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1、第五章非平稳序列的随机分析本章结构n差分运算nARIMA模型nAuto-Regressive模型n异方差的性质n方差齐性变化n条件异方差模型5.1 差分运算n差分运算的实质n差分方式的选择n过差分差分运算的实质n差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法nCramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息n差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息 差分方式的选择n序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳 n序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响 n对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好
2、地提取周期信息 例5.1【例1.1】1964年1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算 考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用 差分前后时序图n原序列时序图n差分后序列时序图例5.2n尝试提取1950年1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息差分后序列时序图n一阶差分n二阶差分例5.3n差分运算提取1962年1月1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息 差分后序列时序图n一阶差分n1阶12步差分过差分 n足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息n但过度的差分会造成有用信息的浪费 例5.4n假设序列如下 n考察一
3、阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差 比较n一阶差分n平稳n方差小n二阶差分（过差分）n平稳n方差大5.2 ARIMA模型nARIMA模型结构nARIMA模型性质nARIMA模型建模nARIMA模型预测n疏系数模型n季节模型ARIMA模型结构n使用场合n差分平稳序列拟合n模型结构ARIMA 模型族nd=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)nP=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)nq=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)nd=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk model随机游走模型(random walk)n模型结构n模型产生典故n
4、Karl Pearson(1905)在自然杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？ARIMA模型的平稳性nARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当 时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。n例5.5ARIMA(0,1,0)时序图ARIMA模型的方差齐性n 时，原序列方差非齐性nd阶差分后，差分后序列方差齐性ARIMA模型建模步骤获获得得观观察察值值序序列列平稳性平稳性检验检验差分差分运算运算YN白噪声白噪声检验检验Y分分析析结结束束N拟合拟合ARMA模型模型例5.
5、6n对1952年1988年中国农业实际国民收入指数序列建模 一阶差分序列时序图一阶差分序列自相关图一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数 统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344拟合ARMA模型n偏自相关图建模n定阶nARIMA(0,1,1)n参数估计n模型检验n模型显著n参数显著ARIMA模型预测n原则n最小均方误差预测原理 nGreen函数递推公式预测值例5.7n已知ARIMA(1,1,1)模型为 且n求 的95的置信区间 预测值n等价形式n计算预测值计算置信区间nGreen函数值n方差n95置信区间例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期1
6、0年的预测 疏系数模型nARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：n如果该模型中有部分自相关系数 或部分移动平滑系数 为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。疏系数模型类型n如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为n 为非零自相关系数的阶数n如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为n 为非零移动平均系数的阶数n如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为例5.8n对1917年1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模 一阶差分自相关图偏自相关图建模n定阶nA
7、RIMA(1,4),1,0)n参数估计n模型检验n模型显著n参数显著季节模型n简单季节模型n乘积季节模型 简单季节模型n简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系n简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下 例5.9n拟合19621991年德国工人季度失业率序列 差分平稳n对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下 白噪声检验延迟阶数 统计量P值643.840.00011251.710.00011854.480.0001差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图模型拟合n定阶nARIMA(1,4),(1
8、,4),0)n参数估计模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数 统计量P值待估参数 统计量P值62.090.71915.480.00011210.990.3584-3.410.0001拟合效果图乘积季节模型n使用场合n序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系 n构造原理n短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取n季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取n假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下 例5.10:拟合19481981年美国女性月度失业率序列 差分平稳n一阶、12步差分差分后序列自相关
9、图差分后序列偏自相关图简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA(1,12),(1,12)值P值 值P值 值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著乘积季节模型拟合n模型定阶nARIMA(1,1,1)(0,1,1)12n参数估计模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数 统计量P值待估参数 统计量P值64.500.2120-4.660.0001129.420.400223.030.00011820.580.1507-6.81
10、0.0001结果模型显著参数均显著乘积季节模型拟合效果图5.3 Auto-Regressive模型n构造思想n首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息n然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息 Auto-Regressive模型结构对趋势效应的常用拟合方法n自变量为时间t的幂函数n自变量为历史观察值对季节效应的常用拟合方法n给定季节指数n建立季节自回归模型例5.6续n使用Auto-Regressive模型分析1952年1988年中国农业实际国民收入指数序列。n时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以考虑建立如下结构的Auto-Regressive模型 趋
11、势拟合n方法一：变量为时间t的幂函数n方法二：变量为一阶延迟序列值 趋势拟合效果图残差自相关检验n检验原理n回归模型拟合充分，残差的性质n回归模型拟合得不充分，残差的性质Durbin-Waston检验（DW检验）n假设条件n原假设：残差序列不存在一阶自相关性 n备择假设：残差序列存在一阶自相关性 DW统计量n构造统计量nDW统计量和自相关系数的关系DW统计量的判定结果正相关相关性待定不相关相关性待定负相关042例5.6续 n检验第一个确定性趋势模型 残差序列的自相关性。DW检验结果n检验结果n检验结论n检验结果显示残差序列高度正自相关。DW统计量的值P值0.13781.421.530.0001
12、Durbin h检验 nDW统计量的缺陷n当回归因子包含延迟因变量时，残差序列的DW统计量是一个有偏统计量。在这种场合下使用DW统计量容易产生残差序列正自相关性不显著的误判 nDurbin h检验例5.6续n检验第二个确定性趋势模型 残差序列的自相关性。Dh检验结果n检验结果n检验结论n检验结果显示残差序列高度正自相关。Dh统计量的值P值2.80380.0025残差序列拟合n确定自回归模型的阶数n参数估计n模型检验例5.6续n对第一个确定性趋势模型的残差序列 进行拟合残差序列自相关图残差序列偏自相关图模型拟合n定阶nAR(2)n参数估计方法n极大似然估计n最终拟合模型口径例5.6n第二个AutoRegressive模型的拟合结果三个拟合模型的比较模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976AutoRegressive模型一：260.8454267.2891AutoRegressive模型二：250.6317253.7987