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1、非平稳序列的随机分析第1页，此课件共143页哦本章结构n差分运算nARIMA模型n残差自回归模型n异方差的性质n方差齐性变化n条件异方差模型2第2页，此课件共143页哦5.1 差分运算n差分运算的实质n差分方式的选择n过差分3第3页，此课件共143页哦5.1.1 差分运算的实质n差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法n离散序列的d阶差分就相当于连续变量的d阶求导。Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息4第4页，此课件共143页哦Cramer分解定理（1961）n任何一个时间序列 都可以分解为两部分的叠加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另
2、一部分是平稳的零均值误差成分，即确定性影响随机性影响5第5页，此课件共143页哦Cramer分解定理（1961）n任何一个时间序列 都可以分解为两部分的叠加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即6第6页，此课件共143页哦差分运算的实质 7第7页，此课件共143页哦差分运算的实质n差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息 8第8页，此课件共143页哦5.1.2 差分方式的选择n序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳n现实中的经济指标序列常常表现为指数增长趋势，在分析时一般是对这些指标先取对数，这样既可以方便用线性趋势模型描述，又可以消
3、除异方差参见5.5方差齐性变换的介绍9第9页，此课件共143页哦现实经济指标序列常常表现为指数增长 10第10页，此课件共143页哦差分方式的选择n序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响 n对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息 11第11页，此课件共143页哦例5.1【例1.1】1964年1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算 考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用 12第12页，此课件共143页哦差分前后时序图n原序列时序图n差分后序列时序图13第13页，此课件共143
4、页哦例5.2n尝试提取1950年1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息14第14页，此课件共143页哦差分后序列时序图n一阶差分n二阶差分15第15页，此课件共143页哦例5.3n差分运算提取1962年1月1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息 16第16页，此课件共143页哦差分后序列时序图n一阶差分n1阶12步差分17第17页，此课件共143页哦5.1.3 过差分 n足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息n但过度的差分会造成有用信息的浪费n样本容量减小 n方差变大 18第18页，此课件共143页哦例5.4n假设序列如下 n考察一阶差分后序列和二
5、阶差分序列 的平稳性与方差 19第19页，此课件共143页哦比较n一阶差分n平稳n方差小n二阶差分（过差分）n平稳n方差大20第20页，此课件共143页哦5.2 ARIMA模型nARIMA模型结构nARIMA模型性质nARIMA模型建模nARIMA模型预测n疏系数模型n季节模型21第21页，此课件共143页哦5.2.1 ARIMA模型结构n使用场合n差分平稳序列的拟合n模型结构22第22页，此课件共143页哦ARIMA 模型族nd=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)np=0ARIMA(p,d,q)=IMA(d,q)nq=0ARIMA(p,d,q)=ARI(p,d)nd=1,p=q=
6、0ARIMA(p,d,q)=random walk model23第23页，此课件共143页哦随机游走模型(random walk)n模型结构24第24页，此课件共143页哦5.2.2 ARIMA模型的性质nARIMA模型的平稳性nARIMA模型的方差齐性25第25页，此课件共143页哦ARIMA模型的平稳性nARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单 位 圆 上。所 以 当 时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。n例5.5 随机游走序列ARIMA(0,1,0)时序图26第26页，此课件共143页哦ARIMA模型的方差齐性n 时，原非平稳序列方差非齐性nd 阶
7、差分后，差分后的序列方差齐性27第27页，此课件共143页哦5.2.3 ARIMA模型建模步骤获获得得观观察察值值序序列列平稳性平稳性检验检验差分差分运算运算YN白噪声白噪声检验检验Y分分析析结结束束N拟合拟合ARMA模型模型28第28页，此课件共143页哦例5.6n对1952年1988年中国农业实际国民收入指数序列建模 29第29页，此课件共143页哦一阶差分序列时序图30第30页，此课件共143页哦一阶差分序列自相关图31第31页，此课件共143页哦一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数 统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.134432第32页，此课件共
8、143页哦拟合ARMA模型n偏自相关图33第33页，此课件共143页哦ARIMA(1,1,0)34第34页，此课件共143页哦ARIMA(0,1,1)35第35页，此课件共143页哦建模n定阶nARIMA(0,1,1)n参数估计n模型检验n模型显著n参数显著36第36页，此课件共143页哦5.2.4 ARIMA模型预测n原则n最小均方误差预测原理 nARIMA模型表示成MA()的形式37第37页，此课件共143页哦回顾-ARMA模型的传递形式nARMA模型的传递形式38第38页，此课件共143页哦ARIMA模型预测nARIMA模型Green函数递推公式39第39页，此课件共143页哦回顾-最小
9、均方误差预测40第40页，此课件共143页哦预测值41第41页，此课件共143页哦例5.7n已知ARIMA(1,1,1)模型为 且n求 的95的置信区间 42第42页，此课件共143页哦回顾-ARMA(p,q)序列预测n预测值n预测方差43第43页，此课件共143页哦预测值n等价形式n计算预测值44第44页，此课件共143页哦计算置信区间nGreen函数值n方差n95置信区间45第45页，此课件共143页哦例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测 46第46页，此课件共143页哦5.2.5 疏系数模型nARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最
10、高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：n如果该模型中有部分自相关系数 或部分移动平滑系数 为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。47第47页，此课件共143页哦疏系数模型类型n如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为n 为非零自相关系数的阶数n如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为n 为非零移动平均系数的阶数n如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为48第48页，此课件共143页哦例5.8n对1917年1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模 49第49页，此课件共143页哦一阶差分50第50页，此课件共143页哦
11、自相关图51第51页，此课件共143页哦偏自相关图52第52页，此课件共143页哦53第53页，此课件共143页哦建模n定阶nARIMA(1,4),1,0)n参数估计n模型检验n模型显著n参数显著54第54页，此课件共143页哦5.2.6 季节模型n简单季节模型n乘积季节模型 55第55页，此课件共143页哦简单季节模型n简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系n简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下 56第56页，此课件共143页哦例5.9n拟合19621991年德国工人季度失业率序列 57第57页，此课件共143页哦差分平稳n对
12、原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下 58第58页，此课件共143页哦白噪声检验延迟阶数 统计量P值643.840.00011251.710.00011854.480.000159第59页，此课件共143页哦差分后序列自相关图60第60页，此课件共143页哦差分后序列偏自相关图61第61页，此课件共143页哦62第62页，此课件共143页哦模型拟合n定阶nARIMA(1,4),(1,4),0)n参数估计63第63页，此课件共143页哦拟合效果图64第64页，此课件共143页哦乘积季节模型n使用场合n序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地
13、相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系 n构造原理n短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取n季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取n序列具有季节效应，季节效应本身还具有相关性时，短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下 65第65页，此课件共143页哦乘积季节模型ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)66第66页，此课件共143页哦例5.10:拟合19481981年美国女性月度失业率序列 67第67页，此课件共143页哦差分平稳n一阶、12步差分68第68页，此课件共143页哦差分后序列自相关图69第69页，此课件共143页哦差分后序列偏自相关图
14、70第70页，此课件共143页哦ARIMA(1,12),(1,12),0)71第71页，此课件共143页哦ARIMA(0,(1,12),(1,2,12)72第72页，此课件共143页哦ARIMA(1,12),(1,12),(1,12)73第73页，此课件共143页哦ARIMA(1,1,1)(0,1,1)1274第74页，此课件共143页哦乘积季节模型拟合n模型定阶nARIMA(1,1,1)(0,1,1)12n参数估计75第75页，此课件共143页哦乘积季节模型拟合效果图76第76页，此课件共143页哦5.3 残差自回归nARIMA模型是1970年Box和Jenkins提出来的，现在已经成为最经
15、典的一种时间序列拟合模型。有时也称ARIMA模型为Box-Jenkins模型。nARIMA模型是用差分方法提取确定性信息，差分方法的优点是方法简单，并可以充分提取确定性信息；缺点是很难对差分过程进行直观解释。n当序列具有非常显著的确定性趋势或季节效应时，人们会怀念确定性因素分解方法，因为确定性因素分解方法下对各种确定性效应的解释变得容易，但这种方法不对残差进行分析因而是一种信息的浪费。n残差自回归模型就是在确定性因素分解的基础上，同时还对随机性残差序列进行建模的一种方法。77第77页，此课件共143页哦5.3 残差自回归n构造思想n首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息n然后对残
16、差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息78第78页，此课件共143页哦残差自回归结构79第79页，此课件共143页哦对趋势效应的常用拟合方法n自变量为时间t的幂函数n自变量为历史观察值80第80页，此课件共143页哦对季节效应的常用拟合方法n给定季节指数n建立季节自回归模型81第81页，此课件共143页哦例5.6续n使用残差自回归模型分析1952年1988年中国农业实际国民收入指数序列。n时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以考虑建立如下结构的残差自回归模型 82第82页，此课件共143页哦趋势拟合n方法一：变量为时间t的幂函数n方法二：变量为一阶延迟序列值 注：这个模
17、型不同于AR模型，不要求特征根在单位圆内。83第83页，此课件共143页哦趋势拟合效果图84第84页，此课件共143页哦残差自相关(序列相关)检验n检验原理n回归模型拟合充分，残差的性质n回归模型拟合得不充分，残差的性质85第85页，此课件共143页哦Durbin-Waston检验(DW检验)n假设条件n原假设：残差序列不存在一阶自相关性 n备择假设：残差序列存在一阶自相关性 86第86页，此课件共143页哦DW统计量n构造统计量nDW统计量和自相关系数的关系87第87页，此课件共143页哦DW统计量的判定结果正相关相关性待定不相关相关性待定负相关04288第88页，此课件共143页哦例5.6
18、续 n检验第一个确定性趋势模型 残差序列的自相关性。89第89页，此课件共143页哦DW检验结果n检验结果n检验结论n检验结果显示残差序列高度正自相关。DW统计量的值P值0.13781.421.530.000190第90页，此课件共143页哦Durbin h检验 nDW统计量的缺陷n当回归因子包含延迟因变量时，残差序列的DW统计量是一个有偏统计量。在这种场合下使用DW统计量容易产生残差序列正自相关性不显著的误判 nDurbin h检验91第91页，此课件共143页哦例5.6续n检验第二个确定性趋势模型 残差序列的自相关性。92第92页，此课件共143页哦Dh检验结果n检验结果n检验结论n检验结
19、果显示残差序列高度正自相关。n实际上也可以用Q统计量来检验。Dh统计量的值P值2.80380.002593第93页，此课件共143页哦残差序列拟合n确定自回归模型的阶数n参数估计n模型检验94第94页，此课件共143页哦例5.6续n对第一个确定性趋势模型的残差序列 进行拟合95第95页，此课件共143页哦残差序列自相关图96第96页，此课件共143页哦残差序列偏自相关图97第97页，此课件共143页哦模型拟合n定阶nAR(2)n参数估计方法n极大似然估计n最终拟合模型口径98第98页，此课件共143页哦例5.6n第二个残差自回归模型的拟合结果99第99页，此课件共143页哦三个拟合模型的比较模
20、型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976残差自回归模型一：260.8454267.2891残差自回归模型二：250.6317253.7987100第100页，此课件共143页哦5.4 异方差的性质n异方差的影响n异方差的直观诊断 1982年Engle在分析英国通货膨胀序列时，发现经典的ARIMA模型始终无法取得理想的拟合效果。经过研究他发现问题出现在残差序列具有异方差性。101第101页，此课件共143页哦回顾-ARIMA模型结构n使用场合n差分平稳序列的拟合n模型结构零均值方差齐性纯随机Q统计量、DW统计量Portmanteau Q检验LM检验102第10
21、2页，此课件共143页哦异方差的影响n异方差的定义n如果随机误差序列的方差会随着时间的变化而变化，这种情况被称作为异方差n异方差的影响n忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。103第103页，此课件共143页哦异方差直观诊断n残差图n残差平方图104第104页，此课件共143页哦残差图n方差齐性残差图n递增型异方差残差图105第105页，此课件共143页哦残差平方图n原理n残差序列的方差实际上就是它平方的期望。n所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考察残差平方序列的性质。可以借助残差平方序列
22、关于时间t变化的二维坐标，对残差序列的方差齐性进行直观诊断。n如果满足方差齐性，则意味着残差平方序列 应该在某个常数值 附近随机波动，而不应该表现出任何明显的趋势。106第106页，此课件共143页哦例5.11n直观考察美国1963年4月1971年7月短期国库券的月度收益率序列的方差齐性。107第107页，此课件共143页哦一阶差分后残差图108第108页，此课件共143页哦一阶差分后残差平方图109第109页，此课件共143页哦异方差处理方法n假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化n假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型 110第110页，此课件共143页哦5.5 方差齐性变
23、换n使用场合n序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具有某种函数关系 其中：是某个已知函数n处理思路n尝试寻找一个转换函数 ，使得经转换后的变量满足方差齐性111第111页，此课件共143页哦转换函数的确定原理n转换函数 在 附近作一阶泰勒展开n求转换函数的方差n转换函数的确定112第112页，此课件共143页哦转换函数的确定n实践中，很多金融时间序列都呈现出异方差的性质，比较常见的异方差表现形式是：序列水平低时，波动小；序列水平高时，波动大。即序列标准差与其水平之间具有某种正比关系。113第113页，此课件共143页哦常用转换函数的确定n假定n转换函数的确定现实中的经济序列通常都先对其进
24、行对数变换然后才进行一系列的模型分析，其目的之一就是为了实现方差齐性。114第114页，此课件共143页哦例5.11续n对美国1963年4月1971年7月短期国库券的月度收益率序列使用方差齐性变换方法进行分析 n假定n函数变换115第115页，此课件共143页哦对数序列时序图116第116页，此课件共143页哦一阶差分后序列图117第117页，此课件共143页哦白噪声检验延迟阶数LB统计量P值63.580.73371210.820.54411821.710.2452118第118页，此课件共143页哦拟合模型口径及拟合效果图119第119页，此课件共143页哦5.6 条件异方差模型nARCH模
25、型nGARCH模型nGARCH模型的变体nEGARCH模型nIGARCH模型nGARCH-M模型nAR-GARCH模型120第120页，此课件共143页哦ARCH模型n当序列的标准差与其水平值之间具有某种正比关系时，对数变换就可以消除异方差性。n但是，还有很多时间序列的异方差性即使通过对数变化也无法化解。n为了更加精确的估计异方差函数，Engle于1982年提出了ARCH模型(autoregressive conditional heteroskedastic，自回归条件异方差模型)。121第121页，此课件共143页哦ARCH模型n考虑残差平方序列的自相关系数n原理n在残差平方序列存在序列相
26、关的条件下 ，可以通过构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数n而对于残差平方序列不存在序列相关的情况 则还没有有效的方法提取其中的异方差信息。122第122页，此课件共143页哦ARCH模型nARCH(q)模型结构n 的异方差性通过下式得到了很好的刻画n即 的条件方差取决于 的已知值。123第123页，此课件共143页哦GARCH 模型结构n使用场合nARCH模型实际上适用于异方差函数短期自相关过程 nGARCH模型实际上适用于异方差函数长期自相关过程(Bollerslov于1985年提出广义自回归条件异方差模型)nGARCH(p,q)模型结构124第124页，此课件共143页哦GARC
27、H模型的约束条件n为了保证 的方差和条件方差为正数且有界，以及 为纯随机序列，要求GARCH模型满足：n参数非负 n参数有界 125第125页，此课件共143页哦GARCH模型的约束条件nBollerslov(1986)证明GARCH过程是平稳的 则126第126页，此课件共143页哦EGARCH模型Nelson于1991年提出指数GARCH模型，放宽了参数非负的约束127第127页，此课件共143页哦IGARCH模型128第128页，此课件共143页哦GARCH-M模型序列均值与条件方差之间具有某种相关关系129第129页，此课件共143页哦AR-GARCH模型对残差序列 拟合GARCH模型有个基本要求：为零均值，纯随机，异方差序列。130第130页，此课件共143页哦GARCH模型拟合步骤n回归拟合n残差自相关性检验n异方差检验(方差自相关性检验)nARCH模型定阶n参数估计n正态性检验131第131页，此课件共143页哦例5.12n使用条件异方差模型拟合某金融时间序列。132第132页，此课件共143页哦回归拟合n拟合模型n参数估计n参数显著性检验nP值0且011。143第143页，此课件共143页哦