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1、电磁场与电磁波基础第4章第1页，共18页，编辑于2022年，星期日1.1.矢量位与标量位的导出矢量位与标量位的导出4.4.动态位（滞后位）的概念动态位（滞后位）的概念 重点重点：3.3.矢量位与标量位满足的波动方程矢量位与标量位满足的波动方程 2.2.洛伦兹规范洛伦兹规范 ，库仑规范，库仑规范5.5.介质中的三个物态方程介质中的三个物态方程6.6.李纳李纳威谢尔位函数威谢尔位函数 第2页，共18页，编辑于2022年，星期日4.1 矢量位矢量位 根据麦克斯韦第三方程根据麦克斯韦第三方程任意矢量的旋度的任意矢量的旋度的散度恒等于零散度恒等于零 以及以及令令 则有则有于是我们就得到了一个关于磁场于是
2、我们就得到了一个关于磁场 的位函数的位函数 ，但在这里，但在这里，是一个无约束的任意矢量。是一个无约束的任意矢量。第3页，共18页，编辑于2022年，星期日4.2 标量位标量位 根据麦克斯韦第二方程根据麦克斯韦第二方程令令 则有则有所以所以 更一般地，如果 是一个矢量函数，并且 ，则有第4页，共18页，编辑于2022年，星期日保证保证 的唯一方法是的唯一方法是 令令 其中其中 是一个标量位函数是一个标量位函数 即即这里这里 也是无约束的任意标量位函数也是无约束的任意标量位函数 在非时变（静态）情况下在非时变（静态）情况下,上式变为上式变为 第5页，共18页，编辑于2022年，星期日4.3 4.
3、3 用位函数用位函数 和和 表示的非均匀波动方程表示的非均匀波动方程 两个位函数两个位函数 和和 描述如下描述如下 因为因为 是任意矢量，因此，我们选定是任意矢量，因此，我们选定 这时有这时有将这些结果代入到将这些结果代入到麦克斯韦第四方程麦克斯韦第四方程中去，可得中去，可得 这是一个关于这是一个关于 的三维波动方程，这个方程被称为达朗贝尔的三维波动方程，这个方程被称为达朗贝尔方程，方程右边为场源。方程，方程右边为场源。第6页，共18页，编辑于2022年，星期日 而将我们所选定的条件而将我们所选定的条件 称为洛伦兹条件或称为洛伦兹规范，它是目前我们对于称为洛伦兹条件或称为洛伦兹规范，它是目前我
4、们对于 和和 所采用的约束。所采用的约束。另外：再将两个位函数的描述代入到麦克斯韦第一方程中另外：再将两个位函数的描述代入到麦克斯韦第一方程中去，在洛伦兹规范下可得去，在洛伦兹规范下可得 这是一个关于这是一个关于 的三维波动方程，这个方程也被称为达朗贝的三维波动方程，这个方程也被称为达朗贝尔方程，方程右边为场源。尔方程，方程右边为场源。接下来的任务就是要在给定接下来的任务就是要在给定 和和 的情况下求解这两个的情况下求解这两个方程方程 。第7页，共18页，编辑于2022年，星期日库伦规范库伦规范 这时这时 和和 所满足的微分方程又将是另一种形式，所满足的微分方程又将是另一种形式，即为即为第8页
5、，共18页，编辑于2022年，星期日4.4 4.4 利用场源利用场源 和和 求解位函数求解位函数 和和 如图所示，对于静态点电荷来说，有如图所示，对于静态点电荷来说，有即即在计算空间电荷分布时，我们需要引入另外一个矢量来描述在计算空间电荷分布时，我们需要引入另外一个矢量来描述与与 有关的空间变量：假设这个矢量为有关的空间变量：假设这个矢量为 ，同时，将，同时，将 写成写成 ，如图：，如图：第9页，共18页，编辑于2022年，星期日所以所以一般情况下一般情况下,这样就得到了静态场中的解。这样就得到了静态场中的解。将这个结果扩展到运动电荷的分布场中，由于将这个结果扩展到运动电荷的分布场中，由于 和
6、和不是在同一个点，并且由于电磁场是以一个极限速度不是在同一个点，并且由于电磁场是以一个极限速度(光速光速C)C)在扰动传播的，所以点在扰动传播的，所以点 处的场在时间上将会早于电处的场在时间上将会早于电荷分布的时间荷分布的时间 。第10页，共18页，编辑于2022年，星期日 称为延迟时间，场从源称为延迟时间，场从源点传播到场点所经历的时点传播到场点所经历的时间是间是 运动电荷的分布则为运动电荷的分布则为 第11页，共18页，编辑于2022年，星期日 为为了了求求出出矢矢量量位位函函数数 A，可可将将矢矢量量位位函函数数方方程程在在直直角角坐坐标标系系中中展展开开，则则各各个个分量均满足分量均满
7、足结构相同结构相同的非齐次标量波动方程式，即的非齐次标量波动方程式，即显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，矢量位显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，矢量位 A 的解的解为为式中式中 V 为为电流电流 J 的分布区域。的分布区域。第12页，共18页，编辑于2022年，星期日上面的分析说明，在时刻上面的分析说明，在时刻t t，空间某点所观察到的矢量位，空间某点所观察到的矢量位 和标量位和标量位 是由是由 时刻的电流或电荷产生的，时刻的电流或电荷产生的，也就是说，在空间某点并不会立刻感受到波源的影响，而也就是说，在空间某点并不会立刻感受到波源的影响
8、，而是要滞后一段时间是要滞后一段时间 ，这个滞后效应是由于电磁，这个滞后效应是由于电磁波的速度为有限值而引起的，于是我们又可将随时间变化波的速度为有限值而引起的，于是我们又可将随时间变化的位函数的位函数 和和 称为动态位或滞后位。称为动态位或滞后位。第13页，共18页，编辑于2022年，星期日 运动的点电荷存在着标量位运动的点电荷存在着标量位和矢量位，在对这些位函数进行和矢量位，在对这些位函数进行有效的计算时必须用电荷分布的有效的计算时必须用电荷分布的极限值（体积趋近于零）来代替极限值（体积趋近于零）来代替点电荷。计算积分所面临的困难点电荷。计算积分所面临的困难是这些积分都与延迟体积是这些积分
9、都与延迟体积 V V 和在和在t t时刻的当前体积时刻的当前体积 V V 有关，有关，每一个延迟体积每一个延迟体积 V V 的体积的体积元元 dV dV 都与相对应的运动电都与相对应的运动电荷或电流分布的当前体积的体荷或电流分布的当前体积的体积元积元 dV dV 有关，如图所示有关，如图所示 。4.5 4.5 李纳李纳威谢尔位函数威谢尔位函数 第14页，共18页，编辑于2022年，星期日可以利用雅可比行列式将体积元可以利用雅可比行列式将体积元dVdV和和dVdV的关系进行对应的转换，的关系进行对应的转换，即即 雅可比行列式为雅可比行列式为第15页，共18页，编辑于2022年，星期日转换后转换后
10、 可得到如下位函数可得到如下位函数 这两个式子被称为相对于运动点电荷的李纳这两个式子被称为相对于运动点电荷的李纳威谢尔威谢尔（Lienard-WiechertLienard-Wiechert）位函数）位函数 第16页，共18页，编辑于2022年，星期日 本章要点本章要点1.矢量位矢量位 与标量位与标量位 的概念的概念2.洛伦兹规范洛伦兹规范、库伦规范、库伦规范3.矢量位矢量位 与标量位与标量位 满足的波动方程满足的波动方程 4.4.动态位或滞后位动态位或滞后位 的概念的概念5.5.李纳李纳-威谢尔位函数威谢尔位函数 第17页，共18页，编辑于2022年，星期日作业n4.1n4.2第18页，共18页，编辑于2022年，星期日