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1、第六章角动量守恒1本讲稿第一页，共二十九页第六章角动量守恒第六章角动量守恒（一）角动量与力矩（一）角动量与力矩单位单位:量纲量纲:大小大小:方向：由右手定则确定方向：由右手定则确定一、质点的角动量一、质点的角动量O OA AB B角动量角动量:从给定从给定参考点参考点指向质点的位矢指向质点的位矢 与与 质点动量质点动量 的矢积的矢积本讲稿第二页，共二十九页讨论讨论:角动量是相对于给定的角动量是相对于给定的参考点参考点定义的，且定义的，且参考点在所参考点在所选的选的参参考系中必须是固定点。一般把参考点取在坐标原点。这样，才有考系中必须是固定点。一般把参考点取在坐标原点。这样，才有角动量是矢量，可
2、用分量形式表示。角动量是矢量，可用分量形式表示。在直角坐标系中在直角坐标系中其中：其中：O OX XY YZ ZA AB BO第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第三页，共二十九页二、力矩二、力矩作用力作用力F，其作用点的位矢为，其作用点的位矢为r，它对，它对O点点的力矩被定义为的力矩被定义为方向：由右手定则确定方向：由右手定则确定大小大小:在直角坐标系中，其分量表示在直角坐标系中，其分量表示给定参考点第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第四页，共二十九页二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规
3、律上.第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第五页，共二十九页即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩的力矩-质点的角动量定理质点的角动量定理或或表明角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分表明角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分 因因 在数值上等于在数值上等于r 和和 v 为邻边的平行四边形面为邻边的平行四边形面积，也就是积，也就是 r 在单位时间内所掠过的面积（在单位时间内所掠过的面积（掠面速度掠面速度）的）的两倍，故角动量与掠面速度成正比，为掠面速度的两倍，故角动量与掠面速度成正比，为掠面速度的2 2m 倍倍;质点角动
4、量定理系由牛顿定律导出，故它仅适用于惯性质点角动量定理系由牛顿定律导出，故它仅适用于惯性系系.讨论讨论:各量均对各量均对同一参考点同一参考点;vO r第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第六页，共二十九页三、质点的角动量守恒定理三、质点的角动量守恒定理当当 时时,守恒条件守恒条件:孤立质点，孤立质点，F=0=0 力力F 通过定点通过定点O，即有心力，即有心力.当外力矩对定点的某一分量为零时，则当外力矩对定点的某一分量为零时，则 角动量的该分量守恒：角动量的该分量守恒：第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第七页，共二十九页例例6.1 一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑一小球沿竖直的光滑圆
5、轨道由静止开始下滑.求小球求小球在在B点时对环心的角动量和角速度点时对环心的角动量和角速度.解解:力矩分析力矩分析用角动量定理：用角动量定理：BARt=0=0O Omg第六章角动量守恒第六章角动量守恒N（1）又又（2）由（由（1 1）和（）和（2 2）可得）可得本讲稿第八页，共二十九页例题例题6.2 摆长为摆长为l 的锥摆作匀速圆周运动，摆线与铅的锥摆作匀速圆周运动，摆线与铅垂线成垂线成 角，求摆球速率角，求摆球速率.解：如图，在圆锥摆的运动过程解：如图，在圆锥摆的运动过程中，摆球相对支点中，摆球相对支点O的角动量为的角动量为 .L是一个可以绕是一个可以绕z z轴轴旋转的矢量旋转的矢量.将其分
6、解两个分量将其分解两个分量 ,其大小分别为其大小分别为显然，显然，不变，而不变，而 随时间改变随时间改变.如图如图,有有Ozv第六章角动量守恒第六章角动量守恒（）（）本讲稿第九页，共二十九页另一方面，作用于摆球的外力有张力和重力，张力对支点另一方面，作用于摆球的外力有张力和重力，张力对支点O无力矩，而重力矩的方向与圆周半径垂直，其大小为无力矩，而重力矩的方向与圆周半径垂直，其大小为 在式在式两边都除以两边都除以 ，并取，并取 极限，利用角动量极限，利用角动量定理及式定理及式，得，得而而由此解得由此解得第六章角动量守恒第六章角动量守恒（）（）（）（）（）（）（）和（）（）和（）本讲稿第十页，共二
7、十九页（二）质点系角动量定理（二）质点系角动量定理一、质点系角动量定理一、质点系角动量定理 质点系对给定点的角动量等于各质点对该点的角动量的矢量和：质点系对给定点的角动量等于各质点对该点的角动量的矢量和：对对 t 求导，利用质点角动量定理，则得求导，利用质点角动量定理，则得内力对体系的总力矩为零，上式变为内力对体系的总力矩为零，上式变为体系角动量定理的微分形式第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第十一页，共二十九页体系角动量定理的积分形式体系角动量定理的积分形式体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩二、质点系角动量守恒二、质点系角动量
8、守恒当外力对定点的总外力矩为零时，则当外力对定点的总外力矩为零时，则 质点系角动量定理指出，只有外力矩才对体系的角动量变化质点系角动量定理指出，只有外力矩才对体系的角动量变化有贡献有贡献.内力矩对体系角动量变化无贡献，但对角动量在体系内内力矩对体系角动量变化无贡献，但对角动量在体系内的分配是有作用的的分配是有作用的.第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第十二页，共二十九页(3)(3)角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量 守恒定律或能量守恒定律中守恒定律或能量守恒定律中.(2)(2)角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以角动量守
9、恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以 分别守恒分别守恒.（a a）若）若 ，则，则 .（b b）若）若 ,则则 .（c c）若）若 ，则，则 .关于总外力矩关于总外力矩 M=0=0，有三种不同情况：，有三种不同情况：（a a）对于孤立系统，体系不受外力作用）对于孤立系统，体系不受外力作用.（b b）所有外力都通过定点）所有外力都通过定点.（c c）每个外力的力矩不为零，但总外力矩）每个外力的力矩不为零，但总外力矩M=0.=0.讨论：讨论：第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第十三页，共二十九页(三）质心系的角动量定理三）质心系的角动量定理 在处理问题时常采用质心平动系去考察质点系的动力学
10、性在处理问题时常采用质心平动系去考察质点系的动力学性质，那么，如果采用质心参考系，并取质心为参考点时，质质，那么，如果采用质心参考系，并取质心为参考点时，质点系相对于质心的角动量随时间的变化规律将如何表述呢点系相对于质心的角动量随时间的变化规律将如何表述呢?一、质心系中的角动量定理一、质心系中的角动量定理 质心系若为非惯性系，则加上惯性力的力矩，角动量定理质心系若为非惯性系，则加上惯性力的力矩，角动量定理仍适用仍适用.设设 为质心系中体系对质心的总角动量，为质心系中体系对质心的总角动量，为外力对为外力对质心力矩之和，质心力矩之和，为惯性力对质心的力矩之和，则为惯性力对质心的力矩之和，则 由于质
11、心平动系中，作用在各质点的惯性力与质量成正比，方向与质心由于质心平动系中，作用在各质点的惯性力与质量成正比，方向与质心加速度相反，故对质心的力矩为加速度相反，故对质心的力矩为第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第十四页，共二十九页 即质点系相对质心的角动量的时间变化率等于外力相对质即质点系相对质心的角动量的时间变化率等于外力相对质心的外力矩总和心的外力矩总和.注意：质心系角动量定理虽与质点或质点系的角动量定理具注意：质心系角动量定理虽与质点或质点系的角动量定理具 有完全相同的形式，但后者总被强调在惯性系中成立，有完全相同的形式，但后者总被强调在惯性系中成立，而质心即使有加速度，质心系为非惯性
12、系，质心角动而质心即使有加速度，质心系为非惯性系，质心角动 量定理仍成立量定理仍成立.其中其中 为质心系中质心位矢，它必为零，故为质心系中质心位矢，它必为零，故质心系角动量微分形式质心系角动量积分形式第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第十五页，共二十九页二、质心系的角动量守恒二、质心系的角动量守恒 当外力相对质心的总力矩为零时，体系相对质心的角动量为恒量当外力相对质心的总力矩为零时，体系相对质心的角动量为恒量 利用质心系的角动量守恒定理，可以清楚地解释运动员利用质心系的角动量守恒定理，可以清楚地解释运动员的跳水过程的跳水过程.三、体系角动量与质心角动量三、体系角动量与质心角动量在惯性系中，
13、质点系相对于定点的角动量为在惯性系中，质点系相对于定点的角动量为而而 ，代入上式得，代入上式得第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第十六页，共二十九页根据质心的定义，上面后两项为零根据质心的定义，上面后两项为零.于是于是 上式表示体系的角动量等于质心角动量与体系上式表示体系的角动量等于质心角动量与体系相对于质心角动量之和相对于质心角动量之和.质心角动量体系相对质心角动量第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第十七页，共二十九页例题例题6.3 质量为质量为 的两个质点的位矢和速度分的两个质点的位矢和速度分别为别为 和和 ，试求，试求每个质点相对于两每个质点相对于两质点质心的动量质点质心的动量.
14、两质点相对于它们的质心的角动两质点相对于它们的质心的角动量量.解：解：对于由两个质点构成的质点系，引入相对速度对于由两个质点构成的质点系，引入相对速度u考虑到质心系是零动量参考系，即考虑到质心系是零动量参考系，即可得可得第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第十八页，共二十九页 利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为故两个质点相对于它们的质心的角动量为故两个质点相对于它们的质心的角动量为两质点的约化质量第六章角动量守恒第六章角动量守恒由此可得，每个质点相对于质心的动量分别为由此可得，每个质点相对于质心的动量分别为本讲稿第十九页，共二十九页（
15、四）（四）对称性与守恒定律对称性与守恒定律（课外阅读）（课外阅读）一、自然界中的对称性一、自然界中的对称性:物理学的规律是有层次的，层次越深，则规律越基本、越物理学的规律是有层次的，层次越深，则规律越基本、越简单，其适用性也越广泛，但也越不容易被揭示出来。简单，其适用性也越广泛，但也越不容易被揭示出来。对称是自然界固有的一种属性。对称是自然界固有的一种属性。1.1.具有对称结构的树叶具有对称结构的树叶2.2.从离土星从离土星34003400万公里的太空拍摄到的土星照片万公里的太空拍摄到的土星照片3.3.古罗马风格的建筑古罗马风格的建筑4.4.NaClNaCl晶体结构晶体结构第六章角动量守恒第六
16、章角动量守恒本讲稿第二十页，共二十九页第六章角动量守恒第六章角动量守恒二、对称性的有关概念二、对称性的有关概念1.1.系统：研究物体或对象系统：研究物体或对象2.2.状态：系统的性质稳定不变时，称系统处于某种状态；状态：系统的性质稳定不变时，称系统处于某种状态；不同的状态可以是不同的状态可以是“等价的等价的”，也可以是，也可以是“不等价的不等价的”；3.3.变换：使系统从一个状态变到另一个状态的过程，变换：使系统从一个状态变到另一个状态的过程，或称为给了系统一个或称为给了系统一个操作操作；4.4.对称性：在一个操作下，系统从一个状态变化到另一个对称性：在一个操作下，系统从一个状态变化到另一个
17、与之等价的状态，称系统在这个操作下是对称的；与之等价的状态，称系统在这个操作下是对称的；这个操作叫做该系统的一个这个操作叫做该系统的一个对称操作对称操作。或或/2 本讲稿第二十一页，共二十九页三、对称性的种类三、对称性的种类镜象对称镜象对称:如果将中心线设想为一个垂直于图面的平如果将中心线设想为一个垂直于图面的平 面镜与图面的交线，则中心线两边的每一面镜与图面的交线，则中心线两边的每一 半都分别是另一半在平面镜内的像。半都分别是另一半在平面镜内的像。镜象对称又称为左右对称，镜象对称操作镜象对称又称为左右对称，镜象对称操作 称为空间反演操作。称为空间反演操作。平移对称平移对称:如果一个系统发生一
18、平移后，它也和如果一个系统发生一平移后，它也和 原来一模一样，那么该系统具有空间原来一模一样，那么该系统具有空间 平移对称性。平移对称性。转动对称转动对称:如果使一个系统绕某一固定轴转动一个角如果使一个系统绕某一固定轴转动一个角 度，它又和原来一模一样。度，它又和原来一模一样。如果一个形体对通过某一定点的任意轴如果一个形体对通过某一定点的任意轴都都 具有转动对称性，此系统就具有球对称性具有转动对称性，此系统就具有球对称性 ，这个定点是对称中心。具有球对称的系，这个定点是对称中心。具有球对称的系 统，从对称中心出发，具有各向同性。统，从对称中心出发，具有各向同性。第六章角动量守恒第六章角动量守恒
19、本讲稿第二十二页，共二十九页四、物理定律的对称性四、物理定律的对称性 时空操作时空操作：空间操作：平移、转动、镜象反射、空间反演等；空间操作：平移、转动、镜象反射、空间反演等；时间操作：时间平移、时间反演等。时间操作：时间平移、时间反演等。相应的对称性称为时空对称性。相应的对称性称为时空对称性。物理定律的对称性与空间平移对称性、时间平移对称性、物理定律的对称性与空间平移对称性、时间平移对称性、空间转动对称性、镜象对称性等密切相关。空间转动对称性、镜象对称性等密切相关。第六章角动量守恒第六章角动量守恒u物理定律的空间平移不变性物理定律的空间平移不变性在空间某处做一个物理实验，然后将该套实验仪器（
20、连同影响实在空间某处做一个物理实验，然后将该套实验仪器（连同影响实险的一切外部因素）平移到另一处，给予同样的起始条件，实验将险的一切外部因素）平移到另一处，给予同样的起始条件，实验将会以完全相同的形式进行，这就是物理定律的空间平移不变性，又会以完全相同的形式进行，这就是物理定律的空间平移不变性，又叫空间的均匀性。叫空间的均匀性。本讲稿第二十三页，共二十九页u物理定律时间平移不变性物理定律时间平移不变性一个实验只要不改变原始的条件和所使用的仪器，不管是今天一个实验只要不改变原始的条件和所使用的仪器，不管是今天去做还是明天去做。都会得到相同的结果。这事实称为物理定律去做还是明天去做。都会得到相同的
21、结果。这事实称为物理定律的时间平移不变性，又称为时间的均匀性。的时间平移不变性，又称为时间的均匀性。u 物理定律的空间转动不变性物理定律的空间转动不变性物理实验仪器不管在空间如何转向，只要实验条件相物理实验仪器不管在空间如何转向，只要实验条件相同，那未物理实验会以完全相同的方式进行，其物理实体在空间同，那未物理实验会以完全相同的方式进行，其物理实体在空间所有方向上都是相同的，这称为物理定律的空间转动不变性，又所有方向上都是相同的，这称为物理定律的空间转动不变性，又叫空间的各向同性。叫空间的各向同性。第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第二十四页，共二十九页u物理定律的镜像不变性物理定律的镜像
22、不变性假定一只钟在滴答滴答的走着。现在从一面镜子中来看这只钟，镜假定一只钟在滴答滴答的走着。现在从一面镜子中来看这只钟，镜子中出现一只与原来钟左右对调过来的钟。若能实际制造出同镜子中子中出现一只与原来钟左右对调过来的钟。若能实际制造出同镜子中钟的像完全相同的钟，这样就制成了两只实际存在的钟，而且一只钟钟的像完全相同的钟，这样就制成了两只实际存在的钟，而且一只钟是另一只钟的是另一只钟的“像像”。如果两只钟发条上得一样紧，并在相同的条件。如果两只钟发条上得一样紧，并在相同的条件下开始走动。那么事实会证明这两只钟将永远以相同的速率走动，亦下开始走动。那么事实会证明这两只钟将永远以相同的速率走动，亦即
23、它们遵从相同的力学定律即它们遵从相同的力学定律.物理定律的对称性有着深刻的含义。通常我们从运动方程出发讨论守恒物理定律的对称性有着深刻的含义。通常我们从运动方程出发讨论守恒律，然后说明对称性。而在理论物理中，往往以对称性为出发点。律，然后说明对称性。而在理论物理中，往往以对称性为出发点。19051905年人年人们理解了麦克斯韦方程中的对称性，们理解了麦克斯韦方程中的对称性，19091909年爱因斯坦就设想：年爱因斯坦就设想：“为什么我们为什么我们不能将这样的过程倒过来，为什么我们不能从对称性出发建立符合对称性原不能将这样的过程倒过来，为什么我们不能从对称性出发建立符合对称性原则的基本方程，并由
24、此得到和方程符合的实验结果？则的基本方程，并由此得到和方程符合的实验结果？”1954”1954年杨年杨米尔斯米尔斯(YangMills)(YangMills)提出的非阿贝耳规范对称理论是这方面的典范。提出的非阿贝耳规范对称理论是这方面的典范。第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第二十五页，共二十九页五、对称性与守恒定律五、对称性与守恒定律 对应于每一种对称性，都存在一个守恒定律。下表列出了对应于每一种对称性，都存在一个守恒定律。下表列出了物理学中常见的对称性和相应的守恒定律物理学中常见的对称性和相应的守恒定律:对称性（不变性）守恒律 空间平移 动量 时间平移 能量 转动 角动量 空间反演 宇
25、称 时间反演 电荷规范变换 电荷 重子规范变换 重子数 轻子规范变换 轻子数 电荷共轭 电荷宇称 第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第二十六页，共二十九页下面讨论时空对称性与动量守恒定律：下面讨论时空对称性与动量守恒定律：为简单起见，假设一个体系由两个相互作用着的粒子组为简单起见，假设一个体系由两个相互作用着的粒子组成，它们只限于在具有平移对称性的成，它们只限于在具有平移对称性的x轴上运动，如图所示。轴上运动，如图所示。设两粒子的坐标分别为设两粒子的坐标分别为 ，体系的势能为，体系的势能为 当体系发生一平移当体系发生一平移 时，两时，两粒子的坐标分别为粒子的坐标分别为 但两粒子间的距离未变
26、，即但两粒子间的距离未变，即第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第二十七页，共二十九页 空间的平移对称性意味着势能与之无关，即空间平移操作下空间的平移对称性意味着势能与之无关，即空间平移操作下势能保持不变，即势能保持不变，即在这样的条件下，坐标在这样的条件下，坐标1 1和和2 2所受的力分别为所受的力分别为按照力的定义式，则有按照力的定义式，则有 这就是动量守恒定律。因此，从空间平移对称性导出了这就是动量守恒定律。因此，从空间平移对称性导出了动量守恒定律动量守恒定律第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第二十八页，共二十九页本章基本要求本章基本要求1.1.理解角动量和力矩的物理意义，特别是所涉及的矢量关系理解角动量和力矩的物理意义，特别是所涉及的矢量关系.2.2.掌握质点和质点系角动量定理及守恒定律，并能处理一些掌握质点和质点系角动量定理及守恒定律，并能处理一些 实际问题实际问题.3.3.掌握质心系的角动量定理，理解质心系中处理问题的特点掌握质心系的角动量定理，理解质心系中处理问题的特点 及与实验室坐标系的互换关系及与实验室坐标系的互换关系.4.4.了解对称性的意义，及与守恒定律的关系。了解对称性的意义，及与守恒定律的关系。第六章角动量守恒第六章角动量守恒本讲稿第二十九页，共二十九页