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1、第四章 随机变量的数值特征本讲稿第一页，共二十五页4.1 数学期望1.数学期望的定义 随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一，它的定义来自习惯上的平均概念。定义 1：设 X 是离散型随机变量，它的概率分布律为 P(X=xk)=pk,k=1,2,。如果 有限，定义 X 的数学期望本讲稿第二页，共二十五页 也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。定义 2：设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 f(x)，如果 有限，定义 X 的数学期望为亦即，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。本讲稿第三页，共二十五页2.随机变量函数的数学期望 设已知随机变量 X 的分布，需要
2、计算的不是 X 的期望，而是 X 的函数 g(X)的期望。该如何计算呢？一种方法是，首先求随机变量函数 g(X)的分布，然后按数学期望的定义计算 Eg(X)。但是，求随机变量函数 g(X)的分布，一般比较复杂。可否不先求 g(X)的分布而只根据 X 的分布来求得Eg(X)呢？可以！本讲稿第四页，共二十五页定理：设 X 是一个随机变量，当 X 为离散型时，其分布律为 P(X=xk)=pk；当 X 为连续型时，其密度函数为 f(x)。Y=g(X)，则 该公式的重要性在于：求 Eg(X)，不必知道 g(X)的分布，而只需知道 X 的分布就可以了。这给求随机变量函数的期望带来很大方便。本讲稿第五页，共
3、二十五页3.数学期望的性质1）设 C 是常数，则 E(C)=C；2）若 k 是常数，则 E(kX)=kE(X)；3）E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)；推广 4.设 X、Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)；推广（诸 Xi 相互独立）由 E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出 X,Y 独立本讲稿第六页，共二十五页例.电视塔观光电梯每整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早8点至9点之间随机来到底层候梯处，求该游客等候时间的数学期望。解：设该游客到达时刻为 8 点的第 X 分钟，等候电梯的时间为 Y（分钟）。则 X 在 0,60 上均匀分布，而 Y 是 X 的函
4、数。由题意，有所以本讲稿第七页，共二十五页4.2 方差 随机变量的数学期望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征。但是，仅仅知道平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其中心附近的离散程度。这个数字特征就是方差。1.方差的定义 设 X 是一个随机变量，若 E(X-E(X)2 0，下述不等式成立：或 这表明，方差越小，事件|X|的概率越小，即事件|X|的概率越大，亦即随机变量 X 集中在其数学期望附近的可能性越大。本讲稿第十二页，共二十五页例.在每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75。试利用切比雪夫不等式求，n 需要多大时，才能使得在 n 次独立重复试验中 A 出现的
5、频率在 0.740.76 之间的概率至少为 0.9？解：设 X 为 n 次独立重复试验中 A 出现的次数，则所求为满足 P(0.74 X/n 0，D(Y)0，称为随机变量 X 和 Y 的相关系数。相关系数的性质：1)|XY|1 2)X、Y 相互独立时，XY =0，但其逆不真。3)|XY|=1 存在常数 a,b(b0)，使PY=a+bX=1 即 X 和 Y 以概率 1 线性相关。本讲稿第十八页，共二十五页 相关系数刻划了 X 和 Y 间“线性相关”的程度。若|XY|=1，Y 与 X 有严格线性关系；若 XY =0，Y 与 X 无线性关系，也称 Y、X 不相关；XY 的值越接近于1，Y 与 X 的
6、线性相关程度越高；XY 的值越接近于0，Y 与 X 的线性相关程度越弱。注意：不相关、相互独立是两个概念。相互独立指两个随机变量之间没有任何关系；不相关指两个随机变量之间没有线性关系。若 X、Y 相互独立，则 XY =0，X、Y 不相关；反过来，若 X、不相关，它们却不一定相互独立。特例，若(X,Y)服从二维正态分布，则 X、Y 不相关 X、Y 相互独立本讲稿第十九页，共二十五页例.某葙装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件。现从中随机抽取一件，记试求：1）X1 和 X2 的联合分布率；2）X1 和 X2 的相关系数。解：1）令事件 Ai 表示“抽到第 i 等品”(i=1
7、,2,3)。由题意，A1,A2,A3 两两互不相容。有 X2X10 1010.1 0.10.8 0.0P(X1)P(X2)0.9 0.10.20.8 P(X1=0,X2=0)=P(A3)=0.1 P(X1=0,X2=1)=P(A2)=0.1 P(X1=1,X2=0)=P(A1)=0.8 P(X1=1,X2=1)=P()=0.0本讲稿第二十页，共二十五页2）Cov(X1,X2)=E(X1X2)E(X1)E(X2)，而所以 Cov(X1,X2)=0.08又 D(X1)=E(X12)E2(X1)=0.16 D(X2)=E(X22)E2(X2)=0.09所以本讲稿第二十一页，共二十五页4.4 矩 协方
8、差矩阵一.矩定义：设 X 和 Y 是随机变量 X 的 k 阶原点矩 E(X k)X 的 k 阶中心矩 EX E(X)k X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩 E(X k X l)X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩 EX E(X)k Y E(Y)l本讲稿第二十二页，共二十五页 可见，数学希望 E(X)是 X 的一 阶原点矩；方差 D(X)是 X 的二阶中心矩；协方差 Cov(X,Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩。二.协方差矩阵将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式：称为（X1,X2）的协方差矩阵本讲稿第二十三页，共二十五页 类似定义 n 维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵：为(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。都存在，称矩阵i,j=1,2,n若本讲稿第二十四页，共二十五页协方差矩阵的特点：1）对角元 cii=D(Xi)2）cij=cji，是对称矩阵，有 C =C本讲稿第二十五页，共二十五页