2016第十六届中环杯四年级决赛详解.pdf

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1、第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动 四年级决赛 一、填空题 【第 1 题】 计算:_ 【分析与解】 计算:提取公因数 【第 2 题】 一个质数比一个完全平方数小 10,则的最小值为_(说明:完全平方数是指能表示为一个整数的平方数的和,比如,所以 4、9 都是完全平方数) 【分析与解】 数论,质数,完全平方数 若,则不是完全平方数 故是奇数,则也是奇数,为奇数的平方根 比 10 大的奇完全平方数从小到达依次为 是合数 是合数 是质数 故最小是 71 【第 3 题】 如图,三点共线,则的面积为_ 【分析与解】 几何,等积变形 联结 因为 所以 因为 所以 所以 【第 4 题】 三支蜡烛分别

2、能燃烧 30、40、50 分钟(但是不是同时点燃的) 。已知这三支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有 10 分钟, 只有一支蜡烛处于燃烧状态的时间有 20 分钟。 那么正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有_分钟 【分析与解】 正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有分钟 【第 5 题】 将一个的立方体的三个面染红色, 三个面染蓝色 (要求任意三个有公共顶点的面不能全都染同一种颜色) , 然后将其切割成 512 个的小立方体。 这 512 个小立方体中, 有_个小立方体上既有红色面又有蓝色面 【分析与解】 由题意,任意三个有公共顶点的面不能全都染同一种颜色 故不妨设上、下、前染红色,左、右、后染蓝色

3、即在正方体中, 面染红色, 面染蓝色 则红面与蓝面公共的棱上的小立方体上既有红色面又有蓝色面 即这8条棱上的小立方体上既有红色面又有蓝色面 注意到每个顶点的小立方体都被计算了 2 次,即多计算了 1 次 故有个小立方体上既有红色面又有蓝色面 【第 6 题】 在的所有因数中,可以表示为(其中为自然数)的最大因数为_ 【分析与解】 数论,分解质因数,同余 将分解质因数:设 , , , , 故 因为既不是 2 的倍数又不是 3 的倍数 故所求的数既不含质因数 2 又不含质因数 3 相当于求的所有因数中, 可以表示为(其中为自然数) 的最大因数为几? 而 于是我们考虑 故在的所有因数中,可以表示为(其

4、中为自然数)的最大因数为 385 【第 7 题】 在某次数学比赛中, 一共有 6 道题目, 每道题目的分值均为 7 分 (最后每题的得分都是整数,最低为 0 分,最高为 7 分) ,每个参赛者的总分就是 6 道题目得分的乘积,如果两个人的得分相同,就计算 6 道题目得分之和,从而评定名次高低。如果还相同,就算两人并列。在这次比赛中, 一共有位参赛者, 这些参赛者中没有出现并列, 排名为的参赛者的得分为_分 【说明】 此题为错题此题为错题 若两个人 6 道题每题得分完全相同 则 6 道题目得分的乘积相同,6 道题目得分的和也相同 则这两个人的排名相同,即这两个人并列 由题意,这位参赛者中没有出现

5、并列 则这位参赛者每题得分均不完全相同 而每题的得分为 07 的整数,由乘法原理一共有种得分情况 若甲第 16 题得分为,乙第 16 题得分为 甲、乙两人 6 道题目得分的乘积为 0,6 道题目得分的和为 1 则甲、乙两人排名相同,即这两个人并列 这与“这些参赛者中没有出现并列”矛盾 故此题为错题 若将原题中“这些参赛者中没有出现并列”改为“这些参赛者中,任意两人这若将原题中“这些参赛者中没有出现并列”改为“这些参赛者中,任意两人这 6 题的各题的各题得分不完全相同”题得分不完全相同” ,则排名为,则排名为的参赛者的得分为的参赛者的得分为 1 分分 理由如下: 若 6 题中,至少有一题得分为

6、0,则 6 道题目得分的乘积为 0 若 6 题中,没有一题得分为 0,则 6 道题目得分的乘积不为 0 这种情况下,每题的得分为 17 的整数,由乘法原理一共有种得分情况 故排名为的参赛者的得分为乘积最小的正整数 而第 16 题得分为的参赛者,得分为 1 故排名为的参赛者的得分为 1 分 【第 8 题】 如图所示,两条直线与两个圆交于 9 个点,从这 9 个点中选出 4 个点,要求这 4 个点的任意3 个点既不在一条直线上,也不在一个圆圈上,不同的选法有_种 【分析与解】 计数,乘法原理和加法原理 因为这 4 个点中的任意 3 个点不在一条直线上 所以这 4 个点都不是中心点 故这个 4 个点

7、均在这两个圆上 又因为这 4 个点中的任意 3 个点不在一个圆圈上 所以在这 4 个点中,有 2 个点在小圆上,另外 2 个点在大圆上 如果小圆上的 2 个点在一条直线上,有 2 种可能:或 此时,每种情况下对应大圆上的 2 个点有 1 种可能 例如:当小圆上的 2 个点为时,大圆上的 2 个点只能为 如果小圆上的 2 个点不在一条直线上,有 4 种可能:或或或 此时,每种情况下对应大圆上的 2 个点有种可能 例如: 当小圆上的 2 个点为时, 大圆上的 2 个点可能为或或或 综上所述,不同的选法有种 二、填空题 【第 9 题】 四人参加了一个会议, 他们都获得一个相同的正整数, 接下来每人对

8、这个正整数进行描述,每人都说了三句话,其中至少有一句是真话,至少有一句是假话,他们说的话如下: :这个数小于 12 7 不能整除这个数 5 乘以这个数的结果小于 70 12 乘以这个数的结果大于 1000 10 能整除这个数 这个数大于 100 4 能整除这个数 11 乘以这个数的结果小于 1000 9 能整除这个数 这个数小于 20 这个数是一个质数 7 能整除这个数 这个数是_ 【分析与解】 设这个数为 我们把条件整理一下: ;,即 ,即; 是一个质数; 首先,我们注意到与完全相反 若是真话,是假话;即 与中至少有一个是真话 但不可能为是真话,是假话 则是真话;则 故是真话 故是假话 注意

9、到,符合且的正整数只有,而 7 是质数,与“是一个质数”是假话矛盾 故若是假话,是真话;即 7 不能整除 与中至少有一个是假话 但不可能为是真话,是假话 则是假话;则 再对是假话,则 再对进行讨论 若是真话,即 故与都是假话 则是真话;则 但不存在既满足,又满足的正整数 故是假话,即 则是真话,即是一个质数 故、均是假话 则是真话,即 故是假话 则是真话,即 注意到,符合且为质数的只有,即这个数是 89 【第 10 题】 如图,是一个等边三角形,在边上取点,使得,作等边,联 结, 作平 行于 点, 作平 行交 边于 点, 作。若的面积为 45,的面积为 30,则_ 【分析与解】 几何,等积变形

10、,燕尾模型 延长交于点,分别联结 由共边模型,得 又因为 所以 所以 因为 所以 所以 所以 因为 所以 所以 所以 因为 所以 根据燕尾模型, 而注意到, 故 即 【第 11 题】 一个的方格由 25 个的小方格组成,每个小方格都被分成四个相同的等腰三角形,其中三个被涂成了黑色(如图所示) 。小正方形的边如果位于黑色部分,就称为黑边,反之就是白边,在的方格内,相邻(有公共边)小方格的公共边必须是同色的,那么方格的四条边长(如图所示)上最少有_条黑边 【分析与解】 角上的小方格,每个有 2 条边在外面,故其中至少有 1 条是黑边 这样方格的四条长边上,黑边不少于条 每个小方格有 3 条黑边,个

11、小方格一共有条黑边 而在的方格内,相邻(有公共边)小方格的公共边必须是同色的 故内部的黑边的条数为偶数 则四条长边上的黑边的条数为奇数 所以方格的四条长边上,黑边不少于 5 条 如图所示为方格的四条长边上有 5 条黑边的例子 综上所述,方格的四条长边上至少有 5 条黑边 【第 12 题】 如图,在的正方形网格中,两点处各有一只臭虫(点处的臭虫我们称其为臭虫,点处的臭虫我们称其为臭虫) 。臭虫每次走 1 格(向上、向下、向左、向右这四个方向选中一个方向走) 。若臭虫走两个,臭虫走三格,最后臭虫与点的距离小于等于臭虫与点距离的走法有_种 【分析与解】 计数,乘法原理,加法原理,排列,组合 臭虫走

12、2 格 ,最后臭虫距离点 3 格 ,最后臭虫距离点 1 格 或,最后臭虫距离点格(长方形的对角线) 或以及其排列,最后臭虫距离点 1 格 或以及其排列,最后臭冲距离点 1 格 以及其排列,最后臭虫距离点 1 格 最后臭虫距离点 1 格,有种走法 最后臭虫距离点格(长发形的对角线) ,有种走法 最后臭虫距离点 3 格,有 1 种走法 臭虫走 3 格 或或或,最后臭虫距离点 3 格 或或或以及其排列的,最后臭虫距离点 1 格 或或或或或或或以及其排列 最后臭虫距离点格(长方形的对角线) 或或或以及其排列,最后臭虫距离点 1 格 最后臭出距离点 1 格,有种走法 最后臭出距离点格(长方形的对角线)

13、,有种走法 最后抽出距离点 3 格,有 4 种走法 最后臭虫与点的距离小于等于臭虫与点距离 当最后臭出距离点 1 格 则最后臭出距离点 1 格或格(长方形的对角线)或 3 格 有种 当最后臭出距离点格(长方形的对角线) 则最后臭出距离点格(长方形的对角线)或 3 格 有种 当最后臭出距离点的 3 格 则最后臭虫距离点 3 格 有种 综 上 所 述 , 最 后臭 虫 与点 的 距 离 小 于 等 于臭 虫 与点 的 距 离 的 走 法有种 三、动手动脑题 【第 13 题】 甲、乙两车分别从两地同时出发(甲从地出发) ,相向而行。甲、乙两车速度分别为 40 千米/时和 50 千米/时,两地相距 9

14、00 千米。当甲车到达地后立刻调头开回地,速度变为 50 千米/时。当乙车到达地后立刻调头开回地,速度变为 40 千米/时。当甲车到达地后立刻调头开回地, 速度恢复为 40 千米/时。 当乙车到达地后立刻调头开回地,速度恢复为 50 千米/时。依次类推,两车在两地间不断地开来开去,速度也在 40 千米/时与 50 千米/时之间不断地切换。当两车第 2016 次相遇时,甲车一共行驶了多少千米? 【分析与解】 行程问题,多次相遇 甲以 40 千米/时的速度从到,再以 50 千米/时的速度从到 乙以 50 千米/时的速度从到,再以 40 千米/时的速度从到 故甲、乙各走了一个来回用时相等 在甲、乙各

15、走了一个来回的过程中,甲、乙相遇了 2 次 ,若甲、乙各走了 1008 个来回的过程中,甲、乙相遇了 2016 次 从第 2016 次相遇到最后甲、乙同时回到两地这个过程中 甲的速度为 50 千米/时,乙的速度为 40 千米/时 则甲、乙的速度比为 甲、乙的路程比也为 其中甲行驶了 故当两车第 2016 次相遇时,甲车行驶的路程相等于 1008 个来回再去掉这 500 千米,即为 【第 14 题】 老师脑子里想了两个正整数,然后他将的值告诉了,将的值告诉了,接下来,有如下的对话(都知道) 说:我不知道的值 说:给你一个提示,的值不超过 20,一旦你能通过这个提示确定下的值,那么我也就知道的值了 说:我知道的值了 求:和的值了 【分析与解】 逻辑推理 由“不知道的值”可得 将的乘积折成两个正整数的乘积方法不唯一 即既不是 1 也不是质数,为合数 再由“这个提示下,知道了的值”可得 将合数的乘积折成两个和不大于 20 的正整数的乘积方法唯一确定 , , 最后由“在知道了的值之后,也就知道的值”可得 在所列的情况下,分别计算对应两个因数的和,这个和是唯一的 其中,只有“和”只出现一次 故

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