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1、集合集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.2.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.3.集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为AA；空集是任何集合的子集，记为A；空集是任何非空集合的真子集；如果BA，同时AB，那么 A=B.如果CACBBA，那么，.注：已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（）对方程组解的集合应是点集.例：1323yxyx解的集合(2，1).点集与数集的交集是.（例：A=(x，y)|y=x+1B=y|y=x2+1则 AB=）4.n 个元素的子集有 2n个.n 个元素的
2、真子集有 2n1 个.n 个元素的非空真子集有 2n2 个.集合运算：交、并、补.|,|,ABx xAxBABx xAxBAxUxAU交：且并：或补：且C主要性质和运算律包含关系：,;,;,.UAAA AUAUAB BCAC ABA ABB ABA ABB C等价关系：UABABAABBABUC集合的运算律：交换律：.;ABBAABBA结合律:)()();()(CBACBACBACBA分配律:.)()()();()()(CABACBACABACBA0-1 律：,AAA UAA UAU 等幂律：.,AAAAAA求补律：ACUA=ACUA=U=UC CUU=C CU U=U反演律：CU(AB)=(
3、C(CUA)(C CUB)C CU(AB)=(C(CUA)(C CUB)有限集的元素个数定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card(A)规定 card()=0.基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card ABcard Acard Bcard ABcard ABCcard Acard Bcard Ccard ABcard BCcard CAcard ABC(3)card(UA)=)=card(U)-card(A)【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例 1、设2|8150Ax xx，|10Bx ax，若ABB，求实数
4、 a 组成的集合的子集有多少个？【知识点归类点拔】（1）在应用条件 ABAB时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合是空集的情况优先进行讨论原命题：若 P 则 q；逆命题：若 q 则 p；否命题：若P 则q；逆否命题：若q 则p。(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
5、6、如果已知 pq 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。若 pq 且 qp,则称 p 是 q 的充要条件，记为 pq.7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。8.一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.例：若325baba或，则.解：逆否：，且21yx3 yx.解：逆否：21yx且条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围.例：若255xxx或，.(二二)1.不等式的基本性质及推论：(1)如果ab，那么ba，如果b
6、a，那么ab(对称性)即：abba；baab。(2)如果ab，且bc，那么ac(传递性)即ab，bcac。(3)如果ab，那么acbc 即abacbc。(4)如果ab，且cd，那么acbd(相加法则)即ab，cdacbd(5)如果ab，且0c，那么acbc；如果ab，且0c，那么acbc(6)如果ab 0cd0acbd，且，那么(相乘法则)(7)若0,(1)nnababnNn则且(8)若0,(1)nnabab nNn则且1基本不等式 abab2(1)基本不等式成立的条件：_.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号2几个重要的不等式.常用变形(1)a2b2_(a，bR)(2)baab_(a，b
7、 同号)(3)abab22(a，bR)(4)ab22_a2b22.3算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式可叙述为：_.4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最_值是_(简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最_值是_(简记：和定积最大)（1）几个重要的不等式：设a、b是两个正数，则2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数均值不等式定理：若0a，0b，则2abab，即2abab常用的基本不等式：222,abab
8、a bR；22,2ababa bR；20,02ababab；222,22ababa bR极值定理：设x、y都为正数，则有若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值24s若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2 p例 1、若直线220(,0)axbya b始终平分圆224280 xyxy的周长，则12ab的最小值为变式 1：若正数yx,满足211yx，则yxz2的最小值为变式 2：若正数yx,满足082xyyx，则yxz的最小值为变式 3：已知ba,是给定的正数，则2222sincosabz的最小值为变式 4：1()()9axyxy对任意正实数x，y恒成立,则正实数a的最小值
9、为例 2、若正数,a b满足条件3abab，则ab的取值范围是。变式：条件不变，求ab的取值范围例 3、(1)已知x0，y0，lgxlgy1，求25zxy的最小值(2)已知x0，y0，且xy1，则1yyx的最小值是_变式 2：若x3，求f(x)43xx的最大值2.绝对值三角不等式定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当 ab0 时,等号成立.定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0 时,等号成立.2.若关于 x 的不等式|x-2|+|x-a|a 在 R 上恒成立,则 a 的最大值是()A.0B.1C.-1D
10、.2【典例 1】(2009上海)某地街道呈现东西南北向的风格状,相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点,若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)_为发行站,使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.类型二含绝对值不等式的解法(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.其方法主要有:利用绝对值的意义;利用公式;平方分区间讨论等.(2)利用平方法去绝对值符号时,应注意不等式两边非负才可进行.(3)零点分段法解绝对值不等式的步骤:求零点;划区间去绝对值号;分别解去
11、掉绝对值的不等式;取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.【典例】解不等式:|2x+1|-|x-4|2;(2)求函数 y=f(x)的最小值.不等式的证明方法：比较法：作差作商后的式子变形,判断正负或与 1 比较大小。综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立的证明方法。逻辑关系是：12nABBBBL思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条
12、件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。逻辑关系是：12nBBBBAL思维特点：执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。反证法：正难则反。先假定要证不等式的反面成立,然后推出与已知条件(或已知真命题或定理、公理、定义)矛盾的结论,从而断定反证假定错误,因而要证不等式成立。放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小来证明不等式成立。常用的放缩方法有：添加或舍去一些项，如：aa12；nnn)1(；将分子或分母放大（或缩小）；利用基本不等式，如：4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log2；2)1()1(nnnn；利用常用结论：kkkkk21111；kkkkk1
13、11)1(112；111)1(112kkkkk（程度大）)1111(21)1)(1(111122kkkkkk；（程度小）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.构造法：过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；数学归纳法：数学上证明与自然数 N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；一元二次不
14、等式 ax2+box0(a0)解的讨论.000二次函数cbxaxy2（0a）的图象一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为)()(xgxf0(或)()(xgxf0)；)()(xgxf0(或)()(xgxf0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：cbax,与)0(ccbax型的
15、不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.1.“xy”是“xy”的条件2.已知命题:(3)(1)0pxx，命题22:210(0)q xxmm，若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的范围是3.若不等式64 ax的解集是15xx，则实数a 4.不等式(1)(1)0 xx的解为5.设ab，是非零实数，若ba，则下列不等式成立的是()(A
16、)22ba(B)baab22(C)baab2211(D)baab6.若不等式34xb的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则b的取值范围为7.若110ab，则下列不等式abab；ab；ab；2baab中，正确的不等式有8.若满足1|x的实数x都满足xm，则m的取值范围是9.设函数2()(0)f xaxbxc a对任意实数t都有(2)(2)ftft成立，在函数值(1),(1),(2),(5)ffff中的最小的一个不可能是10.二次函数2()yaxbxc xR的部分对应值如右表：则不等式02cbxax的解集是11.若不等式210 xax 对一切1(02x，成立，则a的最小值为12.设,x yR，且1
17、)(yxxy，则xy的取值范围是x-3-2-101234y60-4-6-6-406一、填空题（124 分48 分）1、已知 1,3,Am，集合3,4B，若BA,则实数_m 2、不等式|x-3|3”的一个必要非充分条件是9、若10,0baba且，则ba11的最小值为10、若不等式 0 xf的解集是3,2，不等式 0 xg的解集是，且 xf，xg中，Rx，则不等式 0 xgxf的解集为11、在R上定义运算yxyx1:，若不等式1xax对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是12、已知关于 x 的不等式组 1kx2+2x+k2 有唯一实数解，则实数 k 为_二、选择题（43 分12 分）13、设I为
18、全集，BACBI，则BA为()A.AB.BC.BCID.16、已知关于x的不等式21axx的解集为P，若P1，则实数a的取值范围为（）A),0 1,(B0,1C),0()1,(D0,1(三、简答题（6 分8 分8 分8 分+10 分40 分）17、已知a、bR，且0ab，试比较22abba与11ab的大小18、已知 x-1，求当 x 取何值时，x+14x的值最小，并求出最小值19、已知集合RxxxxA,056|2，RxaaxxxB,023|22若 BA，求实数a的取值范围；20、经过长期观测得到：在交通繁忙的期间内，某公路段汽车的车流量 y(千辆/时)与汽车的平均速度 v(千米/时)之间的函数关系为 y=160039202 vvv(v0)(1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1 千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？