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1、第六测量误差的基本理论现在学习的是第1页，共70页6.1 6.1 概述概述 前面几章讲述的数据采集，要用到各种仪器(经纬仪、水准仪、测距仪），要由人进行操作，要在某种环境中工作，这些因素都会使采集到的数据不准确，即数据中有误差。例如：1）、距离测量误差 2）、角度测量误差 3）、高差测量误差现在学习的是第2页，共70页ABD往往D返返理论上：D往往=D返返实测中：D往往 D返返1）距离测量误差测量上一般要求:D D往往-D D返返/D=1/K(K=2000,4000,.),测量成果才合格.6.1 6.1 概述概述现在学习的是第3页，共70页A AB BC C理论上：A+B+C=180 实测中：
2、A+B+C180理论上：L1+L2+L3+L4=360 实测中：L1+L2+L3+L4 360L2L3L4ABCDL12）角度测量误差6.1 6.1 概述概述现在学习的是第4页，共70页 理论上：hAB+hBA=0 实测中：hAB+hBA 0P1P4P3P2h1Ah3h23）高差测量误差Bh4 理论上：h1+h2+h3+h4=0 实测中：h1+h2+h3+h4 06.1 6.1 概述概述现在学习的是第5页，共70页一、测量误差的概念人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差。这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。二、测量误差及其来源1.真值和真误差真值：反映一个量
3、真正大小绝对准确的数值真误差：观测值与真值之差，即：真误差=观测值-真值约定符号：X真值 L观测值 真误差 现在学习的是第6页，共70页二、测量误差及其来源1.真值和真误差2.测量误差的反映（如何发现）测量误差是通过“多余观测”产生的差异反映出来的。3.测量误差产生的来源（1）测量仪器：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）观测者：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界环境条件：温度变化、风、大气折光等。现在学习的是第7页，共70页二、观测与观测值的分类1 1同精度观测和不同精度观测同精度观测和不同精度观测在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用在相同的观测条件下，即用同一精度等
4、级的仪器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精同精度观测值度观测值或等或等精度观测值精度观测值。反之，则称为不同精度观测，。反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。其观测值称为不同（不等）精度观测值。2 2直接观测和间接观测直接观测和间接观测为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为知量本身，称为直接观测直接观测，观测值称为，观
5、测值称为直接观测值。直接观测值。通过通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测间接观测，观测值称为，观测值称为间接观测值。间接观测值。现在学习的是第8页，共70页二、观测与观测值的分类3独立观测和非独立观测各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独立观测，观测值称为独立观测值。若各观测量之间存在一定的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测，观测值称为非独立观测值。现在学习的是第9页，共70页四、测量误差的分类 按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为差分为粗差、
6、粗差、系统误差和偶然误差系统误差和偶然误差。1、粗差定义：由作业人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错措施：（1）加强观测者的责任心，培养细致的业务作风。（2）闭合差检验，剔除孤值。（3）近代平差中的抗差估计、粗差探测等。注意：在本门课程中，要求粗差消灭在平差前，今后我们一般认为，待平差的观测值无粗差！现在学习的是第10页，共70页四、测量误差的分类2、系统误差在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。例：例：误差误差 处理方法处理方法 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 ld 计算改正计算改正 钢尺温度误差钢尺温度误差 lt 计算改正计
7、算改正 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差I 操作时抵消操作时抵消(前后视等距前后视等距)经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C 操作时抵消操作时抵消(盘左盘右取平均盘左盘右取平均)系统误差可以消除或减弱。(计算改正、观测方法、仪器检校)现在学习的是第11页，共70页四、测量误差的分类3、偶然误差在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。偶然误差是不可避免的。现在学习的是第12页，共70页WWWWWWWWWWWWWW例：测量上8
8、17个三角形闭合差统计五、偶然误差的特性及其概率密度函数现在学习的是第13页，共70页 本例中三角形闭合差所具有的这三条特性在测量中具有普遍性。这些闭合差数值上不会超出一定界限；绝对值小的比绝对值大的闭合差个数要多；绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。误差的区间（）为负 为正总数个数 ni个数 ni0.000.500.501.001.001.501.502.002.002.502.503.003.003.503.50 121907851391590123104755527201002441941531066635190和403414817817个三角形闭合差统计表现在学习的是第14页，共70页
9、五、偶然误差的特性及其概率密度函数1）界限性：一定的测量条件下，偶然误差的数值不超过一定的限值，或者说超出一定限值的偶然误差出现的概率为零。偶然误差的四个特性：2）聚中性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。3）对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相同。4）补偿性：在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即现在学习的是第15页，共70页五、偶然误差的特性及其概率密度函数用频率直方图表示的偶然误差统计：现在学习的是第16页，共70页误差的区间（）为负 为正总数频率=ni/n个数 ni频率=ni/n个数 ni频率=ni/n0.000.500
10、.501.001.001.501.502.002.002.502.503.003.003.503.50 1219078513915900.150.110.100.060.050.020.010.00123104755527201000.150.130.090.070.030.020.010.0024419415310666351900.300.240.190.130.080.040.020.00和4030.504140.508171.00现在学习的是第17页，共70页误差的区间（）为负 为正总数个数 ni频率 个数 ni频率 0.000.500.501.001.001.501.502.002.
11、002.502.503.003.003.503.50 1219078513915900.150.110.100.060.050.020.010.000.300.220.200.120.100.040.020.00123104755527201000.150.130.090.070.030.020.010.000.300.260.180.140.060.040.020.002441941531066635190和4030.504140.50817现在学习的是第18页，共70页误差的区间（）为负 为正0.000.500.501.001.001.501.502.002.002.502.503.003
12、.003.503.50 0.300.220.200.120.100.040.020.000.300.260.180.140.060.040.020.00和-4-4-3-3-2-2-1-10 01 12 23 34 40.10.10.20.2现在学习的是第19页，共70页五、偶然误差的特性及其概率密度函数频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率ni/n，而所有条形的总面积等于1。频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。各条形顶边中点连线经光滑后 的曲线形状，表现出偶然误差 的普遍规律。用频率直方图表示的偶然误差统计：-4-4-3-3-2-2-1-10 01 12
13、 23 34 40.10.10.20.2现在学习的是第20页，共70页五、偶然误差的特性及其概率密度函数当观测次数n无限增多(n)、误差区间d 无限缩小(d 0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线,这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性正态分布的特性。-4-4-3-3-2-2-1-10 01 12 23 34 40.10.10.20.2现在学习的是第21页，共70页正态分布：正态分布的密度函数：数学期望和方差：五、偶然误差的特性及其概率密度函数现在学习的是第22页，共70页正态分布的数字特征正态分布的数字特征数学期望：数学期望：位置特征。位置
14、特征。方差：方差：离散特征，表示曲线的形状。离散特征，表示曲线的形状。小，曲线顶点愈高，曲线陡峭，高瘦；小，曲线顶点愈高，曲线陡峭，高瘦；大，曲线顶点愈低，曲线扁平，矮胖。大，曲线顶点愈低，曲线扁平，矮胖。今后，我们将正态分布作为研究偶然误差的数学工具。今后，我们将正态分布作为研究偶然误差的数学工具。现在学习的是第23页，共70页五、偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差处理方式 现在学习的是第24页，共70页精密度表示同一量各观测值之间的密集或离散的程度。准确度又称偏差，是指观测值的数学期望与其真值之差。它表征了观测结果系统误差大小的程度。精确度表示观测值与其真值的接近程度。测量中的精度严格
15、意义讲是指精密度，由于假定了观测值仅有偶然误差，观测值数学期望与真值相同，所以精度也是精确度。现在学习的是第25页，共70页二、中误差某观测值真值X已知；设在相同观测条件下，对任一个未知量进行了n次观测，其观测值分别为 、，n个观测值的真误差 、。为了避免正负误差相抵消和明显地反映观测值中较大误差的影响，通常是以一组独立的偶然真误差平方中数的平方根作为评定该组每一个观测值精度的标准，即m称为中误差，m小精度高；m大精度低。n观测值个数真误差现在学习的是第26页，共70页例:设有甲、乙两个小组，对三角形的内角和进行了9次观测，分别求得其真误差为：甲组：乙组：试比较这两组观测值的中误差。二、中误差
16、 说明乙组的观测精度比甲组高。现在学习的是第27页，共70页三、极限误差1、定义2、极限误差的表示方法一定测量条件下，偶然误差的最大允许值现在学习的是第28页，共70页2、极限误差的表示方法绝对值大于绝对值大于3倍中误差的偶然误差出现的概率为倍中误差的偶然误差出现的概率为 0.27%绝对值大于绝对值大于2倍中误差的偶然误差出现的概率为倍中误差的偶然误差出现的概率为 4.55%三、极限误差现在学习的是第29页，共70页问题：问题：谁的精度高谁的精度高？四、相对误差(相对中误差)现在学习的是第30页，共70页定义定义:说明：说明：误差值与相应观测结果之比。误差值与相应观测结果之比。一个量的中误差与
17、相应观测值一个量的中误差与相应观测值之比之比相对中误差。相对中误差。1.1.相对误差是个无名数，一般将相对误差是个无名数，一般将其分子化成其分子化成1 1，写成，写成1/1/N N 的形式的形式 2.相对误差一般用于长度测量相对误差一般用于长度测量3.3.真误差、中误差、极限误差称为真误差、中误差、极限误差称为绝对误差绝对误差四、相对误差(相对中误差)现在学习的是第31页，共70页 平面三角形中，闭合差 是真误差，采用中误差公式，计算闭合差的中误差，即如何计算测角中误差m？一、误差传播定律Question：?现在学习的是第32页，共70页一、误差传播定律Question：在三角形ABC中，已测
18、得两个角A、B及一条边 ，则依 可计算b边。已知上述三个观测量的精度，那么如何估计边长b的精度ABC现在学习的是第33页，共70页一、误差传播定律定义：独立观测值的中误差与观测值函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律。如何由观测值精度评定观测值函数精度现在学习的是第34页，共70页一、误差传播定律一般函数的中误差设：为独立观测值设 有真误差 ，函数 也产生真误差上式全微分：(a)由于 和 是一个很小的量，可代替上式中的 和 ：(b)现在学习的是第35页，共70页一、误差传播定律一般函数的中误差令 的系数为 ，(b)式为：对对Z Z观测观测了了k k次，次，有有k k个式个式(c)现在学习的
19、是第36页，共70页一、误差传播定律一般函数的中误差(d)对(c)式平方求和可以得到：(e)对K个(d)式取总和，然后再除以K得：(f)现在学习的是第37页，共70页一、误差传播定律一般函数的中误差由偶然误差的抵偿性知：(f)现在学习的是第38页，共70页一、误差传播定律一般函数的中误差(g)(6-10)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。现在学习的是第39页，共70页求观测值函数中误差的步骤：1.列出函数式；2.对函数式求全微分；3.套用误差传播定律，写出中误差式。一、误差传播定律一般函数的中误差现在学习的是第40页，共70页中误差传播公式一、误差传播定律一般函数的中误差函数名称
20、函数式中误差传播公式倍数函数和差函数线性函数现在学习的是第41页，共70页二、误差传播定律的应用例1：在1：500地形图上量得某两点间的距离，其中误差 ，图上距离d=0.2345m，求该两点间的地面水平距离D的值及其中误差。解:现在学习的是第42页，共70页二、误差传播定律的应用解:例2：设对某一个三角形观测了其中，两个角，测角中误差分别为 ，试求第三个角的中误差。现在学习的是第43页，共70页二、误差传播定律的应用解:例3：试推导出算术平均值中误差的公式：()现在学习的是第44页，共70页一、算术平均值一、算术平均值设在相同的观测条件下，对某未知量进行了n 次观测，得n个观测值l1,l2,l
21、n,则该量的算术平均值为x：现在学习的是第45页，共70页一、算术平均值一、算术平均值证明：算术平均值为该量的最可靠值：设该量的真值为X，则各观测值的真误差为：当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最可靠值。现在学习的是第46页，共70页二、观测值改正数二、观测值改正数未知量的最可靠（最或是）值x与观测值li之差称为观测值改正数vi，即现在学习的是第47页，共70页三、由观测值改正数计算观测值中误差三、由观测值改正数计算观测值中误差现在学习的是第48页，共70页三、由观测值改正数计算观测值中误差三、由观测值改正数
22、计算观测值中误差令令现在学习的是第49页，共70页四、算术平均值中误差四、算术平均值中误差算术平均值的中误差Mx，可由下式计算:现在学习的是第50页，共70页一、权一、权u定义：在计算不同精度观测值的最或然值时，精度高的观测值在其中占的“比重”大一些，而精度低的观测值在其中占的“比重”小一些。这里，这个“比重”就反映了观测的精度。“比重”可以用数值表示，在测量工作中，称这个数值为观测值的“权”。u定义公式：设以Pi表示观测值li的权，则权的定义公式为：现在学习的是第51页，共70页一、权一、权若pi1时，称为单位权中误差，即权为1的观测值中误差。单位权所对应的观测值称为单位权观测值权与中误差的
23、平方成反比，即精度愈高，权愈大现在学习的是第52页，共70页权的相对性权的相对性一、权一、权现在学习的是第53页，共70页一、权一、权 可见，用中误差衡量精度是绝对的，而用权衡量精度是相对的，即权是衡量精度的相对标准。现在学习的是第54页，共70页对于中误差为mi的观测值（或观测值的函数），其权Pi为:则相应的中误差的另一表示式可写为:一、权一、权现在学习的是第55页，共70页二、权的性质二、权的性质（1）权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测值越可靠，精度越高；反之，中误差越大，权越小，表示观测值越不可靠，精度越低。（3）同一组权中，只能选定一个单位权中误差，否则，就会破坏权之间
24、的比例关系。（5）中误差和权都是衡量精度高低的数值，中误差是绝对数值，权是相对数值。对于单一观测值而言，权无意义。（4）权的大小随 的不同而不同，但权之间的比例关系不变。（2）权始终取正号。现在学习的是第56页，共70页三、测量中常用的确权方法三、测量中常用的确权方法1、同精度观测值算术中数的权 算术中数中误差平方 设一次观测权为p，算术中数权算术中数的权是一次观测值权的n倍现在学习的是第57页，共70页三、测量中常用的确权方法三、测量中常用的确权方法2权在水准测量中的应用(测站)设每一测站观测高差的精度相同，其中误差为m站，则不同测站数的水准路线观测高差的中误差为：取C个测站的高差中误差为单
25、位权中误差，即：则各水准路线的权为当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。现在学习的是第58页，共70页三、测量中常用的确权方法三、测量中常用的确权方法2权在水准测量中的应用(距离)设单位长度（一公里）的观测高差中误差为m，则长度为L公里的观测中误差为取长度为C公里的观测中误差为单位权中误差，即则得距离为L的权为：当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测的权与路线长度成反比。现在学习的是第59页，共70页 水准测量中，当每测站高差中误差相同时，则各条水准路线高差观测值的权与测站成反比水准测量中，当每公里高差中误差相同时，则各条水准路线高差观测值的权与路线长度成反比总
26、结三、测量中常用的确权方法三、测量中常用的确权方法现在学习的是第60页，共70页 角度测量中，当每测回角度观测中误差相同时，各角度观测值的权与其测回数成正比距离测量中，当单位距离测量的中误差相同时，各段距离观测值的权与其长度成反比。总结三、测量中常用的确权方法三、测量中常用的确权方法现在学习的是第61页，共70页四、加权平均值及中误差四、加权平均值及中误差设对某未知量进行了n次不同精度观测，观测值为L1、L2、Ln，其中误差分别为m1、m2、mn，相应权为P1、P2、Pn。则加权平均值x为不等精度观测值的最可靠值:1加权平均值现在学习的是第62页，共70页四、加权平均值及中误差四、加权平均值及
27、中误差1加权平均值直接根据误差传播定律，可得直接根据误差传播定律，可得x x的中误差的中误差展开：展开：现在学习的是第63页，共70页四、加权平均值及中误差四、加权平均值及中误差2加权平均值中误差现在学习的是第64页，共70页四、加权平均值及中误差四、加权平均值及中误差3.单位权观测值中误差用真误差代替中误差，得到在已知观测量的真值的情况下用真误差求单位权中误差的公式现在学习的是第65页，共70页四、加权平均值及中误差四、加权平均值及中误差3.单位权观测值中误差用真误差代替中误差，得到在已知观测量真值的情况下用真误差求单位权中误差的公式在未知观测量真值的情况下，用加权平均值x代替真值X，用观测
28、值的改正数v代替真误差，得到用观测值的改正数计算单位权中误差的公式现在学习的是第66页，共70页五、权倒数传播定律五、权倒数传播定律u观测值的权与观测值函数的权之间的函数关系设有一般函数 ，其中为独立观测量。设各观测值的中误差及权分别为m1、m2、mn和p1、p2、pn。由一般函数的中误差传播定律表达式可知，有：现在学习的是第67页，共70页五、权倒数传播定律五、权倒数传播定律u观测值的权与观测值函数的权之间的函数关系现在学习的是第68页，共70页第六章第六章 教学内容回顾教学内容回顾1.概述2.衡量精度的指标3.算术平均值及其中误差4.误差传播定律5.权及加权平均值现在学习的是第69页，共70页现在学习的是第70页，共70页