际教学，正弦定理这部分内容共分为三个步骤；第一步：教师通过引导学生对实际问题的探索，大胆提出猜想；第二步：由猜想入手，带着疑问，联系特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、 “等积法”、 “外接圆法”、 “ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想
2、的正确性，并得到三角形面积公式；第三步：利用正弦定理解决引例，并进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察实验猜想证明应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考及勇于求真的精神。学情分析对于高中二年级的学生来说，已经学过平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，具备了一定的观察问题、分析问题、解决问题的能力，但是把前后知识联系起来，加以理解并合理应用还有一定难度，而且思维灵活性受到制约。根据以上特点，自己（教师）恰当引导，提高学生的学习主动性，加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝应用成果的喜悦。教学目标知识与能力目标让学生从已有的
3、几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、实验、猜想、验证和证明；由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。过程与方法目标通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题以及解决问题的能力；增强学生协作能力和交流能力；发展学生的创新意识， 培养创造性思维的能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页情感态度与价值观目标通过学生间的自主探索及合作交流，亲身体验数
4、学规律的发现，培养学生勇于探索、善于观察、不畏艰辛的创新理念，增强学习的成功意识，激发对学习数学的兴趣。培养学生探索数学规律的思想方法，通过平面几何、三角形函数、 正弦定理、 向量等知识间的联系 , 来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重难点重点正弦定理的发现与证明、正弦定理的简单应用难点正弦定理的猜想提出过程教学策略与设计说明教学策略 ：授课时采用探究式课堂教学模式：即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和师生合作交流为前提，以问题为导向来设计教学情境；以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、提出质疑、进行探究、加强讨论问题的机会，让学生通过个人或集
5、体来尝试多种解难释疑的活动；在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力设计说明：首先学生在不知正弦定理的内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察实验归纳猜想证明”的数学思想方法，发现并证明定理。 让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）教师活动学生活动设计意图一、 结合实例，激发动机 : 1 学生
6、： 思考提出测量角 A，C 一、设计意图：兴趣 是 最好 的 老师。如果一 节 课有 良 好的开头，那 就 意精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页ABC1 教师：展示情景图如图1，船从港口 B 航行到港口 C，测得 BC的距离为 600m，船在港口 C卸货后继续向港口 A航行， 由于船员的疏忽没有测得 CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出 A、B的距离？2 教师： 若已知测得75BAC，图 1 45ACB， 要计算 A、 B两地距离，你 有办法解决吗？3 老师：对，很好，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，
7、大家还记得吗？4 教师： 引导，ABC是斜三角形，能否利用解直角三角形， 精确计算 AB呢？ 2学生：思考交流，画一个三角形A B C ，使 得 B C为6cm ，75B A C，45A CB，量 得AB 距离约为4.9cm，利用三角形相似性质可知 AB约为 490m 。 3 师生：共同回忆解直角三角形，直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。4 学生 ：思考，交流，得 出 过A作ADBC于D如图 2， 把ABC分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。解：过A作ADBC于D, 在Rt ACD中 ，sinADACBAC味 着
8、成功 的 一半 。 因此，我通过 从 学生 日 常生 活 中的 实 际问 题 引入，激发学 生 思维，激发学 生 的求知欲，引 导 学生 转 化为 解 直角 三 角形 的 问题，在解决 问 题后，对特殊 问 题一般化，得 出 一个 猜 测性 的 结论 猜想，培养 学 生从 特 殊到 一 般思 想 意识，培养学 生 创造 性 思维能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页5 教师：表示对学生赞赏，那么刚才解 决 问题 的过程 中 ，若ACb，ABc， 能否用B、b、C表示c呢？并引导学生再观察刚才解题过程。6 教师：
9、引导， 在刚才的推理过程中， 你能想到什么？你能发现什么？2sin60030022ADACACBm45ACB，75BAC18060ABCACBACB在Rt ABD中，sinADABCAB300 2200 6sin32ADABmABC A 图 2 5 学生：发现sinADCb，sinADBcsinsinADbCcBsinsinbCcB6 学生：发现即然有sinsinbCcB，那么 也 有sinsinaCcA，sinsinbAaB。BCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页7 教师： 引导sinsincaCAsinsin
10、bCcB，sinsinaCcA，sinsinbAaB，我们习惯写成对称形式 : sinsincbCB，sinsinabAB因此我们可以发现：sinsinabABsincC是否任意三角形都有这种边角关系呢？二、数学实验，验证猜想1 教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验：sinsinabABsincC是否成立，举出特例。（1）在ABC中，A，B，C分别为60，60，60，对应的边长a：b：c 为 1：1：1，对应角的正弦值分别为23，23，23，引导学生考察Aasin，Bbsin，Ccsin的关系。（学生回答它们相等）（2） 、在 ABC中， A，B，C分别为45，45，90，对应的边
11、长 a：b：c 为 1：1：2，对应角的正弦值分别为22，22，1；1 学生： 思考交流得出，如图 4，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 则 有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc, 则sinsinsinabccABC从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC图 4 二、设计意图：让学 生 体验 数 学实验，激起 学 生的 好 奇心 和 求知欲望。学 生 自己 进 行实验，体会 到 数学 实 验的 归 纳和 演 绎推 理 的两 个 侧面。B a A C c b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
12、第 5 页，共 15 页（学生回答它们相等）（3） 、在 ABC中，A， B，C分别为30，60，90，对应的边长 a：b：c 为 1：3：2，对应角的正弦值分别为21，23，1。（学生回答它们相等） （图 3）603090454590606060bccaabCBCABABCA图 3 教师问对于 Rt ABC 呢？2 教 师 ： 那么任意三角形是 否有sinsinsinabcABC呢 ？ 学生 按 事先安排分组， 出示实验报告单， 让学生阅读实验报告单， 质疑提问：有什么 不 明白 的地方 或者有 什 么问 题吗？（如果学生没有问题， 教师让学生动手计算）3 教师：借助多媒体演示随着三角形任意
13、变换，sinaA、sinbB、sincC值仍然保持相等。我们猜想：Aasin=Bbsin=Ccsin三、证明猜想，得出定理1 教师： 我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如 何 用 数 学 的 思 想 方 法 证 明2 学生： 分组互动，每组画一个三角形，度量出三 边 和 三 个 角 度 数值，通过实验数据计算，比 较sinaA、sinbB、sincC的近似值。1 学生： 思考得出在 Rt ABC中，成立，如前面检验。在锐角三角形中，如图 5 设BCa，CAb，ABc作：ADBC， 垂足为D在Rt ABD中，sinADBAB三、设计意图：经历 证 明猜 想 的过程，进一 步
14、 引导 启 发学 生 利精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页sinsinsinabcABC呢 ？ 前面 探 索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。 （以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）sinsinADABBcB在 Rt ADC 中sinADCACsinsinADACCbCsinsincbCB同理，在ABC中sinsinacACsinsinsinabcABC图 5 在钝角三角形中，如图 6 设C为钝角，BCa，CAb，ABc作ADBC交BC的延长线于D在Rt ADB中，sinADBABsins
15、inADABBcB在 Rt ADC 中，sinADACDACsinsinADACACDbACBsinsincBbACBsinsincbACBB用 已 有的 数 学知 识 论证猜想，力 图 让学 生 体验 数 学的 学 习过程。ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页2 教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabcABC还有其它证明方法吗？同锐角三角形证明可知sinsinacACsinsinsinabcABACB图 6 2 学生：思考得出，分析图形（图
16、7） ，对于任意 ABC ，由初中所学过的面积公式可以得出：111222ABCSACBDCBAEBACF而由图中可以看出：sinBDBACABsinAEACBACsinCFABCBCsin,BDABBAC AEACACB CFBC111222ABCSACBDCBAEBACF111sinsinsin222ACABBACCBCAACBBABC111sinsinsin222bcBACabACBcaABC等式ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页3 教师 : 边分析边引导学生，同时板书证明过程。在刚才的证明过程中大家是
17、否发现三角形高sinsinAEcABCaABC三角形的面积：12ABCSaAE，能否得到新面积公式4 教师： 大家还有其他的证明方法吗？比如：sinaA、sinbB、sincC111sinsinsin222b cBACa bACBc aABC中均除以abc21后可得sinsinsinBACABCACBabc即sinsinsinabcBACABCACB图 7 3 学生：111sinsinsin222ABCSbcBACabACBcaABC得到三角形面积公式：111sinsinsin222ABCSabCcaBbcA4 学生 : 在前面的检验中， Rt ABC中, sinsinsinabccABCc
18、恰为外接接圆的直径，即2ckR ， 所 以 作ABC 的外接圆O，O为圆心， 连接 BO并延长交圆O于B ，把一般三角形 转 化 为 直 角 三 角ABCDEFbac 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页都等于同一个比值k，那么它们也相等，这个k到底有没有什么特殊几何意义呢？5 教 师 ： 从 刚 才 的 证 明过 程 中 , 2sinsinsinabcRABC， 显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径2R，我们通过“作高法” 、 “等积形。图 8 证明： 连续 BO并延长交圆于B ，90B ABBC在Rt B A
19、B中，sinABB BB2sinsinABABB BRBC即2sincRC同理可证：2sinaRA，2sinbRB2sinsinsinabcRABC图 8 5 学生： 思考（联系作高的思想）得出：在 锐 角 三 角 形ABC中，ABBCAC，作单位向量 j 垂直于 AC ，ACjABjBCj即0cos(90)cos(90)cAaCsinsin0cAaCsinsincaCAABCBO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页法” 、 “外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如， 在向量中，
20、我也学过cosabab，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系， 是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。6 教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。四、利用定理，解决引例1 教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。五、了解解三角形概念教师： 一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素， 已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。六、运用定理，解决例题1 教师：引导学生从分析方程思想分同理：sinsinbaBAsinsinsinabcABC1 学生： 马上得出在ABC中，1
21、8060 ,sinsincbBACCBsin600 sin45200 6sinsin60bCcmB1 学生： 讨论正弦定理可以解决的问题类型：如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形 的 另 一 角 和 另 两边，如sinsinbAaB；四、设计意图：利用 正 弦定理，解决引例。五、设计意图：让学 生 了解 解 三角 形 概念，形成知 识 的完整性。六、设 计 意图：1)利用 正 弦ABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页析正弦定理可以解决的问题。2 师生：例 1 的处理，先让学生思考回答解题思路， 教师板书，
22、让学生思考主要是突出主体， 教师板书的目的是规范解题步骤。例 1：在ABC中，已知30A，45B，6acm，解三角形。分析“已知三角形中两角及一边， 求其他元素”，第一步可由三角形内角和为180求出第三个角 C ，再由正弦定理求其他两边。例 2：在ABC中，已知2 2a，2 3b，45A，解三角形。例 2 的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流注： 用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如sinsinaABb。2 学生： 反馈练习（教科书第 6 页的练习）定理，重新 解 决引例，让学
23、 生 体会 用 新的知识，新 的 定理，解决问 题 更方便，更简单，激发 学 生不 断 探索 新 知识 的 欲望。 2）自 己 解决问题，提 高 学生 学 习的 热 情和动力，使 学 生体 验 到成 功 的愉悦感，变“要我学 ” 为“ 我 要学” ， “我要研究”的 主 动学习。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页课堂小结2 分钟小结：教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。学生：思考交流，归纳总结。师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：（1）正弦定理的内容（2sinsinsinabcRABC）及其证明思想方
24、法。（2）正弦定理的应用范围：已知三角形中两角及一边，求其他元素；已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。（3）分类讨论的数学思想。布置作业1 分钟作业： 第 11页 习题 1.2B 组第 1、2 题。思考题：例2：在ABC中，已知2 2a，2 3b，45A，解三角形。例 2 中2 3b分别改为2 6b，5b并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。板书设计板书设计：1、结合实例，激发动机数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相似三角形相似比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。让学在解决问题
25、中发现新知识，提出猜想，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。2、数学实验，验证猜想通过特例检验，让学生动手实验，提高了学生实验操作、分析思考和抽象概括的能，激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。3、证明猜想，得出定理引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。4、利用定理，解决引例合理利用正弦定理，重新解决引例，体会用新的知识，新的定理，使得解决问题更方便、更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。精选学习资料 - - - - - - -
26、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页5、了解解三角形概念6、运用定理，解决例题提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变要我学为我要学，我要研究的主动学习。7、尝试小结通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。8、作业教学反思本节定理教学课，我把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。首先，利用解决一个可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发现“三角形三边与其对应角的正弦值的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对任意三角形成立；接着证明了
27、这个定理。在课堂上展示了定理的发现过程，使学生感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣，同时让学生体验了“观察实验归纳猜想证明”的数学思想方法，经历了知识形成的过程，符合新课标重视过程与方法的理念。其次，在解决引例中的测量问题时利用用以前学过的相似三角形知识、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、辅助以三角形外接圆、向量）等，都体现了“在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系”的理念，加强了知识间的联系，培养了学生思维的灵活性。定理证明的方法一、 方法二，参透了分类、转化的数学思想。 但是，本节课的教学内容还是偏多，在时间分配上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要注意条件更加明确直接，以
28、免产生歧义，冲淡主体，浪费时间。如果让我重新上这节课，我会完善这些不足，做的更好。总之，本节课有效地采用了探究式教学，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察实验猜想证明应用”等环节，教学过程流畅，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页