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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 9.6 两个平面垂直的判定和性质（一）高二数学 田茂成教案目标 一 学问教案点 1两个平面垂直的定义、画法2两个平面垂直的判定定理 二 才能训练点 1应用演绎的数学方法懂得并把握两个平面垂直的定义2把握两个平面垂直的判定定理的证明过程,培育同学严格的规律推理,增强同学分 析、解决问题的才能3利用转化的方法把握和应用两个平面垂直的判定定理 三 德育渗透点 1懂得并把握两个平面垂直定义的过程是培育同学从一般到特别的思维方法的过程2让同学熟悉到把握两个平面垂直的判定定理是人类生产实践的需要,并且应用于实 践,进一步培育同学理论与实践相结合的观点教案重
2、点、难点 1教案重点：把握两个平面垂直的判定2教案难点：把握两个平面垂直的判定及应用教与学的过程 一 复习平面角的有关学问 师：什么是二面角的平面角？生：以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角师：一般地,作二面角的平面角有哪几种方法？生：三种一是利用定义；二是利用三垂线 师：下面我们来做道练习 幻灯显示 逆 定理；三是利用棱的垂面已知：二面角 -AB- 等于 45 , CD ,DAB, CDB45 求： CD与平面 所成的角生证明：作 CO 交 于点 O,连结 DO,就 CDO为 DC与 所成的角过点 O作 OEAB于 E,连结
3、CE,就 CEAB, CEO为二面角 -AB- 的平面角,即CEO=45 COOE,OCOE,1 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - CDO=30 即 DC与 成 30 角师点评：此题涉及到直线与平面所成角的范畴0 ,90 以及利用三垂线定理查找二面角的平面角事实上,利用三垂线定理作二面角的平面角是最常用,也是最有效的一种方 法 二 两个平面垂直的定义、画法 师：两个平面垂直是两个平面相交的特别情形,日常我们见到的墙面和地面、以及一个 长方体中,相邻的两个面都是相互垂直的那么,什么是两个平面相互垂直呢？生：
4、两个平面相交,假如所成的二面角是直二面角,就说这两个平面相互垂直师：回答得很好这个定义与平面几何里的两条直线相互垂直的定义相类似,也是用它 们所成的角是直角来定义知道了两个平面相互垂直的概念如何画它们呢？生：如图 1-128,把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直记作 练习： P.45 中练习 1 画相互垂直的两个平面、两两垂直的三个平面如图 1-129 三 两个平面垂直的判定 师：判定两个平面相互垂直,除了定义外,仍有下面的判定定理两个平面垂直的判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面 相互垂直2 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13
5、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求证： 师提示：要证明两个平面相互垂直,只有依据两个平面相互垂直的定义,证明由它们组 成的二面角是直二面角,因此必需作出它的一个平面角,并证明这个平面角是直角如何作平面角呢？依据平面角的定义,可以作让同学独自写出证明过程BECD,使 ABE为二面角 -CD- 的平面角证明：设 a =CD,就 BCDABCD在平面 内过点 B作直线 BECD,就 ABE是二面角 -CD- 的平面角,又 ABBE,即二面角 -CD- 是直二面角 师：两个平面垂直的判定定理,不仅是判定两个平面相互垂直的依据,而且是找出垂直 于一个平面的另一个平面的依据如：建筑工
6、人在砌墙时,常用一端系有铅锤的线来检查所 砌的墙面是否和水平面垂直 图见课本 P.43 中图 1-49 ,实际上,就是依据这个原理另外,这个定理说明要证明面面垂直,实质上是转化为线面垂直来证明下面我们来做 一道练习 五 总结 本节课我们讲解了两个平面垂直的定义、画法及判定方法判定方法有两种,一是利用 定义,二是利用判定定理如何应用两个平面垂直的判定定理,把面面垂直的问题转化为线 面垂直的问题是本节课学习的关键五、作业 P46 中习题六 6、7、8、101 9.6 两个平面垂直的判定和性质（二）教案目标1. 使同学把握两个平面垂直的性质定理及其证明 题；. 并能应用判定定理和性质定懂得决简洁问2
7、. 通过两个定理的两种引入方式,培育同学观看,归纳、猜想、证明的科学思维方式及辩证 思维才能 . 教案重点和难点 性质定理的引入及证明 . 教案用具3 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 两个相互垂直的平面,一根直的细木棍 . 教案设计过程师: 上一节课我们学习了面面垂直的定义和判定面面垂直的定理. 假如两个平面相交,所成的二面角是直二面角,就说这两个平面相互垂直 . 判定定理是用来判定两个平面垂直的方法 . 请问判定定理是如何表达的呢 . 生: 假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直
8、 . 师: 好. 应用定理的关键是在其中一个平面中查找另一个平面的垂线 . 下面我们一起来解决 上节课留的摸索题 . 板书 如图,四边形 BCDE是正方形, AB面 BCDE,就图中所示 7 个平面中,有几对平面互 相 垂直. 生: 共 7 组. AB面 BCDE,所以 面 ABE面 BCDE,面 ABC面 BCDE,面 ABD面 BCDE,且 ABBC,ABCE,ABCD. 又正方形 BCDE,所以 BC BE,所以 BC 面 ABE. 由于 面 ABC面 ABE,由于 DE BC,所以 DE 面 ABE,故 面 ADE面 ABE. 又 CD BC,由于 CD 面 ABC,所以 面 ACD面
9、 ABC. 又 CE BD,所以 CE 面 ABD,故 面 ACE面 ABD. 师: 通过对此题的讨论,我们对判定定理有了更深化的懂得 有哪些性质 . 4 / 13 . 下面我们一起来讨论面面垂直名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 生: 两个平面相互垂直,所成的二面角是直二面角 . 师: 很好. 这是由定义的双重性得到的,定义既供应了两个平面垂直的判定方法,又指出了 两个平面相互垂直的性质 . 上节课我们由线面垂直,推出面面垂直,也就是面面垂直的判定 定理. 那么现在从面面垂直动身,能否得到线面垂直呢 . 取出教具,
10、并拿细木棍在其中一个面上移动 生: 当棍与棱垂直时,棍与另一平面垂直 . 师: 很好. 假如棍与棱不垂直时,棍与面垂直吗 . 生: 不垂直 . 师: 好. 也就是说只有当棍与棱垂直时,棍才与面垂直 垂直呢 . . 那么是不是与棱垂直,就肯定与面保持棍与棱相交垂直,将棱移开平面,使之与平面不垂直 生: 不是,棍必需在平面内 . 师: 意思是说当棍在面内时,假如棍与棱垂直,就它与面垂直. 好,请你整理一下刚才的想法,该怎样表达这个命题的内容呢 .留意面面垂直的大前提 . 生: 假如两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 . 师: 很好,下面我们一起来完成命题的证明. 先
11、分析命题的条件和结论,然后画出图形,再结合图形,用符号语言表达已知,求证 . 生: 已知如图, , =AB,CD ,CDAB. 求证:CD . 师: 这个命题的结论是线面垂直 看看哪个方法最适合 . . 考虑已学过的判定线面垂直的方法有哪些,由此题的已知生: 由已知 CDAB,AB在 内,想证 CD ,只需在 内再找一条直线与 CD垂直. 师: 很好. 但 内没有这样的直线 . 应当怎样作出这条直线呢 . 生: 由于 ,依据定义作出这个二面角的平面角,就是 90 . 在平面 内,过 D作 DEAB,由于 CD AB,CDE是 -AB- 的平面角,所以 又 ,所以CDE=90即 CDDE. 又
12、AB ,DE ,故 CD . 5 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 师: 好. 利用两个平面垂直的定义,作出直线CDAB,最终证明白 AB . 它就是面面垂直的性质定理 . 也可称为线面垂直的判定定理 . 板书 剖析:1 2 为判定或作出线面垂直供应依据 . 师: 这个定理由面面垂直动身,借助于线线垂直,结论是线面垂直. 给我们供应明白决线面垂直的一种新的思路查找面面垂直. 这一点也是这肯定理最突出的作用. 师: 下面连续来看,保持面面垂直的条件不变,交换一下命题的条件和结论,看看结论是否 有价值 . 与
13、同学一起分析得出 命题 1 , =AB,CD ,CD ,就 CDAB. 命题 2 , =AB,CDAB,CD ,就 CD . 师: 命题 1,由 AB ,CD ,可得 CDAB,与 的大前提无关,不做讨论 . 命题 2,条件重复,去掉 CDAB.这个结论正确吗 . 上, 取出教具,保持棍与面垂直,将棍移出平面,引导同学说出棍上必需有一个点在面 才可以保证棍在面内 师: 好,修改一下命题 . 擦去 ABCD,添加 C ,或 D 师: 现在的命题正确吗 .要证直线在平面内,直接证法是依据公理1,需要在直线上找到两点在平面内 . 已知只有一点 C ,再找合题意的点很困难 . 应当采纳什么计策 . 生
14、: 利用反证法 . 假设 CD ,过点 C作 CEAB于 E. 由于 ,所以 CE . 又 CD与 CE确定平面 ,令 =a,就 CDa,CEa. 所以在平面 内,有两条直线 这与平面几何定理冲突 . 所以 CD . CD,CE,同时垂直直线 a,师: 很好. 这也是面面垂直的一个性质,它的作用是判定直线在平面内 . 用语言表达就是 : 板书在命题 1 的位置 假如两个平面垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于其次个平面的直线,在第一个平面内. 6 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 师: 请同学们打开书
15、p.41. 书上给出了面面垂直的两个性质定理. 我们看一下定理的证明 . 看书的同时,指出书上所用的证明方法是同一法,有唯独性定理做保证 . 定理内容是 : 经过空 间一点有且只有一条直线与一个平面垂直 . 师: 上面我们讨论了面面垂直的两个性质定理 . 定理 1 是判定线面垂直的有效方法,性质 2 是 . 从应用上看,定理 1 更广泛一些 . 判定直线在平面内的一种方法 例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面 . 已知: , , =a,求证: . 师: 此题条件是面面垂直,结论是线面垂直. 挑选适当的判定线面垂直的方法,给出证明. 证法一 : 设 =b, =c, 在 内任取一点 P,
16、作 PMb 于 M,PNC于 N. 由于 , ,所以 PM ,PN . 由于 =a,所以 PMa,PNa, 所以 . 证法二 : 任取 Pa, 过点 P 作 b . 由于 . 所以 b ,由于 ,7 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 因此 b ,故 =b. 由已知 =a,所以 a 与 b 重合,所以 . 证法三 : 设 于 b, 于 C. 在 内作 b b, 所以 b . 同理在 内作 C C,有 C ,所以 b c, 又 b ,c , 所以 b . 又 b , =a,所以 b a,故 a . 师: 这道
17、题的三种证法,从三个不同角度入手,解决了线面垂直的问题,证法一利用线线垂 直得面面垂直的判定定理 . 证法二通过面面垂直的性质利用同一法 . 证法三就利用线线平行 解决线面垂直问题 . 师: 好,我们用两节课的时间完成了面面垂直的判定和性质定理的推导和证明 . 到此,有关 垂直的内容可以做一小结 . 我们知道,立体几何中,主要依靠线面关系的不断转化解决问题. 由线线垂直到线面垂直,再到面面垂直；也可由面面垂直到线面垂直,再到线线垂直 . 以线面垂直为核心,结合线与面之间垂直和平行的关系,可以得到有关垂直的结构图线线垂直线面垂直面面垂直三垂线定理线线平行面面平行. 与同学一起小结 师: 结合已知
18、,敏捷的应用这些定理,就可以查找到解题思路,从而顺当的解决有关垂直的 位置关系的问题 . 9.6 两个平面垂直的判定和性质（三）教案目标 一 教案学问点 1两个平面相互垂直的判定2两个平面相互垂直的性质 二 才能训练要求 1通过本节教案,提高同学空间想象才能8 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2通过问题解决,提高等价转化思想渗透的意识3进一步提高同学分析问题、解决问题的才能教案重点 两个平面垂直的判定、性质教案难点两个平面垂直的判定定理、性质定理运用教案过程 复习回忆 1二面角、二面角的平面角2求作二面
19、角的平面角的途径及依据讲授新课 2两个平面垂直的判定正确作出符合题意的空间图形师两个平面相互垂直是两个平面相交的特别情形教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是相互垂直 的两个平面相互垂直的概念和平面几何里两条直线相互垂直的概念类似,也是用它们所成的角为直角来定义的,上一节的学习告知我们二面角的取值范畴是0 ,即二面角既可以为锐角,也可以为钝角,特别情形又可以为直角请同学给两个平面相互垂直下肯定义：生两个平面相互垂直的定义可表述为：假如两个相交平面所成的二面角为直二面角,那么这两个平面相互垂直师那么两个相互垂直的平面画其直观图时,应把直立平面的边画成和水平平面的横 边
20、垂直,如下图师生共同动手,图的画是否直观,直接影响问题解决平面和垂直,记作师仍以教室的门为例,由于门框木柱与地面垂直,那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面即,请同学给出面面垂直的判定定理生两个平面垂直的判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直师请两位同学给出分析,证明9 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 生已知： AB,ABB,AB求证：需证和构成的二面角是直二面角,而要证明一个二面角是分析：要证直二面角,需找到其一个平面角,并证明这个二面角的平面角是直角证明：
21、设CD,就由 AB 知, AB、CD共面,AB,CDABCD,垂足为点 B在平面 内过点 B作直线 BECD就 ABE是二面角-CD-的平面角又 ABBE,即二面角-CD-是直二面角师建筑工人在砌墙时,常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直,依据是什么？生依据是两个平面垂直的判定定理,一面经过另一面的一条垂线师从转化的角度来看,两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直 面面垂直 3两个平面垂直的性质师在所给正方体中,下式是否正确：平面 ADD1A1平面 ABCD；D1AAB；D1A面 ABCD生AB面 ADD1A1,AB 面 ABCD平面 ABCD平面 ADD1A1AB面 ADD1
22、A1,D1A 面 ADD1A1 ABD1A AA1面 ABCD,AD1与平面 ABCD不垂直师平面 ADD1A1面 ABCD,平面 ADD1A1平面 ABCDAD,A 是平面 ADD1A1内一点过点 A可以在平面 ADD1A1内作很多条直线,而这些直线满意什么条件就可以使之与平 面垂直？判定定懂得决两个平面如何垂直,性质定理可以解决上述线面垂直两个平面垂直的性质定理：10 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面师从转化的角度可表述为：面面垂
23、直,就线面垂直也给了我们以后证明问题的一 种思想方法请同学予以证明生证明过程如下：已知：、a,AB,ABa 于 B求证： AB证明：在平面 内作 BEa 垂足为 B,就 ABE就是二面角-a-的平面角由可知, ABBE又 ABa,BE与 a 是 内两条相交直线,AB师证明的难点在于“ 作BEa” 为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系,去找其二面角的平面角来打算的,构造二面角的平面角过程可以表达同学的创新精神、转化 才能例 2 也可做为性质定理用例 2求证：假如两个平面相互垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于其次个平 面的直线,在第一个平面内已知：,P,Pa,a求证： a 9 63 A 师
24、请同学分析题的条件及结果,结合投影摸索证明思路,为了证a先作出直线b 然后证 a 与 b 是同一条线,生先证,尔后老师赐予评注生证明：设c,过点 P 在平面 内作直线 bc,而 a,Pab由于经过一点只能有一条直线与平面 垂直所以直线 a 应与直线 b 重合那么 a师利用“ 同一法” 证明问题,主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采纳的一种数学方法,这里要求做到两点：一是作出符合题意的直线11 / 13 b,不易想到；二是证明直线名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - b 和直线 a 重合,相对简洁些点P的位置由投
25、影所给的图及证明过程可知,可以在交线上,也可以不在交线上其结论可作性质定理用下面请同学阅读例题 3 结合投影,试从不同角度证明例 3如图, AB是 O的直径,点 C是圆 O上的动点,过动点 C的直线 VC垂直于 O 所在平面, D、E 分别是 VA、VC的中点,直线 DE与平面 VBC有什么关系？试说明理由 9 63 B 生可从多角度解决该题解法一：VC面 ABC,AC 面 ABC,BC 面 ABC,VCAC,VCBC就 ACB就是面 VBC-VC-面 VAC的平面角因 AB是O的直径,故 ACB90 面 VBC面 VAC又 D、E分别是 VA、VC的中点,就 DE AC而 ACVC即 DEV
26、C那么 DE面 VBC运用面面垂直的判定及面面垂直的性质转化关系：二面角是直二面角 面面垂直线面垂直解法二：因 VC面 ABC,AC 面 ABC,VCAC又 AB是O的直径,即有 ACBC由此 AC面 VBC而 D、E是 VA、VC中点, DE AC,故 DE面 VBC此法比解法一简洁明白,走的弯路较少转化关系：线垂直面 线垂直面内线线垂直面 与此线平行的线也垂直平面解法三：可找 VB中点 F,证 DEF90 ,进而证明 ED面 VBC 由 ACVC,BCVC说明之 课堂练习 1画相互垂直的两个平面,两两垂直的三个平面画图略原就：直立平面的竖边画成和水平平面横边垂直此题可改为：在一个正方体中找
27、出相互垂直的平面两两垂直的三个平面,观看表示平面的边与边间关系12 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2检查工件相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一 边在工件的另一个面上转动,观看尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么？此题说明数学源于实际生活,反过来为实际生活服务解答该题所用的学问就是面面 垂直的判定定理,满意一面经过另一面的一条垂线假如尺边和这个面密合,就说明另一尺边垂直于这个面,那么工件的相邻两面相互垂 直课时小结 1 证明两个平面垂直,关键在于找线,找到的直线在一个平面内而与另一个平面垂 直2 证明直线和平面垂直,如能说明该线在两个垂直平面其中一个内而与交线垂直,就 这条直线和另一平面垂直3 判定定理、性质定理有时要和其他定理结合起来用板书设计 963 两个平面垂直的判定和性质 三 2两个平面垂直的判定 判定定理 3两个平面垂直的性质 性质定理,例 2 例 3 练习 小结 作业 教案反思：13 / 13 例 3练习 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页