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1、第六章测量误差的基本知识第六章测量误差的基本知识 第一节第一节 测测 量量 误误 差差 第二节第二节 偶然误差的特性偶然误差的特性第三节第三节 评定精度的指标评定精度的指标第四节第四节 误差传播定律误差传播定律第五节第五节 算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差第六节第六节 加权平均值及其精度评定加权平均值及其精度评定第一节第一节 测测 量量 误误 差差一、观测条件一、观测条件 测量误差产生的原因很多，概括起来，有以下三个方面：测量误差产生的原因很多，概括起来，有以下三个方面： 在同一个量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值在同一个量的各观测值之间，或在各观测值与其理论
2、上的应有值之间存在差异的现象，在测量工作中是普遍存在的。为什么会产生这之间存在差异的现象，在测量工作中是普遍存在的。为什么会产生这种差异呢？种差异呢？ 测量仪器测量仪器 观测者观测者 外界条件外界条件 人、仪器和环境是测量工作得以进行的必要条件，通常把这三个人、仪器和环境是测量工作得以进行的必要条件，通常把这三个方面综合起来称为方面综合起来称为观测条件观测条件。在测量中产生误差是不可避免的。在测量中产生误差是不可避免的。二、测量误差的分类二、测量误差的分类1.1.系统误差系统误差 在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果出现的误差在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果出现的误差在大小、符号上
3、表现出系统性，或在观测过程中按一定的规律在大小、符号上表现出系统性，或在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，这种误差称为变化，或者为某一常数，这种误差称为“系统误差系统误差”。 系统误差对观测值的影响一般具有系统误差对观测值的影响一般具有累积性累积性，消除或减弱系，消除或减弱系统误差影响的措施：统误差影响的措施：l 可以通过对观测值施加改正可以通过对观测值施加改正l 采用用一定的测量方法采用用一定的测量方法二、测量误差的分类二、测量误差的分类 2. 2. 偶然误差偶然误差 在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果误差在符号和在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果误差在符号和大小上都表
4、现出偶然性，即从单个误差看，该系列误差的大小和大小上都表现出偶然性，即从单个误差看，该系列误差的大小和符号没有任何规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统符号没有任何规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为计规律，这种误差称为偶然误差偶然误差。 偶然误差是由人力所不能控制的因素或无法估计的因素（如人眼偶然误差是由人力所不能控制的因素或无法估计的因素（如人眼的分辨能力、仪器的极限精度和气象因素等）引起的测量误差。的分辨能力、仪器的极限精度和气象因素等）引起的测量误差。 通过通过多次重复观测取平均值多次重复观测取平均值，可以抵消一些偶然误差。，可以抵消一些偶然误差。 二
5、、测量误差的分类二、测量误差的分类 3. 3. 粗差粗差 粗差即粗大误差，是指比在正常观测条件下所可能出现粗差即粗大误差，是指比在正常观测条件下所可能出现的最大偶然误差还要大的误差。的最大偶然误差还要大的误差。 粗差要比偶然误差大上好几倍。粗差要比偶然误差大上好几倍。 在在对观测列进行数据处理对观测列进行数据处理时，应该采用各种方法来消除时，应该采用各种方法来消除或削弱系统误差的影响，使之达到实际上可以忽略不计的程或削弱系统误差的影响，使之达到实际上可以忽略不计的程度；探测粗差的存在并剔除粗差。那么，该观测列中主要是度；探测粗差的存在并剔除粗差。那么，该观测列中主要是存在着偶然误差。存在着偶然
6、误差。 三、多余观测三、多余观测 要使要使观测值的个数多于未知量的个数观测值的个数多于未知量的个数，就要进行多余观测。，就要进行多余观测。 为了检查和及时发现观测值中有无粗差存在，为了检查和及时发现观测值中有无粗差存在， 为了提高最后结果的质量。为了提高最后结果的质量。 通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致或不符合通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致或不符合应有关系而产生的不符值。应有关系而产生的不符值。第二节第二节 偶然误差的特性偶然误差的特性 任何一个被观测量客观上总是存在着一个能代表其真正大任何一个被观测量客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值，这一数值就称为该被观测
7、量的小的数值，这一数值就称为该被观测量的真值真值，用，用X 表示。表示。 通过观测得到的数值称为该量的通过观测得到的数值称为该量的观测值观测值。 设设: :对某一量进行了对某一量进行了n次观测，其观测值用次观测，其观测值用li i（i =1=1，2 2，n）表示。表示。 i=Xli，（，（i =1，2，n） (6-1)(6-1) 式中，式中，称为称为真误差真误差（简称误差），此处（简称误差），此处仅指偶然误差。仅指偶然误差。一、误差分布表一、误差分布表例：在相同的观测条件下，独立地观测了例：在相同的观测条件下，独立地观测了 358 个三角形的全部内角，个三角形的全部内角，设三角形内角和的真值为
8、设三角形内角和的真值为X， 三角形内角和的观测值为三角形内角和的观测值为Li， 则三角形则三角形内角和的真误差（内角和的真误差（三角形闭合差三角形闭合差）为；）为；i=X Li （i=1, 2, 3, , 358） 计算每个三角形内角之和的偶然误差计算每个三角形内角之和的偶然误差（三角形闭合差），将它（三角形闭合差），将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大排列次序。以误差区们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大排列次序。以误差区间间d=3=3进行误差个数进行误差个数k 的统计，并计算其相对个数的统计，并计算其相对个数 kin（n n358358），），k ki in n 称为称为“
9、误差出现在某个区间内误差出现在某个区间内”这一事件的这一事件的频率频率 。 误误 差差 分分 布布 表表 误差区间误差区间(d)/ ()负误差负误差正误差正误差备备 注注kk/nkk/nd=3等于区间左端等于区间左端值的误差算入该区值的误差算入该区间内。间内。03450.126460.12836400.112410.11569330.092330.092912230.064210.0591215170.047160.0451518130.036130.036182160.01750.014212440.01120.00624以上以上00001810.5051770.495二、频率直方图二、频率
10、直方图 每一误差区间上的长每一误差区间上的长方条面积，就代表误差出方条面积，就代表误差出现在该区间的频率。现在该区间的频率。 各长方条面积的总和各长方条面积的总和等于等于1 1。 形象直观地描述误差形象直观地描述误差分布情况。分布情况。三、偶然误差的三、偶然误差的特性特性 ( (1 1) )在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。过一定的限值。（2 2）绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频）绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；率小；（3 3）绝对值相等的正、负误差具有大致
11、相等的出现频率；）绝对值相等的正、负误差具有大致相等的出现频率；（4 4）当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。即）当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。即偶然误差具有抵偿性。用公式表示为偶然误差具有抵偿性。用公式表示为0limlim21nnnnn四、概率密度函数四、概率密度函数描述正态分布曲线的数学方程式称为正态分布的描述正态分布曲线的数学方程式称为正态分布的概率密度函数概率密度函数。22221)(ef式中，式中，为为标准差标准差，以偶然误差，以偶然误差为自变量，以标准差为自变量，以标准差为密度为密度函数的唯一参数。函数的唯一参数。标准差的平方标准差的平方2 2为
12、为方差方差。方差为偶然误差平方的理论平均值。方差为偶然误差平方的理论平均值。 nnnnnlimlim2222212nnnnlimlim2标准差为标准差为 第三节第三节 评定精度的指标评定精度的指标 精度精度 是指一组误差分布的密集或离散的程度。是指一组误差分布的密集或离散的程度。 在相同的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误在相同的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布，差分布， 如果误差分布较为密集，则这一组观测精度较高；如果误差分布较为密集，则这一组观测精度较高； 如果误差分布较为离散，则这一组观测精度较低。如果误差分布较为离散，则这一组观测精度较低。 同精度观测值
13、同精度观测值 一、中误差一、中误差 正态分布曲线具有两个拐点，正态分布曲线具有两个拐点，拐点拐点在横轴上的坐标为在横轴上的坐标为 拐拐 = 的大小，可以反映精度的高低。故常用标准差的大小，可以反映精度的高低。故常用标准差作为衡量精作为衡量精度的指标。度的指标。 由有限个观测值的偶然误差求得的标准差的近似值（估值）由有限个观测值的偶然误差求得的标准差的近似值（估值）称为称为“中误差中误差”， nnmn22221不同中误差的正态分布曲线不同中误差的正态分布曲线 二、极限误差二、极限误差 根据误差理论，在大量同精度观测的一组误差中，误差落根据误差理论，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在在（-，+
14、），（），（-2，+2）和和（-3，+3）的概率分别为：的概率分别为：%3 .68）（P%5 .9522）（P%7 .9933）（P通常将通常将3 3倍标准差作为偶然误差的极限值倍标准差作为偶然误差的极限值限，称为限，称为极限误差极限误差。即即 限限=3 在实际测量工作中，以在实际测量工作中，以3 3倍中误差作为偶然误差的容许值，倍中误差作为偶然误差的容许值，称为称为容许误差容许误差或或限差限差。要求较严格时常采用。要求较严格时常采用2 2倍中误差作为容许倍中误差作为容许误差。误差。 三、相对误差三、相对误差例如例如: : 丈量两段距离：丈量两段距离：L L1 1=1000=1000m m；L
15、 L2 2=80=80m m，中误差分别为：中误差分别为： m1=20mm ； m2=20mm，此时此时, ,衡量精度应采用衡量精度应采用相对中误差相对中误差，它是中误差绝对值与观测值，它是中误差绝对值与观测值之比。之比。5000011000000201k4000180000202kK1K2，可见，可见L1的量距精度高于的量距精度高于L2。相对误差相对误差等于误差的绝对值与相应观测值之比。它是一个无名等于误差的绝对值与相应观测值之比。它是一个无名数，通常写成分子为数，通常写成分子为1 1的分数形式的分数形式，即用即用1/N 表示。表示。第四节第四节 误差传播定律误差传播定律 问题问题 测量工作
16、中某些未知量需要由若干测量工作中某些未知量需要由若干独立观测独立观测值值按一定的函数关系间接计算出来，即按一定的函数关系间接计算出来，即某些量是观某些量是观测值的函数测值的函数。如何根据观测值的中误差求得观测值如何根据观测值的中误差求得观测值函数的中误差呢？函数的中误差呢？定义定义 阐述观测值中误差与观测值函数的中误差之阐述观测值中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律，称为间关系的定律，称为误差传播定律误差传播定律。一、线性函数一、线性函数 设有线性函数设有线性函数z为为 ttxkxkxkz 2211函授函授z 的中误差关系式为的中误差关系式为22222221212ttzmkmkmkm 1.
17、1.倍数函数倍数函数 z = k x mz = k mx 一、线性函数一、线性函数2.2.和差函数和差函数nxxxZ21222212nzmmmm 当观测值当观测值 xi 为等精度观测时，为等精度观测时，m1= m2= = mn= m，则上式变为，则上式变为 nmmz在水准测量中，在水准测量中，两水准点间的高差中误差两水准点间的高差中误差 用下式计算用下式计算 nmmh站Lmmkmh或或二、般函数二、般函数 式中式中, x1, x2, xn为独立观测值，其中误差分别为为独立观测值，其中误差分别为m1，m2, mn ，),(21nxxxfZ22222221212nnzmxfmxfmxfm上式是误差
18、传播定律的一般形式。上式是误差传播定律的一般形式。 应用误差传播定律时，要求观测值必须是应用误差传播定律时，要求观测值必须是独立观测值独立观测值，它们的真误差应是它们的真误差应是独立误差独立误差。 第五节第五节 算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差一、算术平均值一、算术平均值 设某个未知量的真值为设某个未知量的真值为X，在相同的观测条件下在相同的观测条件下，对该量进，对该量进行行n次观测，观测值分别为次观测，观测值分别为l1，l2，ln，求该，求该未知量的未知量的最或然最或然值值。nnlXlXlX2211nlXn根据偶然误差的第（根据偶然误差的第（4）特性）特性 0limnnX
19、xnlimnlllnlxn21当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值。当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值。 二、算术平均值的中误差二、算术平均值的中误差设对某量进行设对某量进行n 次等精度观测，观测值为次等精度观测，观测值为li ，中误差均为，中误差均为m ， nmmx算术平均值的中误差是观测值中误差的算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍。倍。n1因此，因此，适当增加观测次数适当增加观测次数可以提高算术平均值可以提高算术平均值的精度。的精度。三、按观测值的改正数计算中误差三、按观测值的改正数计算中误差最或然值与观测值之差称为观测值的最或然值与观测值之差
20、称为观测值的改正数改正数（v）:nnlxvlxvlxv2211lnxv0lnlnv 一组同精度观测值取算术平均值后，一组同精度观测值取算术平均值后，各改正数的总和恒等于零各改正数的总和恒等于零。这是算术平均值的特性，可以作为计算中的校核。这是算术平均值的特性，可以作为计算中的校核。 按观测值的改正值计算观测值中误差的公式按观测值的改正值计算观测值中误差的公式1nvvm（白塞尔公式白塞尔公式） 三、按观测值的改正数计算中误差三、按观测值的改正数计算中误差用改正数用改正数计算算术平均值中误差计算算术平均值中误差的公式的公式按观测值的改正值按观测值的改正值计算观测值中误差计算观测值中误差的公式的公式
21、1nvvm（白塞尔公式）（白塞尔公式） ）（1nnvvmx第六节第六节 加权平均值及其精度评定加权平均值及其精度评定 一、不等精度观测及观测值的权一、不等精度观测及观测值的权 如何根据不同精度的观测值来确定其最或然值呢？如何根据不同精度的观测值来确定其最或然值呢？ “权权” ，此处用作，此处用作“权衡轻重权衡轻重”之意。之意。 某一观测值或观测值的函数的精度越高（中误差某一观测值或观测值的函数的精度越高（中误差m 越小），越小），其权应越大。其权应越大。 以以P 表示权，定义：表示权，定义：权与中误差的平方成反比权与中误差的平方成反比。 220iimmP iiPmm10或或式中，式中，m0为任
22、意常数。为任意常数。求一组观测值的权时，必须采取同一求一组观测值的权时，必须采取同一m0值。值。 一、不等精度观测及观测值的权一、不等精度观测及观测值的权m0 是权等于是权等于1的观测值的中误差，的观测值的中误差，等于等于1的权为的权为单位权单位权，权为，权为1的观测值为的观测值为单位权观测值单位权观测值。m0为单位权观测值的中误差，简称为为单位权观测值的中误差，简称为单位权中误差单位权中误差。一组观测值的权之比等于它们的中误差平方的倒数之比。一组观测值的权之比等于它们的中误差平方的倒数之比。m0起一个起一个比例常数比例常数的作用。不论假设的作用。不论假设m0为何值。这组权之间的比例为何值。这
23、组权之间的比例关系不变。关系不变。权反映了观测值之间的相互精度关系。权反映了观测值之间的相互精度关系。 就计算就计算P 值来说，不在乎权本身数值的大小，而在于确定它值来说，不在乎权本身数值的大小，而在于确定它们之间的比例关系。们之间的比例关系。二、加权平均值二、加权平均值 对某一未知量，对某一未知量，L1，L2，Ln为一组不等精度的观测值，其为一组不等精度的观测值，其中误差为中误差为m1，m2，mn，其权为其权为P1，P2，Pn。其加权平均值。其加权平均值为：为： PPLPPPLPLPLPxnnn212211iiLLL0 PLPLx0 由于同一量的各个观测值都相近似，取由于同一量的各个观测值都
24、相近似，取L0为近似值，计算加权为近似值，计算加权平均值的平均值的实用公式实用公式为：为：二、加权平均值二、加权平均值 根据同一量的根据同一量的n次不等精度观测值，计算其加权平均值次不等精度观测值，计算其加权平均值x 后，后，用下式用下式计算观测值的改正值计算观测值的改正值nnLxvLxvLxv2211不等精度观测值的改正值还满足下列条件：不等精度观测值的改正值还满足下列条件： 0)(PLxPLxPPv三、定权的常用方法三、定权的常用方法1.水准测量的权水准测量的权 （1）按）按测站数测站数定权定权 设每测站观测高差的精度相同，其中误差均为设每测站观测高差的精度相同，其中误差均为m站站，则不同
25、，则不同测站数的水准路线测站数的水准路线观测高差的中误差观测高差的中误差为：为：ihnmm站式中式中ni 为各水准路线的测站数。为各水准路线的测站数。取取c 个测站观测高差的中误差为单位权中误差，即个测站观测高差的中误差为单位权中误差，即（i =1，2，n）cmm站0则各路线则各路线观测高差的权观测高差的权为为 iiincmmP220（i =1，2，n）（2）按水准路线长度定权）按水准路线长度定权 设每千米观测高差的精度相同，其中误差均为设每千米观测高差的精度相同，其中误差均为mkm ，各路线，各路线观测高差的权观测高差的权为为：iiLcP （i =1，2，n）式中式中Li 为各路线距离的千米
26、里数，为各路线距离的千米里数， c 是单位权观测高差的路线千米数。是单位权观测高差的路线千米数。 当每千米观测高差为同精度时，各路线观测高差的权与距当每千米观测高差为同精度时，各路线观测高差的权与距离的千米数成反比离的千米数成反比。 2.距离丈量的权距离丈量的权 在丈量距离时，如果单位长度（在丈量距离时，如果单位长度（1km）丈量精度均相等，设）丈量精度均相等，设为为mkm ，丈量，丈量Di千米距离的权为：千米距离的权为：iiDcP （i =1，2，n）式中式中c 是单位权观测值的千米数。是单位权观测值的千米数。 当单位长度丈量的中误差均相等时，距离丈量的权与其当单位长度丈量的中误差均相等时，
27、距离丈量的权与其长度成反比。长度成反比。 3.同精度观测值的算术平均值的权同精度观测值的算术平均值的权 设有一组观测值设有一组观测值L1, L2,，Ln ，它们分别是，它们分别是N1, N2, Nn 个个同精度观测值的算术平均值，若每次观测的中误差均为同精度观测值的算术平均值，若每次观测的中误差均为m，各算，各算术平均值的中误差术平均值的中误差iiNmm （i =1，2，n）（i =1，2，n）cNPii各各Li 的权为的权为 由不同个数的同精度观测值所求得的算术平均值，其权与观由不同个数的同精度观测值所求得的算术平均值，其权与观测值个数成正比。测值个数成正比。 四、加权平均值的中误差四、加权
28、平均值的中误差 nnLPPLPPLPPx2211 2222222121nnxmPPmPPmPPmiiPmm202 222210PPPPPPmmnx Pmmx0加权平均值的权即为观测值的权之和。加权平均值的权即为观测值的权之和。 PPx五、单位权中误差的计算五、单位权中误差的计算 只要算出单位权中误差，根据各观测值的权和观测值函数的只要算出单位权中误差，根据各观测值的权和观测值函数的权，就可计算出各观测值的中误差和观测值函数的中误差。权，就可计算出各观测值的中误差和观测值函数的中误差。 设有一组不等精度观测值设有一组不等精度观测值Li（i =1，2，n），其权和真），其权和真误差分别为误差分别为
29、Pi 和和i 。 用不同精度观测值的真误差计算单位权中误差的公式：用不同精度观测值的真误差计算单位权中误差的公式： nPm0 按不等精度观测值的改正数计算单位权中误差的公式：按不等精度观测值的改正数计算单位权中误差的公式： 10nPvvm思考题 1.为什么在观测结果中一定存在偶然误差？偶然误差有何特性？能为什么在观测结果中一定存在偶然误差？偶然误差有何特性？能否将其消除否将其消除?2.观测结果中的系统误差有什么特点，它给观测结果带来怎样的影观测结果中的系统误差有什么特点，它给观测结果带来怎样的影响响?如何减弱或消除？如何减弱或消除？3.何谓中误差、极限误差和相对误差？中误差和真误差有何区别？何谓中误差、极限误差和相对误差？中误差和真误差有何区别？4.什么是单位权？什么是单位权中误差？什么样的观测值称为单位什么是单位权？什么是单位权中误差？什么样的观测值称为单位权观测值？权观测值？