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1、行列式按行(列)展开现在学习的是第1页，共23页课前复习课前复习性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.即即 .性质性质性质性质2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.推论推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零则此行列式为零.性质性质性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论2 2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中如果有两行
2、（列）元素成比例，则此行列式为零式为零性质性质4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则这则这个行列式等于两个行列式之和个行列式等于两个行列式之和.性质性质性质性质5 5 5 5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变现在学习的是第2页，共23页 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余余子式子式，叫做元素
3、叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式记作记作现在学习的是第3页，共23页注注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式余子式.即即 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式与它的代数余子式引理引理的乘积，的乘积，一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除证证 当当 位于首位时位于首位时,即即即有即有又又从而从而命题得证命题得证现在学习的是第4页，共23页得得把把 的第的第 行依次与
4、第行依次与第 行，第行，第 行，行，第第1 1行对调行对调下证一般情形下证一般情形,此时此时现在学习的是第5页，共23页得得把把 的第的第 列依次与第列依次与第 列，第列，第 列，列，第第1 1列对调列对调现在学习的是第6页，共23页中的余子式中的余子式注意到：注意到：元素元素 在行列式在行列式中的余子式仍然是中的余子式仍然是 在行列式在行列式现在学习的是第7页，共23页于是有于是有故故即即所以命题得证所以命题得证现在学习的是第8页，共23页 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即证证二、行列式按行（
5、列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则定理定理利用行列式的性质四利用行列式的性质四-拆分原理有拆分原理有现在学习的是第9页，共23页 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的代数余子式乘积之和等于零，即推论推论推论推论命题得证命题得证现在学习的是第10页，共23页把行列式把行列式 按第按第 行展开有行展开有证证把行列式中的把行列式中的 换成换成 可得可得相同相同同理同理命题得证命题得证现在学习的是第11页，共23页关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质现在学习的是第12页，共23页例例1 1计算
6、行列式常用方法：化零，展开计算行列式常用方法：化零，展开.三、应用举例三、应用举例解解现在学习的是第13页，共23页例例2 2第四行各元素余子式之和为第四行各元素余子式之和为分析分析以以 表示表示 中元素中元素 的余子式，则有的余子式，则有现在学习的是第14页，共23页例例3 3现在学习的是第15页，共23页例例4 4计算范德蒙德计算范德蒙德(Vander monde)(Vander monde)行列式行列式将前一行乘以将前一行乘以 加到后一行上加到后一行上解解（从后往前）（从后往前）现在学习的是第16页，共23页按第一列展开，并把每一列的共因子按第一列展开，并把每一列的共因子 提出，有提出，
7、有 n n-1 1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式现在学习的是第17页，共23页现在学习的是第18页，共23页解解每一行提取各行的公因子每一行提取各行的公因子，于是得到，于是得到例例5 5计算计算现在学习的是第19页，共23页 上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n n阶范德蒙行列式，由范德蒙行阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知列式知现在学习的是第20页，共23页四、行列式按某四、行列式按某四、行列式按某四、行列式按某k k行行(列列列列)展开（展开（LaplaceLaplace定理）定理）定理）定理）定义定义定义定义位于这些行和列交叉处的位于这些行和列交叉处的 个元素，按照原来的顺序个元素
8、，按照原来的顺序定义定义行标、列标行标、列标.在在 阶行列式中阶行列式中,任意取定任意取定 行行(列列)构成一个构成一个 阶行列式阶行列式 ，称为，称为 的一个的一个 阶子式阶子式.划去这划去这 行行 列，余下的元素按照原来的顺序列，余下的元素按照原来的顺序构成一个构成一个 阶行列式，称为阶行列式，称为 的的余子式余子式.在其前面在其前面，称为，称为 的的代数余子式代数余子式.冠以符号冠以符号分别为分别为 阶子式在阶子式在 中的中的其中其中行列式行列式共有共有 个个 阶子式阶子式.现在学习的是第21页，共23页例例6 6 求行列式求行列式解解定理定理在在 阶行列式中阶行列式中,取定取定 行行(列列)式的乘积之和等于行列式式的乘积之和等于行列式 .由这由这 行行(列列)组成的所有组成的所有 阶子式与它们的代数余子阶子式与它们的代数余子即即现在学习的是第22页，共23页例例7 7求行列式求行列式每次按第一、最后一行展开每次按第一、最后一行展开解解现在学习的是第23页，共23页