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1、第第 13 章章 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 【知识衔接】 初中知识回顾 正比例函数和一次函数:当0k时,y随x的增大而增大;当0k时,y随x的增大而减小; 反比例函数:当0k时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而减小。 当0k时,函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内,随 x 的增大而增大。 二次函数: 如果自变量的取值范围是21xxx, 那么, 首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内,若在此范围内,则当 x=ab2时,abacy442最值;若不在此范围内,则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性, 如果在此范围内, y 随
2、 x 的增大而增大, 则当2xx 时,cbxaxy222最大, 当1xx 时,cbxaxy121最小;如果在此范围内,y 随 x 的增大而减小,则当1xx 时,cbxaxy121最大,当2xx 时,cbxaxy222最小。学科-网 高中知识链接 函数的单调性函数的单调性 (1)增函数:若对于定义域I内的某个区间D DI上的任意两个自变量1x、2x,当12xx时,都有 12f xf x,那么就说函数 fx在区间D上是增函数增函数;来源:学科网 ZXXK (2)减函数:若对于定义域I内的某个区间D DI上的任意两个自变量1x、2x,当12xx时,都有 12f xf x,那么就说函数 fx在区间D上
3、是减函数减函数 函数的最值函数的最值 1最大值:一般地,设函数 yf x的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的xI,都有 f xM; (2)存在0 xI,使得0f xM 那么,我们称M是函数 yf x的最大值 2最小值:一般地,设函数 yf x的定义域为I,如果存在实数m满足: (1)对于任意的xI,都有 f xm; (2)存在0 xI,使得0f xm学*科网 那么,我们称m是函数 yf x的最小值 【经典题型】 初中经典题型 1下列函数中,对于任意实数, ,当时,满足的是( ) A y=3x+2 B y=2x+1 C y=2x2+1 D y= 【答案】A 当 x0 时,y随 x
4、 的增大而增大,当 x0 时,y随 x 的增大而减小,则对于任意实数 x1,x2,当 x1x2时,足 y1不一定大于 y2,故选项 C 错误, y=, y随 x 的增大而增大,则对于任意实数 x1,x2,当 x1x2时,满足 y1y2,故选项 D 错误, 故选:A 点睛:本题考查二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确一次函数和二次函数图象的变化特点 2下列函数的图像在每一个象限内,值随值的增大而增大的是( ) A B C D 【答案】D 【解析】A 选项:对于一次函数 y=-x+1,k0,函数的图象在每一个象限内,y 值随 x 值的增大而减小,故本选项错误
5、; B 选项:对于二次函数 y=x2-1,当 x0 时,y值随 x 值的增大而增大,当 x0 时,y值随 x 值的增大而减小,故本选项错误; C选项:对于反比例函数 y1x ,k0,函数的图象在每一个象限内,y值随 x 值的增大而减小,故本选项错误; D 选项:对于反比例函数 y1x,k0,函数的图象在每一个象限内,y 值随 x 值的增大而增大,故本选项正确 故选 D 3已知反比例函数 y=,当3x2 时,y 的取值范围是( ) A 0y1 B 1y2 C 2y3 D 3y2 【答案】C 【解析】分析: 由题意易得当3x2 时, 函数的图象位于第二象限, 且 y 随 x 的增大而增大, 再计算
6、出当 x=-3 和 x=-2时对应的函数值,即可作出判断了 4反比例函数myx的图象如图所示,以下结论: 常数 m1; 在每个象限内,y 随 x 的增大而增大; 若 A(1,h),B(2,k)在图象上,则 hk; 若 P(x,y)在图象上,则 P(x,y)也在图象上 其中正确的是( ) A B C D 【答案】C 【解析】反比例函数的图象位于一三象限, m0 故错误;学科!网 当反比例函数的图象位于一三象限时,在每一象限内,y 随 x 的增大而减小,故错误; 将 A(1,h),B(2,k)代入myx得到 h=m,2k=m, m0 hk 故正确;来源:Z&xx&k.Com 将 P
7、(x,y)代入myx得到 m=xy,将 P(x,y)代入myx得到 m=xy, 故 P(x,y)在图象上,则 P(x,y)也在图象上 故正确, 故选:C 5 如图, 抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的开口向上, 与 x 轴交点的横坐标分别为-1、 3, 则下列说法错误的是( ) A 对称轴是直线 x=1 B 方程 ax2+bx+c=0 的解是 x1=-1,x2=3 C 当 x1,y 随 x 的增大而增大 D 当-1x3 时,y0 【答案】C 【解析】A 抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴交点的横坐标分别为-1、3,对称轴是直线1 312x ,故正确; B抛物线 y=ax +bx
8、+c(a0)与 x 轴交点的横坐标分别为1、3,方程 ax +bx+c=0 的根是 x =1,x =3,故正确; C根据图象得抛物线对称轴为 x=1,而抛物线开口方向向上,当 x 416,与题意不符 当 x=1 时,由2241mm1 解得m2,此时2yx25 ,它在2xl 的最大值是 4,与题意相符 当 x= m 时,由224mm1m 解得m3 ,此时2yx34 对2yx34 ,它在2xl 的最大值是 4,与题意相符;对2yx34 ,它在2xl 在 x=1 处取得,最大值小于 4,与题意不符 综上所述,实数 m 的值为 2 或3 故选 C 高中经典题型 1若函数f(x)满足“对任意x1,x2(
9、0,),当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”,则f(x)的解析式可以是( ) A 21()f xx B xf xe C 1f xx D (1)f xln x 【答案】C 【解析】根据条件知,f(x)在(0,)上单调递减 对于 A, 21()f xx 在(1,)上单调递增,排除 A; 对于 B, xf xe在(0,)上单调递增,排除 B; 对于 C, 1f xx在(0,)上单调递减,C 正确; 对于 D, (1)f xln x在(0,)上单调递增,排除 D 2若函数 f(x)x22ax 与 g(x)(a1)1x在区间1,2上都是减函数,则 a 的取值范围是( ) A(1,0) B(1,0)(
10、0,1来源:学,科,网 Z,X,X,K C(0,1) D(0,1 【答案】D 3函数 f(x)13xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_ 【答案】3 【解析】 由于13xy()在 R 上单调递减,2(2)ylogx在1,1上递增,所以 f(x)在1,1上单调递减,故 f(x)在1,1上的最大值为 f(1)3 4求函数 223f xxx 的单调区间 【解析】 2223,023,0 xxxf xxxx 其图象如图所示,所以函数 yf x的单调递增区间为( 1 ,和0,1; 单调递减区间为1,0和1),。 5212log32yxx的递增区间是( ) A,1 B2, C3,2 D3,2 【答案】
11、A 【解析】解不等式2320 xx得1x 或2x ,因此函数212log32yxx的定义域为 ,12,,令232uxx,12logyu,由于内层函数232uxx在,1上单调递增, 外层函数12logyu为单调递减函数,由复合函数得单调性可知,函数212log32yxx的递增区间是,1,故选 A 6函数23xyxe的单调递增区是( ) A,0 B0, C, 3 和1, D3,1 【答案】D 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1正比例函数 y(2k1)x,若 y 随 x 增大而减小,则 k 的取值范围是( ) A k12 B k12 C k12 D k0 【答案】B 【解析】由题意得,
12、 210k , 12k 故选 B 2已知二次函数 y=(xh)2(h 为常数),当自变量 x 的值满足 2x5 时,与其对应的函数值 y 的最大值为1,则 h 的值为( ) A 3或 6 B 1 或 6 C 1 或 3 D 4 或 6 【答案】B 【解析】 【分析】分 h2、2h5 和 h5三种情况考虑:当 h2 时,根据二次函数的性质可得出关于 h的一元二次方程,解之即可得出结论;当 2h5 时,由此时函数的最大值为 0 与题意不符,可得出该情况不存在;当 h5 时,根据二次函数的性质可得出关于 h 的一元二次方程,解之即可得出结论综上即可得出结论 【详解】如图,当 h2 时,有(2h)2=
13、1, 解得:h1=1,h2=3(舍去); 当 2h5 时,y=(xh)2的最大值为 0,不符合题意; 当 h5时,有(5h)2=1, 解得:h3=4(舍去),h4=6, 综上所述:h的值为 1或 6, 故选 B 3一次函数与二次函数 交于 x 轴上一点,则当时,二次函数 的最小值为( ) A 15 B -15 C 16 D -16 【答案】D 4一次函数若随的增大而增大,则的取值范围是_ 【答案】m2 【解析】 【分析】根据图象的增减性来确定(m+2)的取值范围,从而求解来源:学科网 【详解】一次函数 y=(m+2)x+1,若 y随 x的增大而增大, m+20,解得,m2,故答案为:m2 【点
14、睛】本题考查了一次函数的性质,熟练掌握一次函数的增减性质是解题的关键 函数值 y随 x 的增大而减小 k0;函数值 y随 x 的增大而增大 k0 5在一次函数中,如果的值随自变量的值增大而增大,那么的取值范围是_ 【答案】k1 【解析】分析:先根据一次函数的性质:y 随着 x增大而增大得出关于 k 的不等式,求出 k 的取值范围即可 详解:在一次函数中, 的值随自变量的值增大而增大, ,解得 k1 故答案为:k1 6已知反比例函数kyx的图像经过点(-2017,2018),当0 x 时,函数值 y 随自变量 x 的值增大而_(填“增大”或“减小”) 【答案】增大来源:学科网 ZXXK 【解析】
15、反比例函数kyx的图像经过点(-2017,2018), k=-2017 20180 时,y 随 x 的增大而增大 故答案为:增大 7二次函数 yx22x3,当 m2xm 时函数有最大值 5,则 m 的值可能为_ 【答案】0 或 4 【解析】分析:根据二次函数的图像和解析式,判断出函数的最值的自变量 x 的值,然后根据 m 的范围求出 m 的值即可 详解:令 y=5,可得 x22x3=5, 解得 x=-2 或 x=4 所以 m-2=-2,m=4 即 m=0或 4 故答案为:0或 4 点睛:此题主要考查了二次函数的最值,求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图像直接得出,第二种配方法,第三
16、种公式法,此题关键是根据最值构造一元二次方程求解 8下列关于函数2610yxx的四个命题:当0 x 时,y有最小值 10;n为任意实数,3xn时的函数值大于3xn时的函数值; 若3n , 且n是整数, 当1nxn时,y的整数值有(24)n个;若函数图象过点0( ,)a y和0( ,1)b y ,其中0a ,0b ,则ab其中真命题的序号是( ) A B C D 【答案】C 【解析】 试题解析:y=x2-6x+10=(x-3)2+1, 当 x=3 时,y 有最小值 1,故错误; 当 x=3+n 时,y=(3+n)2-6(3+n)+10, 当 x=3-n 时,y=(n-3)2-6(n-3)+10,
17、 (3+n)2-6(3+n)+10-(n-3)2-6(n-3)+10=0, n 为任意实数,x=3+n 时的函数值等于 x=3-n 时的函数值,故错误; 抛物线 y=x2-6x+10 的对称轴为 x=3,a=10, 当 x3 时,y 随 x 的增大而增大, 当 x=n+1 时,y=(n+1)2-6(n+1)+10, 当 x=n 时,y=n2-6n+10, (n+1)2-6(n+1)+10-n2-6n+10=2n-4, n 是整数, 2n-4 是整数,故正确; 抛物线 y=x2-6x+10 的对称轴为 x=3,10, 当 x3 时,y 随 x 的增大而增大,x0 时,y 随 x 的增大而减小,
18、y0+1y0,当 0a3,0b3 时,ab,当 a3,b3 时,ab,当 0a3,b3 时,a,b 的大小不确定,故错误; 故选 C 再战高中题 能力提升 B 组组 1下列函数中,在区间(0,)内单调递减的是( ) Ay1xx Byx2x Cyln xx Dyexx 【答案】A 2定义在 R 上的奇函数 yf(x)在(0,)上递增,且 f120,则不等式 f(log19x)0 的解集为_ 【答案】103xx或13x 【解析】yf(x)是定义在 R 上的奇函数,且 yf(x)在(0,)上递增 yf(x)在(,0)上也是增函数,又 f120,知 f12f120 故原不等式19(log)0fx 可化
19、为191(log)( )2fxf或191(log)()2fxf, 191log2x 或191log02x,解得103x或13x 所以原不等式的解集为103xx或13x 3函数223yxx的单调递增区间为 【答案】1,1和3, 【解析】作出函数223yxx的图象如下图所示, xyO3-11 由图象可知,函数223yxx的单调递增区间为1,1和3, 4已知函数1( )2axf xx在区间2,上为增函数,则实数a的取值范围 【答案】 1(,)2 【解析】函数: 11 2( )22axaf xaxx,由复合函数的增减性可知,若1 2( )2ag xx 在 (-2,+)为增函数,1-2a0, 11 20,2aa 5若函数xaxxxf1)(2在),21(是增函数,则a的取值范围( ) A、3,( B、3,( C、), 3 D、), 3( 【答案】C 6函数21xyx,,xm n的最小值为 0,则m的取值范围是( ) A 1,2 B 1,2 C 1,2 D 1,2 【答案】D 【解析】 因为 23111xf xyxx 在1, 上单调递减, 且 20f, 所以2, 12nm ;故选 D