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1、行列式按行展开行列式按行展开现在学习的是第1页，共40页 内容分布内容分布 一、行列式按一行一、行列式按一行(列列)展开展开 二、行列式按某二、行列式按某k行行(列列)展开展开 基本要求基本要求 利用展开定理计算行列式利用展开定理计算行列式 现在学习的是第2页，共40页 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。问题：一个问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行阶行列式来计算？列式来计算？现在学习的是第3页，共40页 1.4.1 行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开定义定义1.9 在在n
2、阶行列式阶行列式D=|aij|中，去掉元素中，去掉元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列后，余下的列后，余下的n-1阶行列式，称为阶行列式，称为D中元素中元素aij的的余子式余子式,记为记为Mij称称Aij=(-1)i+jMij为元素为元素aij的的代数余子式代数余子式现在学习的是第4页，共40页注：注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。子式。现在学习的是第5页，共40页例如例如 引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式
3、等于 与它的代数余子式的乘积，与它的代数余子式的乘积，即即 现在学习的是第6页，共40页即有即有又又从而从而下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时,（根据（根据P.16例例8的结论）的结论）现在学习的是第7页，共40页我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例.现在学习的是第8页，共40页 被调换到第被调换到第1行，第行，第1列列现在学习的是第9页，共40页 定理定理1.2 行列式行列式D=|aij|等于它的任一行（列）的各元素与等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即或或现在学习的是第10页
4、，共40页证明：证明：i=1,2,n现在学习的是第11页，共40页例例1 分别按第一行与第三列展开行列式分别按第一行与第三列展开行列式 解解（1）按第一行展开）按第一行展开（2）按第三列展开）按第三列展开现在学习的是第12页，共40页由例由例1我们可以看出，按第一行展开计算比按第三列展开计算我们可以看出，按第一行展开计算比按第三列展开计算要简单，这是因为行列式第一行里的零元素相对要多为此，要简单，这是因为行列式第一行里的零元素相对要多为此，在计算行列式时，可以先用行列式的性质将行列式中某一行在计算行列式时，可以先用行列式的性质将行列式中某一行（列）化为仅含有一个非零元，再按此行（列）展开，变为
5、（列）化为仅含有一个非零元，再按此行（列）展开，变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式式现在学习的是第13页，共40页例例2 计算行列式计算行列式解解由于由于D中第三行有一个零元素，并且非零元素中有中第三行有一个零元素，并且非零元素中有1，所以，所以利用行列式的性质，把该行除元素利用行列式的性质，把该行除元素“1”外其余的非零元素外其余的非零元素全化为全化为0，然后按第三行展开，然后按第三行展开现在学习的是第14页，共40页现在学习的是第15页，共40页例例 计算行列式计算行列式解：解：现在学习的是第16页，共40页现在学
6、习的是第17页，共40页例例3 讨论当讨论当k为何值时为何值时 解解所以，当所以，当 且且 时，时，现在学习的是第18页，共40页例例4 求证求证现在学习的是第19页，共40页现在学习的是第20页，共40页现在学习的是第21页，共40页例例5 证明范德蒙行列式证明范德蒙行列式其中，其中，表示全部同类因子的乘积（连乘），注意下标条件的理表示全部同类因子的乘积（连乘），注意下标条件的理解。解。现在学习的是第22页，共40页证明证明 用数学归纳法证明用数学归纳法证明.当当n=2时，时，结论成立结论成立.假设结论对于假设结论对于n-1阶范德蒙德行列式成立，要证结论对阶范德蒙德行列式成立，要证结论对n阶
7、范德蒙阶范德蒙德行列式也成立为此，设法把德行列式也成立为此，设法把Dn降阶降阶 现在学习的是第23页，共40页按第按第1列展开，并把每列的公因子列展开，并把每列的公因子(xi-x1)提出，就得到提出，就得到上式右端的行列式是上式右端的行列式是n-1阶范德蒙德行列式，按归纳假设，阶范德蒙德行列式，按归纳假设，它等于所有它等于所有(xi-xj)因子的乘积因子的乘积,其中其中nij2故故 n1阶范德蒙德行列式现在学习的是第24页，共40页例例 利用范德蒙德行列式计算如下行列式利用范德蒙德行列式计算如下行列式解：解：根据范德蒙德行列式计算公式，有根据范德蒙德行列式计算公式，有现在学习的是第25页，共4
8、0页定理定理1.3 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析分析 我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例.把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应元素，则行的对应元素，则 现在学习的是第26页，共40页定理定理1.2 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即代数余子式乘积之和，即定理定理1.3 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之
9、和等于零，即对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得现在学习的是第27页，共40页例例 设设 ,的的 元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 ，求，求分析分析 利用利用及及现在学习的是第28页，共40页解解现在学习的是第29页，共40页现在学习的是第30页，共40页例例 设设D中中aij元元 的余子式和代数余子式依次记为的余子式和代数余子式依次记为Mij和和Aij，求，求现在学习的是第31页，共40页解解：（1）根据展开定理，表达式为行列式按照第）根据展开定理，表达式为行列式按照第3行展行展开，故开，故（2）表达式为第一行元素与
10、第三行对应元素的代）表达式为第一行元素与第三行对应元素的代数余子式相乘的和，根据定理数余子式相乘的和，根据定理1.3，有，有（3）根据展开定理，表达式为如下行列式的第）根据展开定理，表达式为如下行列式的第1行展开：行展开：现在学习的是第32页，共40页现在学习的是第33页，共40页（4）根据代数余子式和余子式的关系，有）根据代数余子式和余子式的关系，有再根据行列式展开定理，有再根据行列式展开定理，有现在学习的是第34页，共40页1.4.2 行列式按某行列式按某k行（列）展开行（列）展开其中其中i1,ik为为k阶子式阶子式M在在D中的行标，中的行标，j1,jk为为M在在D中的中的列标列标定义定义
11、1.10 在在n阶行列式阶行列式D=|aij|中，任意选定中，任意选定k行行k列列(1kn)，位于这些行和列交叉处的，位于这些行和列交叉处的k2个元素，按原来个元素，按原来的顺序构成一个的顺序构成一个k阶行列式阶行列式M，称为，称为D的一个的一个k阶子式，划阶子式，划去这去这k行行k列，余下的元素按原来的顺序构成列，余下的元素按原来的顺序构成n-k阶行列式阶行列式在其前面冠以符号在其前面冠以符号，称为，称为M的代数余子式的代数余子式现在学习的是第35页，共40页例例选取第选取第1,2行，第行，第1,3列列2阶子式阶子式M的余子式的余子式M的代数余子式余子式的代数余子式余子式现在学习的是第36页
12、，共40页定理定理1.4（拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）定理）在）定理）在n阶行列式阶行列式D中，任中，任意取定意取定k行行(列列)(1kn-1)，由这，由这k行行(列列)组成所有组成所有k阶子式与它阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式们的代数余子式的乘积之和等于行列式D例例 计算计算2n阶行列式阶行列式其中未写出的元素为其中未写出的元素为0现在学习的是第37页，共40页解：解：把把D2n行依次与第行依次与第2n-1行行,第第2行对调（作行对调（作2n-2次相次相邻对换），再把第邻对换），再把第2n列依次与第列依次与第2n-1列列,第第2列对调，列对调，得得以此作递推公式，得以此作递推公式，得现在学习的是第38页，共40页例例6 用用拉普拉斯定理求行列式用用拉普拉斯定理求行列式 的值的值.解解按第一行和第二行展开按第一行和第二行展开 现在学习的是第39页，共40页设设证明递推公式：证明递推公式：证明递推公式：证明递推公式：例例用递推法计算用递推法计算现在学习的是第40页，共40页