《第十六届中环杯小学数学四年级决赛详解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十六届中环杯小学数学四年级决赛详解.docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动四年级决赛一、填空题【第 1题】计算： 0.2 63 1.9 126 1969 = _+【分析与解】计算：提取公因数0.263+1.9126+1969 0.2 63 1.9(63 2)+1969 = 0.263+ (1.9 2)63+1969=+=0.263+3.863+1969 = (0.2 + 3.8)63+1969 = 463+1969 = 463+ (7 47)9463+ 7 4(79) = 463+ 7463 = (1+ 7) 463 = 8463 = 2016【第 2题】一个质数 a 比一个完全平方数b 小 10，则 a 的最小值为_（说
2、明：完全平方数是指能表示为一个整数的平方数的和，比如 4=22,9=32，所以 、 都是完全平方数）49【分析与解】数论，质数，完全平方数b = 2+10 =12若 a 2 ，则=不是完全平方数故 a 是奇数，则b a 10 也是奇数， 为奇数的平方根=+b比 10 大的奇完全平方数从小到达依次为52 25,72 49,92 81,5-10 =15 = 35是合数9-10 = 39 = 313 是合数1-10 = 71是质数=248故 a 最小是 71【第 3题】如图，C、E、B三点共线，CB AB, AE / /DC, AB = 8,CE = 5，则 DAED 的面积为_【分析与解】几何，等
3、积变形联结 AC因为 AE / /DC 所以 SDAED = SDAEC因为CB AB所以 SDAEC = CE AB 2 = 58 2 = 20所以 SDAED = 20【第 4题】三支蜡烛分别能燃烧 30、40、50分钟（但是不是同时点燃的）。已知这三支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有 10分钟，只有一支蜡烛处于燃烧状态的时间有 20分钟。那么正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有_分钟【分析与解】)- ( + ) = 分钟正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有 30 40 50 10 3 20 1 35(+2【第 5题】将一个8 8的立方体的三个面染红色，三个面染蓝色（要求任意三个有公共顶点
4、的面不能全都染同一种颜色），然后将其切割成 512 个111 的小立方体。这 512 个小立方体中，有_个小立方体上既有红色面又有蓝色面 【分析与解】由题意，任意三个有公共顶点的面不能全都染同一种颜色故不妨设上、下、前染红色，左、右、后染蓝色即在正方体 ABCD EFGH 中，面 EFGH、ABCD、ABEF染红色，面 ADHE、BCGF、DCGH-染蓝色则红面与蓝面公共的棱上的小立方体上既有红色面又有蓝色面即 CD、GH、AE、BF、AD、BC、FG、EH 这 8 条棱上的小立方体上既有红色面又有蓝色面注意到每个顶点的小立方体都被计算了 2 次，即多计算了 1 次故有8 8-8 = 56 个
5、小立方体上既有红色面又有蓝色面【第 6题】(=1 的所有因数中，可以表示为 6k 1（其中 k 为自然数）的最大因数为 )+在11! 11! 11 10_【分析与解】数论，分解质因数，同余将11!分解质因数：设11!=2a 3b 5c 7d 11e112 = 51， 52 = 21， 2 2 =1， a = 5+ 2+1=813=32 ， 33 =1, b = 3+1= 415 = 21， c = 217 =14， d =1111=1,e =1故11!= 28 34 52 71 1111111因为 6k 1既不是 的倍数又不是 的倍数故所求的数既不含质因数 2 又不含质因数 3相当于求52 7
6、1 11 的所有因数中，可以表示为 6k 1（其中 为自然数）的最大因数为几？+231+k而 52 71 111 = 5(mod 6)于是我们考虑5 7 11,5711 385 1 mod 6)= (故在11!的所有因数中，可以表示为 6k +1（其中 k 为自然数）的最大因数为 385 【第 7题】在某次数学比赛中，一共有 6 道题目，每道题目的分值均为 7 分（最后每题的得分都是整数，最低为 0 分，最高为 7 分），每个参赛者的总分就是 6 道题目得分的乘积，如果两个人的得分相同，就计算 6 道题目得分之和，从而评定名次高低。如果还相同，就算两人并列。在这次比赛中，一共有86 = 262
7、144位参赛者，这些参赛者中没有出现并列，排名为 76 =117649 的参赛者的得分为_分【说明】此题为错题若两个人 6 道题每题得分完全相同则 6 道题目得分的乘积相同，6 道题目得分的和也相同则这两个人的排名相同，即这两个人并列由题意，这86 = 262144位参赛者中没有出现并列则这86 = 262144位参赛者每题得分均不完全相同而每题的得分为 07 的整数，由乘法原理一共有86 种得分情况若甲第 16 题得分为 0、0、0、0、0、0、1，乙第 16 题得分为 0、0、0、0、0、1、0甲、乙两人 6 道题目得分的乘积为 0,6 道题目得分的和为 1则甲、乙两人排名相同，即这两个人
8、并列这与“这些参赛者中没有出现并列”矛盾故此题为错题若将原题中“这些参赛者中没有出现并列”改为“这些参赛者中，任意两人这 6 题的各题得分不完全相同”，则排名为 76 =117649 的参赛者的得分为 1 分理由如下：若 6 题中，至少有一题得分为 0，则 6 道题目得分的乘积为 0若 6 题中，没有一题得分为 0，则 6 道题目得分的乘积不为 0这种情况下，每题的得分为 17 的整数，由乘法原理一共有 76 种得分情况故排名为 76 =117649的参赛者的得分为乘积最小的正整数而第 16 题得分为1、1、1、1、1、1的参赛者，得分为 1故排名为 76 =117649的参赛者的得分为 1
9、分【第 8题】如图所示，两条直线与两个圆交于 9 个点，从这 9 个点中选出 4 个点，要求这 4 个点的任意个点既不在一条直线上，也不在一个圆圈上，不同的选法有_种3 【分析与解】计数，乘法原理和加法原理因为这 4 个点中的任意 3 个点不在一条直线上所以这 4 个点都不是中心O点故这个 4 个点均在这两个圆上又因为这 4 个点中的任意 3 个点不在一个圆圈上所以在这 4 个点中，有 2 个点在小圆上，另外 2 个点在大圆上如果小圆上的 2 个点在一条直线上，有 2 种可能： A、C或 B、D此时，每种情况下对应大圆上的 2 个点有 1 种可能例如：当小圆上的 2 个点为 A、C时，大圆上的
10、 2 个点只能为 B、D如果小圆上的 2 个点不在一条直线上，有 4 种可能： A、B 或 B、C 或C、D或 D、A此时，每种情况下对应大圆上的 2 个点有 22 = 4 种可能例如：当小圆上的 2 个点为 A、B 时，大圆上的 2 个点可能为 E、F或 E、H或G、F 或G、H综上所述，不同的选法有 2 1+ 44 =18 种二、填空题第 9题】【A、B、C、D 四人参加了一个会议，他们都获得一个相同的正整数，接下来每人对这个正整数进行描述，每人都说了三句话，其中至少有一句是真话，至少有一句是假话，他们说的话如下：A ： A 这个数小于 12()1() 7) 5A不能整除这个数2A3乘以这
11、个数的结果小于70()12乘以这个数的结果大于 1000B: B1()10B2能整除这个数)100B 这个数大于3 () 4C : C1 能整除这个数(C2 ) 111000乘以这个数的结果小于C3 ) 9能整除这个数(D: D 这个数小于 20()1()D2 这个数是一个质数D3 ) 7能整除这个数这个数是_分析与解】【设这个数为 n我们把条件整理一下：() ( )( )( )( ) B : B 12n 1000 ，即 n 83 ； B 10 n; B n 10013239010; C 9 n()( )( )C : C 4 n; C 11n 1000,n12113() ()()D : D n
12、 20; D n 是一个质数； D 7 n123()( )首先，我们注意到 A 与 D 完全相反23()( )若 D 是真话， A 是假话；即 7 n32()( )A 与 A 中至少有一个是真话13()( )但不可能为 A 是真话， A 是假话13()则 A 是真话；则 n 143()故 D 是真话1()故 D 是假话2注意到，符合 n 14 且 7 n 的正整数只有 n = 7 ，而 7 是质数，与“ D2 n 是一个质数”是假()话矛盾()故若 D 是假话，(A )是真话；即 7 不能整除 n32()( )A 与 A 中至少有一个是假话13 ()( )但不可能为 A 是真话， A 是假话1
13、3()则 A 是假话；则 n 121()再对 A 是假话，则 n 121()再对 D 进行讨论1()若 D 是真话，即12 n 201()( )故 B 与 B 都是假话13()则 B 是真话；则10 n2但不存在既满足12 n 20，又满足10 n的正整数n()故 D 是假话，即 n 201()则 D 是真话，即 n 是一个质数2()( ) ( )故 B 、 C 、 C 均是假话213则 C 是真话，即 20 n 90()2()故 B 是假话3则 B 是真话，即84 n 90()1注意到，符合84 n 90 且 为质数的只有nn =89，即这个数是 89【第 10题】如图， ABC 是一个等边
14、三角形，在联 结 AF ， 作 DG 平 行 AF 于 点 G ， 作 EH 平 行 AF 交 边 AC 于 点 H ， 作G I A、FH J 、A FHJ 。若 DBDF 的面积为 45， DDEF 的面积为 30，则GI HJ =_DBC边上取点D、E，使得BC = 3DE，作等边DDEF，_ 【分析与解】几何，等积变形，燕尾模型延长AF交BC于点K，分别联结AD、AE由共边模型，得BD:DE=S:S=45:30=3:2DBDFDDEFBC=3DE又因为BD:DE:BC=3:2:6所以BD:DE:CE=3:2:1所以ABC= FDE = 60因为所以DF/ABDK:BK=DF:AB=1:
15、3所以所以DK:BD=1:2FED=ACB=60因为所以EF/ACEK:CK=EF:AC=1:3所以EK:CK=1:2所以BD:DE:CE=3:2:1因为3212所以BD:DK:EK:CE=3:1= 6:3:1:2根据燕尾模型，S:S=DK:EK=3:1DADFDAEFS=AFGI2,S=AFHJ2而注意到，DADFDAEFGI:HJ=S:S=3:1故DADFDAEFGJHJ=3即 【第 11题】一个5 5的方格由25个11的小方格组成，每个小方格都被分成四个相同的等腰三角形，其中三个被涂成了黑色（如图 a 所示）。小正方形的边如果位于黑色部分，就称为黑边，反之就是白边，在5 5的方格内，相邻
16、（有公共边）小方格的公共边必须是同色的，那么55方格的四条边长（如图b 所示）上最少有_条黑边 【分析与解】角上的小方格，每个有 2 条边在外面，故其中至少有 1 条是黑边14 = 455方格的四条长边上，黑边不少于条这样3条黑边，55=25个小方格一共有325=75每个小方格有55的方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的而在故内部的黑边的条数为偶数则四条长边上的黑边的条数为奇数55方格的四条长边上，黑边不少于5条所以55方格的四条长边上有5条黑边的例子如图所示为55方格的四条长边上至少有5条黑边综上所述， 【第 12题】如图，在8 8的正方形网格中，A、B两点处各有一只臭虫（A点
17、处的臭虫我们称其为 a 臭虫， B 点处的臭虫我们称其为b 臭虫）。臭虫每次走 1 格（向上、向下、向左、向右这四个方向选中一个方向走）。若 b 臭虫走两个， a 臭虫走三格，最后 b 臭虫与 A 点的距离小于等于 a 臭虫与 A 点距离的走法有_种【分析与解】计数，乘法原理，加法原理，排列，组合b 臭虫走 2 格 ，最后b 臭虫距离 A 点 3 格 ，最后b 臭虫距离 A 点 1 格 或 ，最后b 臭虫距离 A 点 5 格（ 21长方形的对角线）或 以及其排列，最后b 臭虫距离 A 点 1 格或 以及其排列，最后b 臭冲距离 A 点 1 格 以及其排列，最后b 臭虫距离 A 点 1 格最后b
18、臭虫距离A点1格，有1+4P2=9种走法2最后b 臭虫距离 A 点 5 格（ 21长发形的对角线），有 2 + 2 P22 = 6 种走法最后b 臭虫距离 A 点 3 格，有 1 种走法a 臭虫走 3 格 或 或 或 或 或 或 ，最后 a 臭虫距离A点3格以及其排列的，最后 a 臭虫距离A点1格 或 或 或 或 或 或 或 以及其排列 最后 a 臭虫距离 A 点 5 格（ 21长方形的对角线） 或 以及其排列，最后 a 臭虫距离A1或或点格最后a臭出距离A点1格，有4C1C2+4P3=36种走法323最后a臭出距离A点5格（21长方形的对角线），有8C1C2= 24 种走法23最后a抽出距离
19、A点3格，有4种走法最后b 臭虫与 A 点的距离小于等于 a 臭虫与 A 点距离当最后b 臭出距离 A 点 1 格则最后a臭出距离A点1格或5格（21长方形的对角线）或3格(+ )= 36 24 49 64 576=种有9当最后b臭出距离A点5格（21长方形的对角线）则最后a臭出距离A点5格（21长方形的对角线）或3格24 4有 6( + ) =168种当最后b臭出距离A点的3格则最后 a 臭虫距离 A 点 3 格有14 = 4 种综上所述，最后b臭虫与A点的距离小于等于a臭虫与A点的距离的走法有576+168+ 4 = 748 种三、动手动脑题【第 13题】甲、乙两车分别从 A、B 两地同时
20、出发（甲从 A 地出发），相向而行。甲、乙两车速度分别为 40 千米/时和 50 千米/时，A、B 两地相距 900 千米。当甲车到达 B 地后立刻调头开回 A地，速度变为 50 千米/时。当乙车到达 A 地后立刻调头开回 B 地，速度变为 40 千米/时。当甲车到达 A 地后立刻调头开回 B 地，速度恢复为 40 千米/时。当乙车到达 B 地后立刻调头开回 A 地，速度恢复为 50 千米/时。依次类推，两车在 A、B 两地间不断地开来开去，速度也在 40 千米/时与 50 千米/时之间不断地切换。当两车第 2016 次相遇时，甲车一共行驶了多少千米？【分析与解】行程问题，多次相遇甲以 40
21、千米/时的速度从 A 到 B ，再以 50 千米/时的速度从 B 到 A乙以 50 千米/时的速度从 B 到 A ，再以 40 千米/时的速度从 A 到 B故甲、乙各走了一个来回用时相等在甲、乙各走了一个来回的过程中，甲、乙相遇了 2 次20162 =1008，若甲、乙各走了 1008 个来回的过程中，甲、乙相遇了 2016 次从第 2016 次相遇到最后甲、乙同时回到 A、B 两地这个过程中甲的速度为 50 千米/时，乙的速度为 40 千米/时 则甲、乙的速度比为50: 40 5:4=甲、乙的路程比也为5:45+ 4其中甲行驶了900= 500km5故当两车第 2016 次相遇时，甲车行驶的
22、路程相等于 1008 个来回再去掉这 500 千米，即为900( )-1008 2 500 =1813900km【第 14题】D 老师脑子里想了两个正整数 x、y y x 1 ，然后他将 x y 的值告诉了 A ，将 x y 的值( )+告诉了 B ，接下来， A、B 有如下的对话（ A、B 都知道 y x 1）B 说：我不知道 x + y 的值A 说：给你一个提示， x + y 的值不超过 20，一旦你能通过这个提示确定下 x + y 的值，那么我也就知道 x y 的值了B 说：我知道 x + y 的值了求： x 和 y 的值了【分析与解】逻辑推理B不知道x+y的值”可得由“将 x y 的乘
23、积折成两个正整数的乘积方法不唯一即 x y 既不是 1 也不是质数， x y 为合数+再由“ x + y 20这个提示下， B 知道了 x y 的值”可得将合数 x y 的乘积折成两个和不大于 20 的正整数的乘积方法唯一确定1= 37,22 = 211, 25 = 55, 26 = 213, 27 = 39,33 = 311, 34 = 217,35 = 57 ，9 = 313, 44 = 411, 49 = 77,50 = 510,51= 317,52 = 413,54 = 69,55 = 511 ，3 = 79,65 = 513,66 = 611, 75 = 515,77 = 711,
24、80 = 810,81= 99,88 = 811最后由“ B 在知道了 x y 的值之后， A 也就知道 x y 的值”可得在所列的情况下，分别计算对应两个因数的和，这个和是唯一的1= 37 22 = 211 25 = 55 26 = 213 27 = 39 33=311 34 = 217 35 = 5723623+7 =10 2+11=13 5+5 =10 2+13=15 3+9 =12 3+11=14 2+17 =19 5+7 =1239 = 313 44 = 411 49 = 77 50 = 510 51= 317 52 = 413 54 = 69 55 = 5113+13=16 4+1
25、1=15 7 + 7 =14 5+10 =15 3+17 = 20 4+13=17 6+9 =15 5+11=163= 79 65 = 513 66 = 611 75 = 515 77 = 711 80 =810 81= 99 88 =81167+9 =16 5+13=18 6+11=17 5+15 = 20 7 +11=18 8+10 =18 9+9 =18 8+11=19 90=91091= 713 96 =812 99 = 911 100 =10109+10 =19 7 +13= 20 8+12 = 20 9+11= 20 10+10 = 20=13其中，只有“和”只出现一次x=2,y=11故