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1、第第1212章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路2. 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率非正弦周期函数的有效值和平均功率l 重点重点3. 3. 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算1. 1. 周期函数分解为付里叶级数周期函数分解为付里叶级数12.1 12.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
2、O Ot tiT T脉冲波形脉冲波形方波电压方波电压O Ot tuT TO Ot tuT T2 2T T锯齿波锯齿波12.1 12.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。O Ot tiT T脉冲波形脉冲波形方波电压方波电压O Ot tuT TO Ot tuT T2 2T T锯齿波锯齿波l 非正弦周期交流信号的特点非
3、正弦周期交流信号的特点(1) (1) 不是正弦波不是正弦波 (2) (2) 按周期规律变化按周期规律变化)()(kTtftf 非正弦非正弦周期量周期量( (激励激励) )不同频率不同频率正弦量的和正弦量的和各个正弦量各个正弦量单独作用下单独作用下的响应分量的响应分量非正弦非正弦稳态量稳态量( (响应响应) )FourierFourier正弦稳态分析正弦稳态分析叠加定理叠加定理？l 非正弦周期电路的分析方法非正弦周期电路的分析方法-谐波分析法谐波分析法谐波分析法示意图谐波分析法示意图 谐波分析法的实质是把非正弦周期电流电路的计算化为谐波分析法的实质是把非正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流电
4、路的计算。一系列正弦电流电路的计算。 12.2 12.2 周期函数分解为付里叶级数周期函数分解为付里叶级数展开成付里叶级数：展开成付里叶级数：)()(kTtftf )sin()cos()(11110tbtaatf )2sin()2cos(1212tbta )sin()cos(11tkbtkakk 1110)sin()cos(kkktkbtkaa 其中各个系数按下式求解：其中各个系数按下式求解：22)(1)(100TTdttfTdttfTaT TkdttktfTa01)cos()(2 22)cos()(21TTdttktfT 2011)()cos()(1tdtktf )()cos()(111td
5、tktf), 3 , 2 , 1(k证明证明 0)(sin20ttdk 三角函数具有如下特殊性质三角函数具有如下特殊性质: （1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。 （2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为在一个周期内的积分为 。 )(sin202ttdk（3 3） 三角函数的正交性三角函数的正交性 0)(sinsin 0)(coscos0)(sincos202020 tdtptkttdptkttdptk pk 200)(cos ttdk)(cos202ttdk返回返回 12.2 12.2 周期函数分解为付里叶级数周期函数分解为付里叶级数展开成付里叶级
6、数：展开成付里叶级数：)()(kTtftf )sin()cos()(11110tbtaatf )2sin()2cos(1212tbta )sin()cos(11tkbtkakk 1110)sin()cos(kkktkbtkaa 其中各个系数按下式求解：其中各个系数按下式求解：), 3 , 2 , 1(k TkdttktfTb01)sin()(2 22)sin()(21TTdttktfT 2011)()sin()(1tdtktf )()sin()(111tdtktf 12.2 12.2 周期函数分解为付里叶级数周期函数分解为付里叶级数展开成付里叶级数：展开成付里叶级数：)()(kTtftf )s
7、in()cos()(11110tbtaatf )2sin()2cos(1212tbta )sin()cos(11tkbtkakk 1110)sin()cos(kkktkbtkaa 工程上经常作如下变形：工程上经常作如下变形：), 3 , 2 , 1(k1122122220)sin()cos(kkkkkkkkktkbabtkbaabaa110)cos(kkkmtkAA两种形式系数之间的关系为两种形式系数之间的关系为: :利用函数的对称性可使系数的确定简化利用函数的对称性可使系数的确定简化（1）偶函数）偶函数 T/2t T/2f(t)0 )()( kbtftf T/2t T/2f(t)0 katf
8、tf )()(（2）奇函数）奇函数（3）奇谐波函数）奇谐波函数0 )2()(22 kkbaTtftftf (t)T/2TtT/2TSimI周期性方波信号的分解周期性方波信号的分解例例1解解图示矩形波电流在一个周期内图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：的表达式为：211020mTTmSOIdtITdttiTI /)( 直流分量：直流分量：谐波分量：谐波分量：20) (sin)(1tdtktibSkK为偶数为偶数K为奇数为奇数kItkkImm20)cos1(0)(simI20Tt 0232TtT0sin12)(cos)(2020 tkkItdtktiamSk kIbabAmKKKK222 （K为
9、奇数）为奇数）0arctan KKKba si的展开式为：的展开式为：)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS 三次谐波三次谐波基波基波ttt周期性方波波形分解周期性方波波形分解直流分量直流分量tt谐波合成示意图谐波合成示意图等效电源等效电源IS01si3si5si等效电源示意图等效电源示意图等效等效IS01si3si5sisi)5sin513sin31(sin22tttIIimmStT/2TSimI)5sin513sin31(sin22tttIIimmStT/2TSimI 753 频谱图频谱图tItItIImmmm5sin523sin32sin22tItItIImmmm5s
10、in13. 03sin21. 0sin64. 02mI64. 0mI21. 0Akm0k幅度频谱图幅度频谱图例例2. 2. 求图示周期性矩形信号求图示周期性矩形信号f(t)的的傅里叶级数展开式及其频谱。傅里叶级数展开式及其频谱。Of (t)TT/2 2t1 tEm- Emf(t)在第一个周期内的表达式为在第一个周期内的表达式为解：解：f (t)=Em 0t (T/2)f (t)=Em (T/2)t T则则0)(100 TdttfTa 2011)()cos()(1tdtktfak 011)()cos(1tdtkEm 211)()cos(1tdtkEm0)()cos(2011 tdtkEm 201
11、1)()sin()(1tdtktfbk 011)()sin(1tdtkEm 211)()sin(1tdtkEm 011)()sin(2tdtkEm 01)cos(12tkkEm )cos(1 2 kkEm 为奇数为奇数为偶数为偶数kkEkm 40)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111 tttEtfm 因此可得因此可得 给定函数给定函数 f(t)的部分波形如图所示。为使的部分波形如图所示。为使f(t) 的傅立叶级数中只包含如下的分量：的傅立叶级数中只包含如下的分量：tT/4Of(t)(1) (1) 正弦分量；正弦分量；(2) (2) 余弦分量；余弦分量；(3) (3) 正弦偶次分
12、量；正弦偶次分量；(4) (4) 余弦奇次分量。余弦奇次分量。试画出试画出 f(t) 的波形。的波形。tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2(1) (1) 正弦分量；正弦分量；例例2解解(2) (2) 余弦分量；余弦分量；tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2(3) (3) 正弦偶次分量；正弦偶次分量；(4) (4) 余弦奇次分量。余弦奇次分量。tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2tT/4Of(t)T/2 T/4 T/21. 非正弦周期函数的有效值非正弦周期函数的有效值)cos()(kkkmtkIIti 10若若:则则:TtdtiTI02)(112.3 12.3 有效值、平均值、和平均
13、功率有效值、平均值、和平均功率)(cos12010tdtkIITTkkkm 21220kkmII 222120 IIII三角函数三角函数正交性正交性00)(1IdttiTITAV 则其平均值为：则其平均值为：)cos()(kkktkIIti 10若若2. 非正弦周期函数的平均值非正弦周期函数的平均值12.3 12.3 有效值、平均值、和平均功率有效值、平均值、和平均功率 TdtiuTP01)cos()(ukkkmtkUUtu 10)cos()(ikkkmtkIIti 10利用三角函数的正交性，得：利用三角函数的正交性，得：.)( cos210100 PPPIUIUPikukkkkkk 3. 非
14、正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率12.3 12.3 有效值、平均值、和平均功率有效值、平均值、和平均功率 coscos 22211100 IUIUIUP等效等效I01si3si5sisi)5sin513sin31(sin22tttIIimmStT/2TSimI 12.4 12.4 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路的计算的计算LCRiSI01si3si5sisiLCR1si3si5si0I等效等效 12.4 12.4 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路的计算的计算1. 计算步骤计算步骤（2 2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号利用正弦交流电路的计算方法，对各
15、谐波信号 分别应用相量法计算；分别应用相量法计算； （注意（注意: :交流各谐波的交流各谐波的 XL、XC不同，对直流不同，对直流C 相当于相当于 开路、开路、L相于短路。）相于短路。）（1 1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开 成若干种频率的谐波信号；成若干种频率的谐波信号；（3 3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。将以上计算结果转换为瞬时值迭加。2. 计算举例计算举例例例1 1求求u, 已知：已知：STICLRm28. 6 A157pF1000mH1 20、tT/2TSimIuLCRiS解解（1）已知方波信号的展开式为：）已知方波信号的展开式为：
16、)5sin51 3sin31(sin22tttIIimmSttt)105sin(02 )103sin(3.3310sin1005.786660SI1Si3Si5SimV57. 1105 .7820600 SRIU （2 2） 对对各种频率的谐波分量单独计算：各种频率的谐波分量单独计算：（a) a) 直流分量直流分量 单独单独作用作用电容断路，电感短路电容断路，电感短路: :A5 .780SI（b)b)基波基波 作用作用tis6110sin100 k11010k110100010113611261LC k50)()()()(1RCLRXXXXjRjXjXRZCLCLCL XLRuLCRiSmV2
17、50001050210100(36111）ZIUA10sin10061tis (c)(c)三次三次 谐波作用谐波作用tis63103sin3 .33 03333119.895 .374)()()3(CLCLXXjRjXjXRZ k310103333. 0101000103131361312613LXKCXLC0613319.895 .3742103 .33)3( ZIUSmV2.89247.120 uLCRiSmV)2 .893sin(47.123tu(d)(d)五次谐波五次谐波 作用作用A105sin510065 tis 53.893 .208)5()()5(55551CLCLXXjRjXj
18、XRZ k5101055)K( 2 . 0101000105151361512615LXCXLCmV53.892166. 453.893 .20821020)5(6155 ZIUsuLCRiSmV)53.895sin(166.45tu (3) (3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：各谐波分量计算结果瞬时值迭加：mV)53.895sin(166.4 )2 .893sin(47.12 sin500057.15310tttuuuUumV57. 10UmV2 .89247.123UmV250001UmV53.892166. 45UuLCRiSLCRiSWV*例例2:已知条件同上已知条件同上,求各表的读数
19、求各表的读数例例3 3L LC C0i+ +)(tu1R2R1i2iVtttu)303cos(7 .70)cos(4 .14110)( o11 已知已知 21)1(LXL 1511)1(CXC 51R 102R求各支路电流。求各支路电流。解：解：电压电压u(t)的的直流分量单独作用直流分量单独作用时的电路如下图所示，时的电路如下图所示，此时电感相当于短路，电容相当于开路。此时电感相当于短路，电容相当于开路。C)0(0I+)0(U1R2R)0(1I)0(2I+ARUI25101)0()0(1 AI0)0(2 AIII2)0(2)0(1)0(0 电压电压u u( (t t) )的的基波分量单独作用
20、基波分量单独作用时的电路如下图所示，时的电路如下图所示，此时应使用相量法进行计算，基波的角频率就是此时应使用相量法进行计算，基波的角频率就是1 1。)1(0I+)1(U1R2R)1(1I)1(2I)1(LX)1(CXVtu)cos(4 .1411)1( VUo)1(0100 250100 o)1(1)1()1(1jjXRUIL Ao8 .2155.18 AjjXRUICoo)1(2)1()1(231.5655. 515100100 oo)1(2)1(1)1(031.5655. 58 .2155.18 IIIAo38. 643.20 电压电压u(t)的的三次谐波分量单独作用三次谐波分量单独作用时
21、的电路如下图所时的电路如下图所示，使用相量法进行计算，注意此时的角频率是示，使用相量法进行计算，注意此时的角频率是 31。)3(0I+)3(U1R2R)3(1I)3(2I)3(LX)3(CXVtu)303cos(7 .70o1)3( VUo)3(3050 AjjXRUILoo)3(1)3()3(119.204 . 6653050 AjjXRUICoo)3(2)3()3(257.5647. 4510050 AIIIo)3(2)3(1)3(017.1061. 8 633)1(1)3(LLXLjX 53131)1(1)3(CCXCjX 把以上求得的基波分量、三次谐波分量化为瞬时值，把以上求得的基波分
22、量、三次谐波分量化为瞬时值，属于同一支路的进行相加，可得最终的结果属于同一支路的进行相加，可得最终的结果Atti)19.203cos(24 . 6)8 .21cos(255.182o1o11 Atti)57.563cos(247. 4)31.56cos(255. 5o1o12 Atti)17.103cos(261. 8)38. 6cos(243.202o1o10 R1 1支路吸收的平均功率为支路吸收的平均功率为3)3(1)3(1)1(1)1()0(1)0(1coscos IUIUIUP )19.20(30cos4 . 6508 .21cos55.18100210ooo W194788.204172220 WRIP3 .19455)4 . 655.182(2221211 或者或者 这是因为电路中只有电阻在吸收平均功率，电感和电容吸这是因为电路中只有电阻在吸收平均功率，电感和电容吸收的平均功率都为零。收的平均功率都为零。 补充补充 测量仪表的使用测量仪表的使用 对非正弦周期电流电路的测量，使用不同的测量仪表对非正弦周期电流电路的测量，使用不同的测量仪表将得出不同的结果。将得出不同的结果。磁电系仪表磁电系仪表( (直流仪表直流仪表) )恒定分量恒定分量TidtT01电磁系仪表电磁系仪表有效值有效值TdtiT021全波整流仪表全波整流仪表平均值平均值TdtiT0|1