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1、第第6章章 测量误差的基本理论测量误差的基本理论6.1测量误差概述测量误差概述6.2测量精度的评定指标测量精度的评定指标6.3误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用6.4算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差6.5广义算术平均值及其精度评定广义算术平均值及其精度评定6.1测量误差概述测量误差概述观测观测中常中常见见的的现现象象举举例例1 1如如图图1 1，对对两点的距离重两点的距离重复丈量复丈量n次，但结果不相等，次，但结果不相等，即即。2.2.对对三角形三个内角三角形三个内角进进行行观测观测，得得值值a,b,ca,b,c,但是但是现现象象总结总结：(1)(1)同一同一观测观测量之量之间间
2、的的值值不相等不相等,(2),(2)观测值观测值与其理与其理论值论值(真真值值)之之间间有差异有差异.原因原因:观测观测中存在中存在观测误观测误差。差。6.1测量误差概述测量误差概述一、测量误差产生的原因一、测量误差产生的原因误差来源的三个方面：误差来源的三个方面：1、观测者、观测者观测者的感觉器官的鉴别能力限制；技术熟练程度。观测者的感觉器官的鉴别能力限制；技术熟练程度。2、测量仪器、测量仪器仪器本身器件之间装配；使用过程中的变化。仪器本身器件之间装配；使用过程中的变化。3、测量环境（外界条件）、测量环境（外界条件）温度、气压、大气折光、风力、大气透明度等。温度、气压、大气折光、风力、大气透
3、明度等。三者合称为观测条件三者合称为观测条件二、误差分类：二、误差分类：真误差的定义真误差的定义i=X-li根据观测误差对观测结果的影响性质分为：根据观测误差对观测结果的影响性质分为：系统误差、偶然误差、粗差。系统误差、偶然误差、粗差。6.1测量误差概述测量误差概述二、误差分类：二、误差分类：1、系统误差、系统误差（1）定义：）定义：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。律变化，或者为某一
4、常数，那么，这种误差就称为系统误差。（2）举例）举例：尺长误差（保持常数）；水准测量中的尺长误差（保持常数）；水准测量中的i角误差角误差（系统性）；大气折光，白天黑夜相反；钢尺温度变化，热胀（系统性）；大气折光，白天黑夜相反；钢尺温度变化，热胀冷缩（有规律变化）冷缩（有规律变化）（3）消除或减弱的方法）消除或减弱的方法好的观测方法好的观测方法水准测量中，前后视距相等，可以消除水准测量中，前后视距相等，可以消除i角对观测结果的影响；角对观测结果的影响；角度测量中，盘左、盘右取中数可以消除竖盘指标差的影响。角度测量中，盘左、盘右取中数可以消除竖盘指标差的影响。加改正数方法。加改正数方法。例如，钢尺
5、量距时，加入尺长改正、温度改正等。例如，钢尺量距时，加入尺长改正、温度改正等。6.1测量误差概述测量误差概述二、误差分类：二、误差分类：2、偶然误差（随机误差）、偶然误差（随机误差）（1）定定义义：在在相相同同的的观观测测条条件件下下作作一一系系列列的的观观测测，如如果果误误差差在在大大小小和和符符号号上上都都表表现现出出偶偶然然性性，即即从从单单个个误误差差看看，该该列列误误差差的的大大小小和和符符号号没没有有规规律律性性，但但就就大大量量误误差差的的总总体体而而言言，具具有有一一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。定的统计规律，这种误差称为偶然误差。（2）举例：）举例：读数误差，照准误差读
6、数误差，照准误差（3）消除或减弱的方法）消除或减弱的方法采用概率论和数理统计的理论进行处理，减弱偶然误差的影响。采用概率论和数理统计的理论进行处理，减弱偶然误差的影响。3、粗差、粗差（1）定义：指比可能产生的最大误差还大的误差（或错误）定义：指比可能产生的最大误差还大的误差（或错误）。（2）举例：找错目标、大数读错等）举例：找错目标、大数读错等（3）消除或减弱的方法）消除或减弱的方法严格按规范规定的程序进行测量工作，加强检核措施等。严格按规范规定的程序进行测量工作，加强检核措施等。6.1测量误差概述测量误差概述三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性1.列表法分析列表法分析用用601个三角形闭合差
7、（真误差）进行分析，见表个三角形闭合差（真误差）进行分析，见表6-16.1测量误差概述测量误差概述偶然误差的四个特性：偶然误差的四个特性：用真误差用真误差 列于据表列于据表6-1数据分析，得偶然误差的四个特性：数据分析，得偶然误差的四个特性：（1）在在一一定定的的观观测测条条件件下下，偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值不不会会超超过过一一定的限值。定的限值。（2）绝绝对对值值小小的的偶偶然然误误差差比比绝绝对对值值大大的的偶偶然然误误差差出出现现的的可可能性大（频率大或概率大）。能性大（频率大或概率大）。（3）绝对值相等的正、负误差出现的可能性相等。）绝对值相等的正、负误差出现的可能性相等。（4
8、）在在相相同同观观测测条条件件下下，同同一一量量的的多多次次观观测测值值的的偶偶然然误误差差的算术平均值，随着观测次数的无限增大而趋于零。即的算术平均值，随着观测次数的无限增大而趋于零。即分析方法：分析方法：误差分布表法、直方图法、数字特征法。误差分布表法、直方图法、数字特征法。6.1测量误差概述测量误差概述2.直方图分析法直方图分析法用用表表6-1的的数数据据作作出出图图6-1的的误误差差分分布布图图，更更加加直直观观的的说说明明偶偶然然误误差差的的特特性性。这这种种图图称称为为误误差差频率分布直方图。频率分布直方图。横横坐坐标标表表示示误误差差的的数值大小；数值大小；纵纵坐坐标标表表示示误
9、误差差出出现现在在该该区区间间的的频频率率ni/n除除以以区区间间的的间间隔隔值值d,即即：ni/n/d 因因此此，各各每每个个矩矩形形的的面面积积等等于于误误差差出出现现于于该区间的频率该区间的频率6.1测量误差概述测量误差概述3.偶然误差的概率分布偶然误差的概率分布当当误误差差个个数数区区域域无无穷穷、误误差差区区间间无无限限小小时时，频频率率直直方方图图变变为为概概率率分分布布图图，其其直直方方图图的的顶顶端端的的折线变为光滑的曲线。折线变为光滑的曲线。该该曲曲线线在在概概率率论论中中称称之之为为正正态态分分布布曲曲线线。即即偶偶然误差属于正态分布。然误差属于正态分布。其概率分布密度函数
10、为其概率分布密度函数为6.1测量误差概述测量误差概述3.偶然误差的概率分布偶然误差的概率分布其概率分布密度函数为其概率分布密度函数为62测量精度的评定指标测量精度的评定指标精度的（定义）：精度的（定义）：精度就是指误差分布的密集或离散的程度。精度就是指误差分布的密集或离散的程度。准准确确度度：所所谓谓准准确确度度，是是指指随随机机变变量量（观观测测量量）的的数数学学期期望望与与其真值的接近程度。其真值的接近程度。精精确确度度：精精确确度度是是指指随随机机变变量量（观观测测量量）的的数数学学期期望望与与其其真真值值的接近程度。的接近程度。下图说明三者之间的关系下图说明三者之间的关系a ab b（
11、c c62测量精度的评定指标测量精度的评定指标衡量精度的指标衡量精度的指标在实用上，是用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散在实用上，是用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。的程度，称它们为衡量精度的指标。常用的精度指标有：中误差、相对误差、容许误差。常用的精度指标有：中误差、相对误差、容许误差。一、中误差一、中误差1中误差的定义中误差的定义在在相相同同的的条条件件下下，对对同同一一量量进进行行次次观观测测，所所得得各各个个真真误误差差平平方的平均值的平方根，称为中误差，用方的平均值的平方根，称为中误差，用m表示，即表示，即 m表示每一次表示每一次观测值观测
12、值的中的中误误差。差。62测量精度的评定指标测量精度的评定指标2用真误差计算中误差算例用真误差计算中误差算例例例6-2 62测量精度的评定指标测量精度的评定指标二、相对误差二、相对误差1中误差的局限中误差的局限例例如如，分分别别丈丈量量了了1000m及及500m的的两两段段距距离离，它它们们的的中中误误差差均均为为2cm，虽虽然然两两者者的的中中误误差差相相同同，但但就就单单位位长长度度而而言言，两两者者精精度度并并不不相相同同。显显然然前前者者的的相相对对精精度度比比后后者者要要高高。此此时时，须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差。须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差。2
13、相对中误差相对中误差相对中误差定义：中误差的绝对值与相应观测值之比值相对中误差定义：中误差的绝对值与相应观测值之比值 62测量精度的评定指标测量精度的评定指标3相对误差相对误差相对误差定义：差值的绝对值与相应观测值之比值。相对误差定义：差值的绝对值与相应观测值之比值。与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等均称为等均称为绝对误差绝对误差。相对精度是指长度元素而言。如果不特别说明，相相对精度是指长度元素而言。如果不特别说明，相对精度是指相对中误差。角度元素没有相对精度。对精度是指相对中误差。角度元素没有相对精度。62测量精度的评定指标测量精度的评定指
14、标三、容许（极限）误差三、容许（极限）误差 按正态分布表查得，误差出现的概率分别为：按正态分布表查得，误差出现的概率分别为：绝绝对对值值大大于于三三倍倍中中误误差差的的偶偶然然误误差差出出现现的的概概率率仅仅有有0.3%0.3%，大于二倍中大于二倍中误误差的概率只有差的概率只有4.5%4.5%。这这已已经经是是概概率率接接近近于于零零的的小小概概率率事事件件，或或者者说说这这是是实实际际上上的不可能事件。的不可能事件。故故一一般般以以三三倍倍中中误误差差或或二二倍倍中中误误差差作作为为偶偶然然误误差差的的极极限限值值，并称为容许（极限）误差。即：并称为容许（极限）误差。即：或或63误差传播定律
15、及其应用误差传播定律及其应用误差传播定律概念：误差传播定律概念：阐述观测值中误差与观测值函数中阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。一、和、差函数的中误差一、和、差函数的中误差1.函数形式函数形式设设x、y为独立观测值，其中误差为为独立观测值，其中误差为mx，my，观测值的函，观测值的函数为数为 Z=xy2.函数的中误差计算式函数的中误差计算式则函数则函数Z的中误差计算式为的中误差计算式为算例：见例算例：见例6-3、例、例6-463误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用二、倍数函数的中误差二、倍数函数的中误差1.函数
16、形式函数形式设设x为观测值，其中误差为为观测值，其中误差为mx，观测值的函数为，观测值的函数为 Z=kx2.函数的中误差计算式函数的中误差计算式则函数则函数Z的中误差计算式为的中误差计算式为算例：见例算例：见例6-563误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用三、线性函数的中误差三、线性函数的中误差1.函数形式函数形式设设x1，x2，xn为独立观测值，其中误差为为独立观测值，其中误差为m1，m2，mn，观测值的函数为，观测值的函数为 算例：见例算例：见例6-62.函数的中误差计算式函数的中误差计算式则函数则函数Z的中误差计算式为的中误差计算式为63误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用四、非
17、线性函数的中误差四、非线性函数的中误差算例：见例算例：见例6-764算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 一、算术平均值一、算术平均值即即64算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 一、算术平均值一、算术平均值64算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差二、算术平均值的中误差二、算术平均值的中误差算术平均值的中误差与单个观测值的关系式算术平均值的中误差与单个观测值的关系式设单个观测值的中误差为设单个观测值的中误差为m，算术平均值的中误差为，算术平均值的中误差为mx，则，则根据误差传播定律，得根据误差传播定律，得64算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 三、用观测值的改正数计算中误差三
18、、用观测值的改正数计算中误差 算术平均值的中误差与单个观测值的关系式。算术平均值的中误差与单个观测值的关系式。在实际工作中，一般情况下，量的真值是不知的，故无法在实际工作中，一般情况下，量的真值是不知的，故无法利用真误差计算中误差。利用真误差计算中误差。但是可以利用算术平均值和观测值的差值但是可以利用算术平均值和观测值的差值-改正数计算。改正数计算。1.改正数的计算改正数的计算设对同一个量同精度观测了设对同一个量同精度观测了n次，得观测值次，得观测值算术平均值为算术平均值为64算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差三、用观测值的改正数计算中误差三、用观测值的改正数计算中误差1.改正数的计算改
19、正数的计算则观测值的改正数按下式计算则观测值的改正数按下式计算64算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差三、用观测值的改正数计算中误差三、用观测值的改正数计算中误差2.则观测值的中误差按下式计算则观测值的中误差按下式计算3.算术平均值的中误差按下式计算算术平均值的中误差按下式计算其中其中64算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差四、用等精度双观测值的差值求观测值的中误差四、用等精度双观测值的差值求观测值的中误差1.双观测值的概念双观测值的概念对同一个量独立观测了两次，得对同一个量独立观测了两次，得则称其为双观测值则称其为双观测值2.双观测值的之差双观测值的之差3.单次观测值的中误差单次观测
20、值的中误差4.两次观测值平均值的中误差两次观测值平均值的中误差65广义算术平均值及其精度的评定广义算术平均值及其精度的评定一、一、“权权”的定义的定义设观测值设观测值Li的中误差为的中误差为mi，为任为任意常数，则定义的权为意常数，则定义的权为二、常用的定权方法二、常用的定权方法1.水准测量的权水准测量的权（1）按测站数定权）按测站数定权设某水准路线的观测高差为设某水准路线的观测高差为hi，测站数为测站数为ni，hi的的中误差为中误差为mi，c为任意常数，则为任意常数，则hi的权为的权为65广义算术平均值及其精度的评定广义算术平均值及其精度的评定二、常用的定权方法二、常用的定权方法1.水准测量
21、的权水准测量的权（2）按水准路线长度定权）按水准路线长度定权设某水准路线的观测高差为设某水准路线的观测高差为hi，路线长度路线长度Li千米千米，hi的的中误差中误差为为mi，c为任意常数，则为任意常数，则hi的权为的权为65广义算术平均值及其精度的评定广义算术平均值及其精度的评定二、常用的定权方法二、常用的定权方法2.测量距离的权测量距离的权设某段距离的长度为设某段距离的长度为Di千米千米，c为任意常数，则为任意常数，则hi的权为的权为3.同精度观测值算术平均值的权同精度观测值算术平均值的权设有一组观测量设有一组观测量它们分别是它们分别是次等精度观测值的算术平均值，则各观测值的权为次等精度观测值的算术平均值，则各观测值的权为65广义算术平均值及其精度的评定广义算术平均值及其精度的评定三、广义算术平均值三、广义算术平均值广义算术平均值，又称为加权平均值。广义算术平均值，又称为加权平均值。设对某一量设对某一量X进行了进行了n次不等精度观测，观测值为次不等精度观测，观测值为其权为其权为则其广义算术平均值为则其广义算术平均值为四、广义算术平均值的中误差四、广义算术平均值的中误差第第5章完章完