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1、关于空间向量的正交分解及坐标表示第一页，讲稿共三十四页哦学习目标学习目标1.知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义，掌知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及坐标表示握空间向量的正交分解及坐标表示2.过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空间过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空间向量基本定理及坐标表示向量基本定理及坐标表示。3.情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题，认识到情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展变化的。事物都是在不断的发展变化的。学习重点学习重点 空间向量基本定理空间向量基本定理学习难点学习难点 探究空
2、间向量基本定理的过程及定理的应用探究空间向量基本定理的过程及定理的应用第二页，讲稿共三十四页哦1、平面向量基本定理：一、预备知识一、预备知识第三页，讲稿共三十四页哦ap 一、预备知识一、预备知识2、下图中，如何用两个不共线向量下图中，如何用两个不共线向量 来表来表示示？OP第四页，讲稿共三十四页哦yx12312ij3、在平面直角坐标系中，取与在平面直角坐标系中，取与X轴轴Y轴方向轴方向相同的两个单位向量相同的两个单位向量 、作为基底，在图中、作为基底，在图中作出作出 =，并写出，并写出 的坐标。的坐标。=（3，2）O第五页，讲稿共三十四页哦pxyzoijk二、探究与发现二、探究与发现 探究一探
3、究一设设 、为由公共起点为由公共起点O的三个两两互相垂直的向量，的三个两两互相垂直的向量，那么对于空间任意一个向量那么对于空间任意一个向量 ，如何用，如何用 、来表示？来表示？QP第六页，讲稿共三十四页哦abpc探究二探究二如果用任意三个不共面向量来代替上述两两互相垂直如果用任意三个不共面向量来代替上述两两互相垂直的向量的向量 ，还有类似结论吗？，还有类似结论吗？OPQ第七页，讲稿共三十四页哦 空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果三个向量如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任不共面，那么对空间任一向量一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组x，y，z，使得，使得p xaybzc。把不共
4、面的三个向量把不共面的三个向量a、b、c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底 a,b,c都叫做都叫做基向量基向量第八页，讲稿共三十四页哦注意：注意：2.空间向量的基底唯一吗？空间向量的基底唯一吗？1.空间向量的基底可以为零向量吗？空间向量的基底可以为零向量吗？任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底。任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底。基向量不能为零向量基向量不能为零向量第九页，讲稿共三十四页哦 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底
5、,常用常用e1,e2,e3 表示表示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 e1,e2,e3,以点以点O为原点，分别为原点，分别以以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个这样就建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系O-xyz 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐标向量坐标向量.通过每两个坐通过每两个坐标轴的平面叫做标轴的平面叫做坐标平面坐标平面。xyzOe1e2e3（2）空间向量的坐标表示）空间向量的坐标
6、表示第十页，讲稿共三十四页哦 给定一个空间坐标系和向量给定一个空间坐标系和向量 ,且设且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数量基本定理，存在唯一的有序实数组组(x,y,z)使使 p=xe1+ye2+ze3 有序数组有序数组(x,y,z)叫做叫做p在空间直在空间直角坐标系角坐标系O-xyz中的坐标，记作中的坐标，记作.P=(x,y,z)（2）空间向量的坐标表示）空间向量的坐标表示xyzOe3e1e2P第十一页，讲稿共三十四页哦三、空间向量的正交分解及其坐标表示xyzOijkP记作 =(x,y,z)由空间向量基本定理，对由空间向量基本定理，对于空
7、间任一于空间任一向量向量 存在唯存在唯一的有序实数组一的有序实数组(x,y,z)使使 PP第十二页，讲稿共三十四页哦练习练习.正方体正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为2，以，以A为为坐标原点，以坐标原点，以 AB,AD,AA1为为x轴、轴、y轴、轴、z轴正轴正方向建立空间直角坐标系，设向量方向建立空间直角坐标系，设向量 ，为，为x轴、轴、y轴、轴、z轴正方向的单位向量，用向量轴正方向的单位向量，用向量 ，表，表示向量示向量AC1和和BD1。ijk第十三页，讲稿共三十四页哦三、定理应用三、定理应用例例1如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P,Q是MN的三等分点。用
8、向量 、表示 和 。解：=第十四页，讲稿共三十四页哦 解：第十五页，讲稿共三十四页哦练习3（1）(2)第十六页，讲稿共三十四页哦四、学后反思四、学后反思1、知识点：2、问题探究过程的思路剖析：课下探究 空间向量基本定理与课本95页“思考“栏目中的第二问题有什么联系？你有何体会？五、作业：五、作业：P106 A组1.2.第十七页，讲稿共三十四页哦ABCDABCD第十八页，讲稿共三十四页哦ABCDABCD第十九页，讲稿共三十四页哦谢谢！再见！第二十页，讲稿共三十四页哦练习练习.空间四边形空间四边形OABCOABC中中,OA=,OA=a,OB=,OB=b,OC=,OC=c点点M M在在OAOA上上,
9、且且OM=2MA,NOM=2MA,N为为BCBC的中点的中点,则则MN=().MN=().OABCMN(A)a b+c 122312(B)a+b+c 122312(C)a+b c 122312(D)a+b c 122323第二十一页，讲稿共三十四页哦练习练习2第二十二页，讲稿共三十四页哦空间向量运算的坐标表示第二十三页，讲稿共三十四页哦,则则设设一、向量的直角坐标运算一、向量的直角坐标运算第二十四页，讲稿共三十四页哦若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1 ,y2-y1,z2-z1)空间一个向量在直角坐标
10、系中的坐标等于表示这个空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标终点的坐标减去起点的坐标.第二十五页，讲稿共三十四页哦二、距离与夹角的坐标表示二、距离与夹角的坐标表示1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。长度。第二十六页，讲稿共三十四页哦在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式第二十七页，讲稿共三十四页哦2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角
11、公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。第二十八页，讲稿共三十四页哦第二十九页，讲稿共三十四页哦解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则例例1如图如图,在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.第三十页，讲稿共三十四页哦第三十一页，讲稿共三十四页哦证明证明:设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBDFE第三十二页，讲稿共三十四页哦第三十三页，讲稿共三十四页哦感感谢谢大大家家观观看看第三十四页，讲稿共三十四页哦