第四章随机变量的数字特征精选文档.ppt

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1、第四章随机变量的第四章随机变量的数字特征数字特征阜师院数科院本讲稿第一页，共一百页阜师院数科院1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 例：例：有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称本讲稿第二页，共一百页阜师院数科院5416212817103只数Nk3210-1-2日走时误差xk则抽查到的100只手表的平均日走时误差为即 例例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手表的日走时误差,其数据如表:本讲稿第三页，共一百页阜师院数科院 如果另

2、外再抽验100只手表,每作一次这样的检验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误差的平均值.由关于频率和概率关系的讨论知,理论上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值.这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念.本讲稿第四页，共一百页阜师院数科院 定义定义:设离散型随机变量X的概率分布为如若则称为随机变量X的数学期望数学期望,记为E(X).如果则称随机变量X的数学期望不存在数学期望不存在.本讲稿第五页，共一百页阜师院数科院所以A的射击技术较B的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称 例例:有A，B两射手，他们的

3、射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？解解 A射击平均击中环数为B射击平均击中环数为本讲稿第六页，共一百页阜师院数科院 解解 分布律为：X0123P0.30.40.20.1 平均废品数为：本讲稿第七页，共一百页阜师院数科院 例例:设随机变量X具有如下的分布，求E(X).解解 虽然有收敛,但发散,因此E(X)不存在.本讲稿第八页，共一百页阜师院数科院1.1.1（0-1）分布数学期望）分布数学期望 设X的分布列为：X01Pqp则 其中本讲稿第九页，共一百页阜师院数科院1.1.2 二项分布数学期望二项分布数学期望 定理定理:设随机变量X服从二项分布,即则随机变量X的数学期望E(X)=np.证明证

4、明本讲稿第十页，共一百页阜师院数科院1.1.3 泊松分布数学期望泊松分布数学期望 证明:定理定理:设随机变量X服从泊松分布,即则随机变量X的数学期望E(X)=.本讲稿第十一页，共一百页阜师院数科院1.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 我们已知离散型随机变量X的数学期望为E(X)=自然要问连续型随机变量的数学期望是什么?设p(x)是连续型随机变量X的密度函数,取分点x0 x1xn+1则随机变量X落在xi=(xi,xi+1)中的概率为与X近似的随机变量Y的数学期望为由微积分知识自然想到X的数学期望为本讲稿第十二页，共一百页阜师院数科院为连续型随机变量为连续型随机变量X的的数学期

5、望,记为记为E(X).定义定义:设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 则称 如果则称连续型随机变量X的数学期望不存在数学期望不存在.本讲稿第十三页，共一百页阜师院数科院 例例:设随机变量X的概率密度函数为试求X的数学期望解解本讲稿第十四页，共一百页阜师院数科院 例例:若随机变量X的概率密度函数为问随机变量X的数学期望E(X)是否存在.解解所以E(X)不存在.但本讲稿第十五页，共一百页阜师院数科院1.2.1 均匀分布的数学期望均匀分布的数学期望 定理定理:设连续型随机变量X的密度函数为则E(X)=(a+b)/2.证明证明:本讲稿第十六页，共一百页阜师院数科院1.2.2 指数分布的数学期望指

6、数分布的数学期望 定理定理:设连续型随机变量X的密度函数为则随机变量X的数学期望为E(X)=1/.证明证明本讲稿第十七页，共一百页阜师院数科院1.2.3 正态分布的数学期望正态分布的数学期望 定理定理:设连续型随机变量XN(,2),则 E(X)=.证明证明本讲稿第十八页，共一百页阜师院数科院2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理定理:设Y是随机变量X的函数:Y=f(X)(f是连续函数).(1)设离散型随机变量X的概率分布为PX=xk=pk,k=1,2,.(2)设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 若则则有2.1 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望本讲稿第十九页，共

7、一百页阜师院数科院 定理定理:设Z是随机变量X,Y的函数Z=f(X,Y)(f是连续函数).(1)设二维随机向量(X,Y)的分布律为 (2)设二维随机向量(X,Y)的分布密度为p(x,y),若若则则本讲稿第二十页，共一百页阜师院数科院 例例:已知随机变量XN(0,1),求E(X2).解法解法1 先求Y=X2 的概率密度函数:若y0,则所以Y=X2 的概率密度函数为解法解法2再求本讲稿第二十一页，共一百页阜师院数科院例例:设（X,Y）的联合分布律如下，Z=XY，求E(Z).解解 本讲稿第二十二页，共一百页阜师院数科院 例例:设风速V在(0,a)上服从均匀分布,又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数:

8、W=kV2(k0,常数),求W的数学期望.解解 因为随机变量V的密度函数为所以本讲稿第二十三页，共一百页阜师院数科院 例例:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为试求XY的数学期望.解解本讲稿第二十四页，共一百页阜师院数科院 例例:按季节出售的某种应时商品,每售出一公斤获利润b元.如到季末尚有剩余商品,则每公斤净亏损a元.设某商品在季节内这种商品的销售量X(以公斤计)是一随机变量,X在区间(s1,s2)上服从均匀分布.为使商店所获得利润的数学期望最大,问商店应进多少货?解解以s(公斤)表示进货数,进货s所得利润记为Ys(X),则X的概率密度为本讲稿第二十五页，共一百页阜师院数科院由得于是本讲稿第

9、二十六页，共一百页阜师院数科院2.2 数学期望的性质数学期望的性质 1.若aXb,则E(X)存在,且有aE(X)b.特别,若C是常数,则E(C)=C.2.设X,Y是两个随机变量,若E(X),E(Y)存在,则对任意的实数a、b,E(aX+bY)存在,且有 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)此性质可推广到有限个随机变量的线性组合的情况.3.设X,Y是互相独立的随机变量,则有 E(XY)=E(X)E(Y)此性质可推广到有限个互相独立的随机变量之积的情况.本讲稿第二十七页，共一百页阜师院数科院 定理：定理：若aXb,则E(X)存在,且有aE(X)b.特别,若C是常数,则E(C)=C.证明证明(1

10、)设离散型随机向量X分布列为X=xi=pi,i=1,2,则(2)设连续型随机变量X的概率密度为p(x),则(3)因为PX=C=1,故E(C)=E(X)=C1=C本讲稿第二十八页，共一百页阜师院数科院 定理定理:设X,Y是两个随机变量,若E(X),E(Y)存在,则对任意的实数a、b,E(aX+bY)存在,且有 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)证明证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,PX=xi=pi.,i=1,2,PY=yj=p.j,j=1,2,则本讲稿第二十九页，共一百页阜师院数科院(2)设连续型随机向量(X,Y

11、)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x),pY(y)则本讲稿第三十页，共一百页阜师院数科院 定理定理:设X,Y是互相独立的随机变量,则有 E(XY)=E(X)E(Y)证明证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,PX=xi=pi.,i=1,2,PY=yj=p.j,j=1,2,则本讲稿第三十一页，共一百页阜师院数科院(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x),pY(y)则本讲稿第三十二页，共一百页阜师院数科院 例例:一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有

12、10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X).解解:引入随机变量易知X=X1+X2+X10任一旅客在第i站不下车的概率为9/10.因此20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20,在第i站有人下车的概率为1-(9/10)20.即PXi=0=(9/10)20,PXi=1=1-(9/10)20本讲稿第三十三页，共一百页阜师院数科院所以E(Xi)=1-(9/10)20,i=1,2,10进而E(X)=E(X1+X2+X10)=E(X1)+E(X2)+E(X10)=101-(9/10)20=8.784 注注:本题的特点是将X分解为数个随机变量的和,再求数学

13、期望.此种方法具有普遍意义.本讲稿第三十四页，共一百页阜师院数科院解解 例例:设一电路中电流I(安)与电阻R(欧)是两个相互理独立的随机变量,其概率密度分别为求电压V=IR的数学期望.本讲稿第三十五页，共一百页阜师院数科院解解 因此，有 本讲稿第三十六页，共一百页阜师院数科院 又当-1x1时，故得 同理可得 由于 所以X与Y不相互独立 本讲稿第三十七页，共一百页阜师院数科院例例:抛掷6颗骰子，X表示出现的点数之和，求E(X).从而由期望的性质可得 本讲稿第三十八页，共一百页阜师院数科院3 随机变量的随机变量的方差方差 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：易知E(XA)=E(

14、XB)=0.由数学期望无法判别两种手表的优劣.但直觉告诉我们A优于B,怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢?3.1 方差的概念方差的概念 本讲稿第三十九页，共一百页阜师院数科院分析原因：分析原因：A手表之所以优于B手表,是因为A手表的日走时较B手表稳定.其日走时与其日平均误差的偏离程度小.研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的.怎么样去度量这个偏离程度呢?(1)xk-E(X)表示xk与E(X)之间的偏差;(2)EX-E(X)不能反映X与E(X)之间的整体偏差;(3)E|X-E(X)|可以度量X与E(X)之间的整体偏差,但运算不方便;(4)EX-E(X)2可以度量X与E(X)之间的整体偏差,

15、且运算也较方便.本讲稿第四十页，共一百页阜师院数科院 定义：定义：设X是一个随机变量,若EX-E(X)2存在,则称EX-E(X)2为X的方差方差.记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=EX-E(X)2称为X的标准差标准差或均方差均方差.定理定理:证明证明 D(X)=EX-E(X)2 =EX2-2XE(X)+E(X)2 =E(X2)-2E(X)E(X)+E(X)2 =E(X2)-E(X)2本讲稿第四十一页，共一百页阜师院数科院 方差实际上是随机变量X的函数f(X)=X-E(X)2的数学期望.于是 (1)对于离散型随机变量X,若PX=xk=pk,k=1,2,则 (2)对于连续型随机

16、变量X,若其概率密度为p(x),则本讲稿第四十二页，共一百页阜师院数科院 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下表的分布律.问哪种手表质量好些?解解 易知E(XA)=E(XB)=0.所以由于D(XA)D(XB),因此A手表较B手表的质量好.本讲稿第四十三页，共一百页阜师院数科院 例例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X).解解于是,D(X)=E(X2)-E(X)2=1/6本讲稿第四十四页，共一百页阜师院数科院3.2 常见分布的方差常见分布的方差 3.2.1（0-1）分布的方差）分布的方差 定理：定理：若PX=0=q,PX=1=p,则D(X)=pq.证明证明本讲稿第四十五页，共一百

17、页阜师院数科院3.2.2 二项分布的方差二项分布的方差 定理定理:若随机变量X服从二项分布XB(n,p),则 D(X)=npq.证明证明本讲稿第四十六页，共一百页阜师院数科院3.2.3 泊松分布的方差泊松分布的方差 定理：定理：设随机变量X服从泊松分布X(),则D(X)=.证明证明本讲稿第四十七页，共一百页阜师院数科院3.2.4 均匀分布的方差均匀分布的方差 定理定理:设随机变量X服从均匀分布XU(a,b),则D(X)=(b-a)2/12.证明证明本讲稿第四十八页，共一百页阜师院数科院3.2.5 指数分布的方差指数分布的方差 定理定理:设随机变量X服从参数为 的指数分布,则证明证明本讲稿第四十

18、九页，共一百页阜师院数科院3.2.6 正态分布的方差正态分布的方差 定理定理:设随机变量X服从正态分布XN(,2),则D(X)=2.证明证明本讲稿第五十页，共一百页阜师院数科院常见分布的期望和方差表常见分布的期望和方差表 本讲稿第五十一页，共一百页阜师院数科院解法解法1 1 X的边缘密度函数是 故 本讲稿第五十二页，共一百页阜师院数科院 解法解法2 于是 本讲稿第五十三页，共一百页阜师院数科院解解 由于 所以 本讲稿第五十四页，共一百页阜师院数科院3.3 随机变量方差的性质随机变量方差的性质 (1)设C是常数,则D(C)=0 (2)设C是常数,X是随机变量,则有 D(CX)=C2D(X)(3)

19、设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)(5)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C,即 PX=C=1 (4)对于任意常数CE(X),有 D(X)E(X-C)2本讲稿第五十五页，共一百页阜师院数科院 定理定理:D(aX+b)=a2D(X)证明证明 D(aX+b)=E(aX+b)-E(aX+b)2 =E(aX+b)-E(aX)-b2 =EaX-E(aX)2 =Ea(X-E(X)2 =a2EX-E(X)2 =a2D(X)本讲稿第五十六页，共一百页阜师院数科院 定理定理:设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)证明证明 D(X+Y)=

20、E(X+Y)-E(X+Y)2 =E(X-E(X)+(Y-E(Y)2 =E X-E(X)2+PY-E(Y)2 +2EX-E(X)Y-E(Y)由于X,Y相互独立,知X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立,从而有2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X)E Y-E(Y)=0.于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y)本讲稿第五十七页，共一百页阜师院数科院 定理定理:对于任意常数CE(X),有 D(X)0从而有D(X)0,D(Y)0,协方差Cov(X,Y)均存在,则称为随机变量X与Y的相关系数相关系数或标准协方差标准协方差.4.2 相关系数相关系数本讲稿第六十八页，共一百页阜师院数科院 引理引理:对于

21、二维随机向量(X,Y),若E(X2),E(Y2)存在,则有|E(XY)|2E(X2)E(Y2)证明证明:考虑实变量t的二次函数h(t)=E(tX-Y)2=t2 E(X2)-2tE(XY)+E(Y2)因为对一切t,有(tX-Y)20,所以h(t)0.从而二次方程h(t)=0或者没有实根,或者只有重根,因而，由二次方程根的判别式知识得|E(XY)|2E(X2)E(Y2)本讲稿第六十九页，共一百页阜师院数科院4.2.1 相关系数的性质相关系数的性质 性质性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|XY|1.性质性质2:|XY|=1 的充要条件是,存在常数a,b使得PY=a+bX=1.性质性质3:若X与Y相

22、互独立,则XY=0.本讲稿第七十页，共一百页阜师院数科院 性质性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|XY|1.证明证明 令则从而|XY|1.本讲稿第七十一页，共一百页阜师院数科院 性质2:|XY|=1 的充要条件是的充要条件是,存在常数存在常数a,b使得使得PY=aX+b=1证明证明 令由XY2=E(X*Y*)2E(X*)E(Y*)=1 知|XY|=1等价于E(X*Y*)2-E(X*)E(Y*)=0 它又等价于h(t)=E(tX*-Y*)2=0有重根t0.又因为E(t0X*-Y*)=t0E(X*)-E(Y*)=0所以D(t0X*-Y*)=0,由方差的性质知它等价于 Pt0X*-Y*=0=1,即

23、PY=aX+b=1其中a=t0(Y)/(X),b=E(Y)-t0 E(X)(Y)/(X).本讲稿第七十二页，共一百页阜师院数科院 性质性质3:若X与Y相互独立,则XY=0.证明证明 若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y),又 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),所以本讲稿第七十三页，共一百页阜师院数科院4.2.2 相关系数的含义相关系数的含义 考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y.以均方误差e=EY-(a+bX)2 =E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度.e的值越小表示a+bX与Y的近似程度越

24、好.为此令从而得解得本讲稿第七十四页，共一百页阜师院数科院 相关系数只是随机变量间线性关系强弱的一个度量.当|XY|=1 时,说明X与Y间存在着线性关系(除去一个零概率事件以外).当|XY|1 时,这种线性相关程度随着XY的减小而减弱.定义定义:(1)当XY=1 时,称X与Y正线性相关;(2)当XY=-1 时,称X与Y负线性相关;(3)当XY=0时,称X与Y不相关.注注:(1)X与Y不相关,只是意味着X与Y不线性相关,但可能存在着别的函数关系;(2)若XY存在,则当X与Y独立时,X与Y一定不相关;但X与Y不相关时,X与Y不一定独立.本讲稿第七十五页，共一百页阜师院数科院oXYoooXXXYYY

25、01-10=1=-1相关情况示意图本讲稿第七十六页，共一百页阜师院数科院证证 由协方差的定义及数学期望的性质，得 定理定理:4.3 协方差的协方差的关系式关系式本讲稿第七十七页，共一百页阜师院数科院证证 由方差公式及协方差的定义，得 定理定理:本讲稿第七十八页，共一百页阜师院数科院Y X-10100.070.180.1510.080.320.20解解 X与Y的分布律分别为 X-101P0.150.50.35Y01P0.40.6本讲稿第七十九页，共一百页阜师院数科院于是 本讲稿第八十页，共一百页阜师院数科院解解 本讲稿第八十一页，共一百页阜师院数科院则 于是 本讲稿第八十二页，共一百页阜师院数科

26、院 解解 本讲稿第八十三页，共一百页阜师院数科院所以因此本讲稿第八十四页，共一百页阜师院数科院 例例:设随机变量在-,上服从均匀分布,又X=sin,Y=cos试求X与Y的相关系数.解解 这时有这时有Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即=0.从而X与Y不相关,没有线性关系;但是X与Y存在另一个函数关X2+Y2=1,从而X与Y是不独立的.本讲稿第八十五页，共一百页阜师院数科院 性质性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|XY|1.证明证明 由可知本讲稿第八十六页，共一百页阜师院数科院 性质2:|XY|=1 的充要条件是的充要条件是,存在常数存在常数a,b使得使得PY=a+bX=1

27、证明证明:(1)若|XY|=1,则由 (2)若存在常数a*,b*使得PY=a*+b*X=1,则有PY-(a*+b*X)2=0=1.即得E Y-(a*+b*X)2=0,又由即得|XY|=1 本讲稿第八十七页，共一百页阜师院数科院5 独立性与不相关性、矩独立性与不相关性、矩 5.1 独立性与不相关性独立性与不相关性 定理定理:随机变量随机变量X与与Y不相关与下列结论之一等价不相关与下列结论之一等价.1.2.3.本讲稿第八十八页，共一百页阜师院数科院解解 本讲稿第八十九页，共一百页阜师院数科院同理可得 E(Y)=0 于是 即X与Y相关，从而X与Y不独立.本讲稿第九十页，共一百页阜师院数科院Y X-1

28、01-11/61/31/611/601/6解解 X与Y的分布律分别为 X-101P1/31/31/3Y-11P2/31/3本讲稿第九十一页，共一百页阜师院数科院则有 于是 即 亦即X与Y相关.而 故X与Y不相互独立.本讲稿第九十二页，共一百页阜师院数科院 例例:设(X,Y)N(1,2,12,22,),求X和Y的相关系数，并分析X与Y的相关性和独立性.解解设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则因此，X和Y的相关系数当=0时，X与Y不相关.本讲稿第九十三页，共一百页阜师院数科院二维正态分布的联合密度函数为：X与Y的边缘密度函数为：本讲稿第九十四页，共一百页阜师院数科院5.2 随机变量的矩随机变量

29、的矩 定义定义:设设X和和Y是随机变量是随机变量,(1)若若E(Xk)(k=1,2,)存在存在,则称它为则称它为X的的k阶原阶原点矩点矩,简称简称k阶矩阶矩.(2)若若EX-E(X)k(k=1,2,)存在存在,则称它为则称它为X的的k阶阶中心矩中心矩.更一般地更一般地,若若a是一常数是一常数,p是一正数是一正数,如果如果E(X-a)p存存在在,则称它是关于则称它是关于a点的点的p阶矩阶矩.(3)若若E(XkYl)(k,l=1,2,)存在存在,则称它为则称它为X和和Y的的k+l阶混合矩阶混合矩.(4)若若EX-E(X)kY-E(Y)l(k,l=1,2,)存在存在,则称则称它为它为X和和Y的的k+

30、l阶混合中心矩阶混合中心矩.本讲稿第九十五页，共一百页阜师院数科院随机变量X与Y的二阶中心矩共有四个，分别记为：本讲稿第九十六页，共一百页阜师院数科院 定义定义:设n维随机变量(X1,X2,Xn)的二阶混合中心矩cij=Cov(Xi,Xj)=EXi-E(Xi)Xj-E(Xj),i,j=1,2,n,都存在,则称矩阵为n维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵协方差矩阵.本讲稿第九十七页，共一百页阜师院数科院 例例:设X,Y的联合分布列如表所示试求X和Y的协方差矩阵.解解 因为E(X)=0(1-p)+00+10+1p=p,同样E(Y)=p.所以,c11=D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p),同样c22=p(1-p)c12=c21=EX-E(X)Y-E(Y)=(0-p)(0-p)(1-p)+(0-p)(1-p)0+(1-p)(0-p)0+(1-p)(1-p)p=p(1-p)故协方差矩阵为本讲稿第九十八页，共一百页阜师院数科院 例例:设(X,Y)在矩形区域G=(x,y)|axb,cyd上服从均匀分布,试求X和Y的协方差矩阵.解解同样得所以X和Y的协方差矩阵为本讲稿第九十九页，共一百页阜师院数科院 例例:设(X,Y)N(1,2,12,22,),求X和Y的协方差矩阵.解解 因为本讲稿第一百页，共一百页