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1、1.4 行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开法则三、小结与思考一、余子式、代数余子式一、余子式、代数余子式MMij ij=aij 的余子式的余子式定义定义定义定义 在在n 阶行列式阶行列式 D=|aij|中去掉元素中去掉元素 aij 所在的所在的第第 i 行、第行、第 j 列后，余下的元素按原来的顺序组成列后，余下的元素按原来的顺序组成的的 n-1 阶行列式阶行列式称为称为 aij 的余子式的余子式，记作记作 Mij.则称作则称作 aij 的代数余子式的代数余子式，记作记作 Aij.例如例如 求行列式求行列式 中第一行各元素的代数中第一行各元素的代数余子式余子式.
2、例例1.注：注：本例中本例中这是凑巧吗？这是凑巧吗？解：解：事实上：事实上：定理定理1 行列式行列式 D=|aij|等于它的任意一行（列）的等于它的任意一行（列）的二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则各个元素与其对应的各个元素与其对应的代数余子式代数余子式乘积之和，即乘积之和，即定理定理定理定理2 2 行列式行列式 D=|aij|的某一行（列）的各个元素的某一行（列）的各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即于零，即引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第
3、阶行列式，如果其中第 行所有元行所有元素除素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如由行列式定义，由行列式定义，D 中仅含下面形式的项中仅含下面形式的项其中其中恰是恰是的一般项。的一般项。所以，所以，证明证明(1)当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,得得得得 中的余子式中的余子式从而得从而得于是有于是有定理定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即证证 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）
4、的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即定理定理2：证明：证明：由定理由定理1，行列式等于某一行的元素分别与，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。它们代数余子式的乘积之和。在在中，如果令第中，如果令第 i 行的元素等于行的元素等于另外一行，譬如第另外一行，譬如第 k 行的元素行的元素则，则，第第i i行行右端的行列式含有两个相同的行，值为右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 0。综上，得公式综上，得公式 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个式并
5、不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个（个（n1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。利用行列式按行按列展开定理，并结合行列利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素个非零元素，再按此行（列）展开再按此
6、行（列）展开,变为低一阶变为低一阶的行列式的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。阶行列式。例例2 计算行列式计算行列式解解按按第二行展开，得第二行展开，得例例3 计算行列式的值计算行列式的值 解解例例4 计算行列式计算行列式解解 证明：证明：用用数学归纳法数学归纳法例例5 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式(1)当当n=2时时,结论成立。结论成立。(2)设设n1阶范德蒙德行列式成立，去证阶范德蒙德行列式成立，去证n阶也成立。阶也成立。n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的行列式按行
7、（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结与思考三、小结与思考3.计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：1）利用定义）利用定义;2）利用性质化为三角形行列式）利用性质化为三角形行列式;3）行列式按行（列）展开原则）行列式按行（列）展开原则;4）递推法）递推法;5）数学归纳法）数学归纳法;6）每行和为常数，列相加，再提取公因子）每行和为常数，列相加，再提取公因子;7）相邻两行依次相减，化简行列式）相邻两行依次相减，化简行列式;8）利用已有的结论）利用已有的结论;9）加边法。）加边法。思考题思考题:求求第一行各元素的代数余子式之和第一行各元素的代数余子式之和解解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成:作业：作业：P 40-4240-42 27,28,30(2),31,33,34