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1、第7章 二次函数的最值问题【知识衔接】初中知识回顾二次函数的增减性当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少二次函数的最值一般二次函数求最值根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。高中知识链接给定自变量取值范围求二次函数的最值如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。具体归纳如下：1、一元二次函数时
2、，2、一元二次函数在区间m,n上的最值。1°当 ，2°当，3°当时， 4°时， 3、一元二次函数在区间m,n上的最值类比2可求得。【经典题型】初中经典题型1如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)D是抛物线上一点，且在x轴上方则BCD的最大值为 【答案】2已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当abc时，都有y1y2y3，则实数m的取值范围是 【答案】3已知二次函数(b，c为常数)()当b =2，c =-3时，求二次函数
3、的最小值；()当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；()当c=b2时，若在自变量x的值满足bxb+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式【答案】()二次函数取得最小值-4()或来源:学+科+网Z+X+X+K()或()当c=b2时，二次函数的解析式为，它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线分三种情况进行讨论，对称轴位于bxb+3范围的左侧时，即b；对称轴位于bxb+3这个范围时，即bb+3；对称轴位于bxb+3范围的右侧时，即b+3，根据列出的不等式求得b的取值范围，再根据x的取值范围bxb+3、函数的增减性及
4、对应的函数值y的最小值为21可列方程求b的值(不合题意的舍去)，求得b的值代入也就求得了函数的表达式()当c=b2时，二次函数的解析式为它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线若b时，即b0，在自变量x的值满足bxb+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大，故当x=b时，为最小值，解得，(舍去)若bb+3，即-2b0，当x=时，为最小值，解得(舍去)，(舍去)高中经典题型1二次函数的图象如图所示，当1x0时，该函数的最大值是()A3125 B4C2D0【答案】C2已知函数，存在，使得，则的取值范围是_【答案】【解析】根据题意， ，由图象可知， ， ， ，故答案为3已知函数，其中为常数(1)
5、若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；(2)若，都有，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【解析】分析：(1)根据二次函数性质得对称轴不在区间 内，解不等式可得实数的取值范围，(2) 根据二次函数图像得得在x轴上方，即，解得实数的取值范围详解：(1)因为开口向上，所以该函数的对称轴是因此，解得所以的取值范围是(2)因为恒成立，所以，整理得解得因此，的取值范围是4如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是()A(4，3)B(5，)C(4，)D(5，3)【答案】C【分析】连接PC、PO、PA，设点P坐标(m，)
6、，根据SPAC=SPCO+SPOASAOC构建二次函数，利用函数性质即可解决问题【解析】连接PC、PO、PA，设点P坐标(m，)令x=0，则y=，点C坐标(0，)，令y=0则，解得x=2或10，点A坐标(10，0)，点B坐标(2，0)，SPAC=SPCO+SPOASAOC=，x=5时，PAC面积最大值为，此时点P坐标(5，)故选C来源:Zxxk.Com【实战演练】先作初中题 夯实基础A 组1已知二次函数(h为常数)，在自变量x的值满足1x3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为()A1或5B1或5C1或3D1或3【答案】B【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、xh时，
7、y随x的增大而增大、当xh时，y随x的增大而减小，根据1x3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：若h1x3，x=1时，y取得最小值5；若1x3h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可2一次函数与二次函数 交于x轴上一点，则当时，二次函数 的最小值为( )A 15 B -15 C 16 D -16【答案】D【解析】分析：首先根据一次函数得出与x轴的交点坐标，从而得出二次函数的解析式，根据二次函数的增减性得出函数的最值详解：根据一次函数解析式可得与x轴的交点坐标为(5，0)，将(5，0)代入二次函数可得：2510b=0， 解得：b=15，二次函数的解析式为：，在中当x=1时，
8、函数的最小值为16，故选D点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数与x轴的交点坐标问题，属于中等难度题型解决这个问题的关键就是得出一次函数与x轴的交点，从而得出二次函数解析式3二次函数yx22x3，当m2xm时函数有最大值5，则m的值可能为_【答案】0或4【解析】分析：根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量x的值，然后根据m的范围求出m的值即可详解：令y=5，可得x22x3=5，解得x=-2或x=4所以m-2=-2，m=4即m=0或4故答案为：0或4点睛：此题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图像直接得出，第二种配方法，第三种公式法，
9、此题关键是根据最值构造一元二次方程求解4如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y=a(x+m)2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为3，则点D的横坐标的最大值为_【答案】8【解析】分析：当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1，4)，根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B(4，4)，再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值详解：当点C横坐标为3时,抛物线顶点为A(1,4)，对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为x=4
10、,且CD=8,故C(0,0),D(8,0)；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故选：D 点睛：本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键5已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是_【答案】或【解析】分析：将二次函数配方成顶点式，分m<-1、m>2和-1m2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得详解：y=x²2mx=(xm)²m²，若m<1，当x=1时，y=1+2m=2，解得：m=；若m>2，当x=2时
11、，y=44m=2，解得：m=<2(舍)；若1m2,当x=m时,y=m2=2，解得：m=或m=<1(舍)，m的值为或，故答案为：或点睛：本题主要考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解答本题的关键6若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是_【答案】2【解析】分析：根据得到代入所求式子，用配方法即可求出最小值详解： ， 当，即b=0时，的值最小最小值是27在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(1)当m=4时，求n的值；(2)设m=2，当3x0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；(3)当3
12、x0时，若二次函数3x0时的最小值为4，求m、n的值【答案】(1)3(2)-15(3)m=2，n=-3【解析】分析：(1)根据一次函数与x轴的交点，求出A点的坐标，然后把A点坐标和m的值代入可求出n的值；(2)表示出二次函数的对称轴，由m的值以及二次函数的图像与性质得到二次函数的最值；(3)根据函数的对称轴的位置，分类讨论即可求出m、n的值详解：(1)当y=x+3=0时，x=3，点A的坐标为(3，0)二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A，0=93m+n，即n=3m9，当m=4时，n=3m9=3(2)抛物线的对称轴为直线x=，当m=2时，对称轴为x=1，n=3m9=15，当3x0时，y随x的
13、增大而减小，当x=0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为15(3)当对称轴3，即m6时，如图1所示在3x0中，y=x2+mx+n的最小值为0，此情况不合题意；当30，即0m6时，如图2，有，解得：或(舍去)，m=2、n=3；当0，即m0时，如图3，有，解得：(舍去)综上所述：m=2，n=3点睛：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合，正确判断二次函数的对称轴，以及函数的图像与性质，利用二次函数的图像与性质判断其最值是关键，解题时应用到分类讨论思想和方程思想8如图, 已知抛物线经过A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)三点(1)求此抛物线的解析式；(2)此抛物线有最大值还是最小值？请求出
14、其最大或最小值；(3)若点D(2，m)在此抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使得BDP是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由学科-网来源:学§科§网Z§X§X§K【答案】(1)；(2)最大值为；(3)符合条件的点的坐标为或【解析】分析：(1)将A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；(2)由于二次项系数a=-0，所以抛物线有最大值，最大值为，代入计算即可；(3)先将点D(2，m)代入(1)中所求的抛物线的解析式，求出m的值，得到点D的坐
15、标，然后假设在y轴的正半轴上存在点P(0，y)(y0)，使得BDP是等腰三角形，再分三种情况进行讨论：PB=PD；BP=BD；DP=DB；每一种情况都可以根据两点间的距离公式列出关于y的方程，解方程即可详解：(1)将A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入y=ax2+bx+c，得，解得： ，所以此抛物线的解析式为y=-x2+x+4；(2)y=-x2+x+4，a=-0，抛物线有最大值，最大值为；(3)点D(2，m)在抛物线y=-x2+x+4上，m=-×22+2+4=4，D(2，4)，B(4，0)，BD=假设在y轴的正半轴上存在点P(0，y)(y0)，使得BDP是等腰三角形，分三种
16、情况：如果PB=PD，那么42+y2=22+(y-4)2，解得y=，所以P1(0，)；如果BP=BD，那么42+y2=20，解得y=±2(负值舍去)，所以P2(0，2)；如果DP=DB，那么22+(y-4)2=20，解得y=0或8，y=0不合题意舍去，y=8时，(0，8)与D，B三点共线，不合题意舍去；学=科网综上可知，所有符合条件的P点的坐标为P1(0，)，P2(0，2)点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的最值的求法，等腰三角形的性质等知识，难度适中运用分类讨论、方程思想是解题的关键来源:学科网ZXXK再战高中题 能力提升B
17、组1、函数在区间上的最小值是( )A、7B、4C、2D、22、已知函数在闭区间0,m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )来源:学§科§网A、B、0,2C、1,2D、3、如果函数对任意实数都有，那么( )A、B、C、D、4、若，且，那么的最小值为( )A、2B、C、D、05、设是方程的两个实数根，则的最小值是 。6、的最小值是 。7、函数的最大值是 ，最小值是 。8、已知二次函数满足条件和(1)求 (2)在区间1，1上的最大值和最小值。9、已知二次函数，求的最小值。10、设a为实数，函数，求的最小值。B组参考答案：1、C 2、C 3、A 4、B5、1 6、8 7、8、(1) (2) 9、10、当时，当时，当时，