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1、非正弦周期电流电路第1页，本讲稿共24页5.1 非正弦周期量的傅里叶级数展开非正弦周期量的傅里叶级数展开13.1.1 非正弦周期信号非正弦周期信号线性电路线性电路 且且 一个一个或或多个同频正弦电源多个同频正弦电源，则，则稳态响应稳态响应是是同频的正弦量同频的正弦量。非线性电路非线性电路 或或 非正弦电源非正弦电源 ，则，则稳态响应稳态响应是是非正弦量非正弦量。周期、非周期周期、非周期常见的常见的非正弦周期量非正弦周期量：tTitTi脉脉冲冲波波形形方方波波第2页，本讲稿共24页tTitTi尖顶波尖顶波(如：电机的磁化电流如：电机的磁化电流)半波整流波形半波整流波形tiTtTOuiRDOu二极
2、管整流电路及波形二极管整流电路及波形 第3页，本讲稿共24页非正弦量可分为周期量与非周期量两种非正弦量可分为周期量与非周期量两种 非正弦周期非正弦周期电源作用于电源作用于线性电路线性电路的情况的情况 本章主要讨论本章主要讨论1、将、将非正弦周期电源非正弦周期电源分解成一系列不同频率的正弦量；分解成一系列不同频率的正弦量；(应用周期应用周期函数的傅里叶级数分解方法函数的傅里叶级数分解方法)2、计算在各个正弦量单独作用下的电路的响应；、计算在各个正弦量单独作用下的电路的响应；3、将各个响应按时域形式叠加。、将各个响应按时域形式叠加。(线性电路的叠加定理线性电路的叠加定理)实质就是将非正弦周期电流电
3、路的计算化为一系列正弦电流电路实质就是将非正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算。的计算。线性非正弦周期电流电路的计算方法，即线性非正弦周期电流电路的计算方法，即谐波分析谐波分析(Harmonic Analysis)。其过程。其过程:第4页，本讲稿共24页周期性的电源周期性的电源(信号信号)可以用周期函数表示：可以用周期函数表示：f(t)=f(t+kT)T为周期，为周期，k=0,1,2。由数学分析可知，若由数学分析可知，若f(t)满足狄里赫利条件，则可以展开成收满足狄里赫利条件，则可以展开成收敛的傅里叶级数：敛的傅里叶级数：式中式中13.1.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解
4、为傅里叶级数角频率角频率 傅傅里里叶叶系系数数 第5页，本讲稿共24页式中式中恒定分量恒定分量（或（或直流分量直流分量）Akmcos(k t+k)称称为为f(t)的的k次次谐谐波分波分量量，第第2项项A1mcos(t+1)称为称为1次谐波次谐波(或或基波基波)，周期为，周期为T；其余各项统称为；其余各项统称为高次谐波高次谐波。高次谐波频率是基波的整数倍，习惯上将高次谐波频率是基波的整数倍，习惯上将k为奇数的分量称为奇次谐波，将为奇数的分量称为奇次谐波，将k为偶数为偶数的分量称为偶次谐波。的分量称为偶次谐波。第6页，本讲稿共24页利用周期函数的对称性，可以简化系数利用周期函数的对称性，可以简化系
5、数a0、ak、bk的确定。的确定。tO2T-2Tf(t)tO2T-2Tf(t)偶函数偶函数：f(t)=f(-t)，波形对称于纵轴，则，波形对称于纵轴，则bk=0奇函数奇函数：f(t)=-f(-t)，波形对称于原点，则，波形对称于原点，则ak=0第7页，本讲稿共24页奇谐波函数奇谐波函数：f(t)=f(t+T/2)，波形具有镜对称性，则，波形具有镜对称性，则a2k=b2k=0 tO2T-2Tf(t)函数的奇偶性不仅与函数的奇偶性不仅与波形波形有关，还与有关，还与计时起点计时起点的选择有关，计时起的选择有关，计时起点的选择不同，函数的奇、偶性质也不同。因此适当选择计时起点有点的选择不同，函数的奇、
6、偶性质也不同。因此适当选择计时起点有时会使函数的分解简化。但是函数是否为时会使函数的分解简化。但是函数是否为奇谐波函数奇谐波函数与与计时起点计时起点的选的选择择无关无关，只决定于函数的，只决定于函数的波形是否为半波对称波形是否为半波对称。第8页，本讲稿共24页例例求图中周期性方波信号求图中周期性方波信号f(t)的傅里叶级数展开式。的傅里叶级数展开式。解解求求f(t)在一个周期内的表达式在一个周期内的表达式 f(t )为为奇函数奇函数 =TtTTtUtfm2020)(2d1d)(120200mTmTUtUTttfTa=-=-=为偶数为偶数为奇数为奇数kkkUkkUtkTkUttkUTttktfT
7、bmmTmTmTk02)cos1(2)cos(2dsin2dsin)(2202020 ak=0 第9页，本讲稿共24页傅里叶级数是一个无穷三角级数，实际运算中，只能截取有限的傅里叶级数是一个无穷三角级数，实际运算中，只能截取有限的项数，具体运算时截取多少项，要根据精度的要求和电路的频率项数，具体运算时截取多少项，要根据精度的要求和电路的频率特性来确定。特性来确定。第10页，本讲稿共24页13.2 非正弦周期量的有效值、平非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率均值和平均功率 有效值有效值的一般定义的一般定义(以电流以电流i为例为例)：13.2.1 有效值有效值对于正弦电流对于正弦电流 对于非正弦
8、周期电流，对于非正弦周期电流，假设可以展开成下列傅里叶级数形式：假设可以展开成下列傅里叶级数形式：电流的有效值为电流的有效值为 第11页，本讲稿共24页展开式平方后将得到下列两种类型的积分项：展开式平方后将得到下列两种类型的积分项：一种是谐波自乘一种是谐波自乘积积分项积积分项，一种是谐波交叉乘积积分项一种是谐波交叉乘积积分项，分别为，分别为 谐波交叉乘积积分项为零是根据谐波交叉乘积积分项为零是根据三角函数的正交性三角函数的正交性 第12页，本讲稿共24页非正弦周期电流非正弦周期电流i的有效值为的有效值为 式中式中 为为k次谐波的有效值次谐波的有效值 同理，非正弦周期电压的有效值为同理，非正弦周
9、期电压的有效值为 非正弦周期量的非正弦周期量的有效值有效值等于它的等于它的恒定分量恒定分量与与各次谐波分量有效各次谐波分量有效值值的的平方和的平方根平方和的平方根。第13页，本讲稿共24页平均值平均值的定义的定义(以电流以电流i为例为例)：此此“平均平均”的含义与平均功率中的含义与平均功率中“平均平均”的含义有些不同。的含义有些不同。正弦电流的平均值正弦电流的平均值为为tiO相当于正弦电流经全波整流后相当于正弦电流经全波整流后的平均值的平均值13.2.2 平均值平均值第14页，本讲稿共24页非正弦周期电流的测量非正弦周期电流的测量用不同类型的仪表测量同一个非正弦周期电流，会得到不同的结用不同类
10、型的仪表测量同一个非正弦周期电流，会得到不同的结果：果：(a)磁电系仪表磁电系仪表，偏转角，偏转角 。故测量结果是电流。故测量结果是电流的的恒定分量恒定分量I0。(c)全波整流仪表全波整流仪表，偏转角，偏转角 Iav 。故测量结果是电流的。故测量结果是电流的平平均值均值。(b)电磁系仪表电磁系仪表，偏转角，偏转角 。故测量结果是电流。故测量结果是电流的的有效值有效值I 。因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要注意选择合因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要注意选择合适的仪表。适的仪表。第15页，本讲稿共24页当当 u、i 取关联参考方向，则任意一端口吸收的瞬时功率为：取关联参考方向，则任意一端
11、口吸收的瞬时功率为：5.2.3 平均功率平均功率N Niuu和和i如为同频率的非正弦周期量，其傅里叶级数形式分别为如为同频率的非正弦周期量，其傅里叶级数形式分别为 第16页，本讲稿共24页式中式中即平均功率等于恒定分量的功率和各次谐波平均功率的代数和即平均功率等于恒定分量的功率和各次谐波平均功率的代数和则则平均功率平均功率P为为：(平均功率的定义与前述平均值的定义有所不同平均功率的定义与前述平均值的定义有所不同)利用三角函数的正交性：同利用三角函数的正交性：同频频率率电压电压与与电电流流谐谐波的乘波的乘积积在一个周期在一个周期内内积积分不分不为为零，不同零，不同频频率率电压电压与与电电流流谐谐
12、波的乘波的乘积积上述上述积积分分为为零。化零。化简简可得：可得：若某若某电电阻中流阻中流过过的非正弦周期的非正弦周期电电流的有效流的有效值为值为I,该电该电阻吸收的平均功率阻吸收的平均功率 第17页，本讲稿共24页例例解解已知某一端口网络的端口电压和电流均为非正弦周期量已知某一端口网络的端口电压和电流均为非正弦周期量u、i的有效值分别为的有效值分别为 A V 求此一端口网络端口电压、电流的有效值和吸收的平均功率求此一端口网络端口电压、电流的有效值和吸收的平均功率 一端口网络吸收的平均功率为一端口网络吸收的平均功率为 A V 第18页，本讲稿共24页13.3 非正弦周期电流电路的分析非正弦周期电
13、流电路的分析 1、把给定的把给定的非正弦周期性电源电压或电流非正弦周期性电源电压或电流分解为傅里叶级数，高分解为傅里叶级数，高次谐波取到哪一项，要根据所要求的精度以及电路的频率次谐波取到哪一项，要根据所要求的精度以及电路的频率特性来确定。特性来确定。2、分别计算电路在电源电压或电流的恒定分量和各次谐波分量单独分别计算电路在电源电压或电流的恒定分量和各次谐波分量单独作用下的响应。作用下的响应。如前述，分析非正弦周期电流电路的方法一般用如前述，分析非正弦周期电流电路的方法一般用谐波分析法谐波分析法：在恒定分量作用下在恒定分量作用下，电感等效为短路，电容等效为开路，可应用直流，电感等效为短路，电容等
14、效为开路，可应用直流电阻电路的计算方法求解。电阻电路的计算方法求解。在各次谐波作用下在各次谐波作用下电路为正弦电流电路，可应用相量法求解。应该注电路为正弦电流电路，可应用相量法求解。应该注意的是电感、电容元件对于不同频率的谐波呈现不同的电抗，所以必意的是电感、电容元件对于不同频率的谐波呈现不同的电抗，所以必须分别计算各次谐波的响应。须分别计算各次谐波的响应。第19页，本讲稿共24页3、根据叠加定理，把恒定分量和各次谐波分量响应的瞬时值进行根据叠加定理，把恒定分量和各次谐波分量响应的瞬时值进行叠加，其结果就是电路在非正弦周期电源激励下的稳态响应。叠加，其结果就是电路在非正弦周期电源激励下的稳态响
15、应。注意注意：把表示不同频率正弦电流或电压的相量直接相加是没有意义的。：把表示不同频率正弦电流或电压的相量直接相加是没有意义的。设设基波基波感抗和容抗为感抗和容抗为则对则对k次谐波次谐波，其感抗和容抗为，其感抗和容抗为第20页，本讲稿共24页例例1.RLC串联电路串联电路iuRLCR 11，L 0.015H，C 80F V求电路中的电流求电路中的电流i(t)和电路消耗的功率和电路消耗的功率 解解(1 )直流直流U0 =11V作用作用时时，L为为短路，短路，C为为开路，开路，I0 =0，P0 =0(2)基波作用时基波作用时 所以所以 第21页，本讲稿共24页(3)二次谐波作用时二次谐波作用时 所
16、以所以 电路中的电流电路中的电流i(t)为为 电路消耗的功率为电路消耗的功率为第22页，本讲稿共24页例例2.uSiR 1R 2LI S电路中电路中 R1 1，R 2 3 ，L 2H，IS 4A4A 求电流求电流i的有效值及两个电源各自提供的功率的有效值及两个电源各自提供的功率 解解1、令直流电源单独作用令直流电源单独作用iR 2L I S R 1电流电流i中的直流分量为中的直流分量为 电电流源流源IS的端的端电压电压 电电流源流源IS发发出的平均功率出的平均功率为为 电感短路，电感短路，第23页，本讲稿共24页2、令令uS单单独作用独作用 uSiR 1R 2LI SuSiR 1R 2LuS发发出的平均功率出的平均功率为为 uS和和IS共同作用，有共同作用，有电流电流i的有效值为的有效值为 第24页，本讲稿共24页